Dasar Logika Matematika Proposition & Truth Values (Pernyataan & Nilai Kebenaran) 2 Oleh: Team Dosen Dasar Logika Matematika

Dimulai dengan quiz untuk mengetahui seberapa jauh mahasiswa tentang Proposition & Truth Values

Objectives If… Then Statements (Conditionals) Alternative Phrasing of Conditional If… Then … Convers, Inverse & Contrapositive Statement: “

If… Then Statements Perhatikan statement berikut: “if Saya terpilih, then upah minimum akan naik” Statement di atas disebut conditional proposition (implication), karena menyatakan sesuatu akan benar (upah minimum akan naik) dengan kondisi (Saya terpilih)

If… Then Statements Statement if P then Q disebut conditional proposition (implication), dimana P adalah proposition dan Q adalah proposition. P: hypothesis (atau antecedent: logically precedes another) Q: Conclusion (atau consequent: a thing that follows another) Math symbol:  P  Q (= if P then Q) Artinya P implikasi Q (= jika P berarti Q)

Contoh if…then Kamu akan mendapat grade A, Jika total nilai kamu lebih besar dari 85. If total nilai Kamu lebih besar dari 85, then Kamu akan mendapat grade A. Jari tangan saya akan sakit, jika jari tangan Saya dipukul dengan palu. If jari tangan saya dipukul dengan palu, then jari tangan saya akan sakit

Contoh if…then Saya sakit flu implikasi badan saya demam. If Saya sakit flu, then badan saya demam. x = 2 dan y=2 implikasi x + y + 1 = 5. If x = 2 dan y = 2, then x + y + 1 = 5 3 - 2 = 1 implikasi 3 - 1 = 2 If 3 - 2 = 1, then 3 – 1 = 2

If… Then Statements if P then Q hanya akan bernilai False jika P=True dan Q=False P Q if P, then Q F T Perhatikan kalimat berikut: If Saya sakit flu, then badan saya tidak nyaman Kalau ternyata proposisi Saya sakit flu=false, proposisi badan saya tidak nyaman=false, kalimat if…then tersebut = true. Karena kalau Saya “tidak” sakit flu maka badan saya nyaman (= “tidak” tidak nyaman). Kalau ternyata proposisi Saya sakit flu=false, proposisi badan saya tidak nyaman=true, kalimat if…then tersebut = true. Karena kalau Saya “tidak” sakit flu maka badan saya mungkin untuk tidak nyaman (karena hal yang lain). Kalau ternyata proposisi Saya sakit flu=true, proposisi badan saya tidak nyaman=false, kalimat if…then tersebut = false. Karena kalau Saya sakit flu maka pasti badan saya tidak nyaman. Kalau ternyata proposisi Saya sakit flu=true, proposisi badan saya tidak nyaman=true, kalimat if…then tersebut = true. Karena kalau Saya sakit flu maka badan saya tidak nyaman.

Contoh truth values pada if…then If gajah bisa terbang then burung memiliki belalai X: gajah bisa terbang : false Y: burung memiliki belalai : false Maka: if X then Y : true If burung bisa terbang then gajah memiliki belalai A: burung bisa terbang : true B: gajah memiliki belalai : true Maka: if A then B : true

Contoh truth values pada if…then u: 3 - 2 = 1 : true v: 3 – 1 = 2 : true Maka: if u then v : true If 3 - 2 = 1 then 7 - 3 = 2 v: 7 – 3 = 2 : false Maka: if u then v : false If burung bisa terbang then gajah bisa terbang A: burung bisa terbang : true B: gajah bisa terbang: false Maka: if A then B : false

Latihan If x - 1= 2 dan y - 1 = 2, then x + y + 1 = 7 Agar if...then statement di atas pasti bernilai true, pilih salah satu dari proposition berikut yang harus bernilai true! P: x - 1= 2 dan y - 1 = 2 Q: x + y + 1 = 7 Berikan penjelasan atas pilihan anda! Jawab: Proposition: P: x – 1 = 2 dan y – 1 = 2 Q: x + y + 1 = 7 Maka agar if P then Q bernilai true, maka Q (x + y + 1 = 7) harus bernilai true. Karena dengan Q bernilai true, apapun nilai P maka ”if P then Q” akan bernilai true.

Alternative Phrasings of Conditional Dalam bahasa sehari-hari sering kita temui statement yang sebenarnya merupakan if…then statement, perhatikan contoh berikut: Saya tidak akan kembali kalau saya pergi Dalam if…then statement: If Saya pergi then Saya tidak akan kembali Turun hujan lagi akan terjadi banjir If Turun hujan lagi then akan terjadi banjir

Alternative Phrasings of Conditional Berikut adalah Alternative Phrasing/ Ungkapan Alternatif dari if P then Q : P is sufficient for Q (=P “mencukupi untuk” / “dapat dikatakan” / “Artinya” Q) Q is necessary for P (=Q “diperlukan untuk” P) P will lead to Q (=P “akan menyebabkan” Q) Q if P (=Q “jika” P) P implies Q (=P “berarti” Q atau P “implikasi” Q) Q whenever P (=Q “kapan saja” / “sewaktu-waktu” / “setiap kali” P)

Contoh Alternative Phrasing untuk if…then P is sufficient for Q (=P “mencukupi untuk” / “dapat dikatakan” / “Artinya” Q) Eating is a sufficient condition for being alive If you are eating then you are alive Jelaskan logikanya! Tinggal di bogor dapat dikatakan tinggal di jawa barat If Kamu tinggal di bogor then Kamu tinggal di jawa barat Eating is a sufficient condition for being alive  eating (masih makan) bisa dikatakan alive (masih hidup). Eating berarti alive, tapi alive bukan berarti harus eating (Bukan hanya makan saja yang menyebabkan hidup, tetapi ada hal lain yang diperlukan untuk hidup). If you are eating then you are alive if…then statement di atas pasti true jika you are alive = true. Karena; kalau you are eating = true, maka you are alive tidak boleh false (Tidak mungkin eating kalau tidak alive). Kalau you are alive = false, maka you are eating = false (tidak alive pasti tidak eating), agar if…then statement tersebut true. Tinggal di bogor dapat dikatakan tinggal di jawa barat  Tinggal di bogor berarti tinggal di jawa barat, tapi tinggal di jawa barat bukan berarti harus tinggal di bogor. karena bogor berada di jawa barat, tapi bukan hanya bogor yang berada di jawa barat If Kamu tinggal di bogor then Kamu tinggal di jawa barat if...then statement di atas pasti true jika Kamu tinggal di jawa barat = true. kalau Kamu tinggal di bogor = true, maka Kamu tinggal di jawab barat tidak boleh false (tidak mungkin kalau tinggal di bogor tapi tidak tinggal di jawa barat). Kalau Kamu tinggal di jawa barat = false, maka Kamu tinggal di bogor=false (tidak tinggal di jawa barat pasti tidak tinggal di bogor), agar if...then statement tersebut true.

Contoh Alternative Phrasing untuk if…then Q is necessary for P (=Q “diperlukan untuk” P) Eating is necessary for being alive If you are alive then you are eating Jelaskan logikanya! Bernafas diperlukan untuk hidup If Kamu hidup then Kamu bernafas Eating is necessary for being alive  eating diperlukan untuk alive (meskipun bukan berarti eating itu satu-satunya yang diperlukan untuk alive, tetapi ada hal lain yang diperlukan untuk alive). If you are alive then you are eating if…then statement di atas pasti true ; jika you are eating= true. Karena; kalau you are alive = true, maka you are eating tidak boleh false note: if…then statement di atas berarti bisa bernilai false , karena; mungkin saja alive tapi no eating (tidak makan), asupan tubuh bisa lewat infus. Kalau you are eating = false, maka you are alive = false, agar if…then statement tersebut true (namun kenyataannya you are eating = false, maka belum tentu you are alive = false, alive bisa true tanpa eating, asupan tubuh bisa lewat infus). Bernafas diperlukan untuk hidup  karena kalau tidak bernafas pasti tidak hidup. If kamu hidup then kamu bernafas if…then statement di atas pasti true jika kamu bernafas = true. kalau kamu bernafas = true, maka kamu hidup tidak boleh false (Tidak mungkin bernafas kalau tidak hidup). Kalau kamu hidup = false, maka kamu bernafas = false (tidak hidup pasti tidak bernafas), agar if…then statement tersebut true.

Contoh Alternative Phrasing untuk if…then P will lead to Q (=P “akan menyebabkan” Q) More rain will lead to a flood If there is more rain then there will be a flood Jelaskan logikanya! Bernafas diperlukan untuk hidup If Kamu bernafas then Kamu hidup 1. More rain will lead to a flood  hujan lagi akan menyebabkan banjir. If there is more rain then there will be a flood if…then statement di atas pasti true ; jika there will be a flood= true. Karena; kalau there is more rain = true, maka there will be a flood tidak boleh false note: if…then statement di atas berarti bisa bernilai false , karena; mungkin saja more rain tapi flood (hujan lagi tapi tidak banjir). Kalau there will be a flood = false, maka there is more rain = false, agar if…then statement tersebut true (namun kenyataannya there will be a flood = false, maka belum tentu there is more rain = false, bisa saja there is more rain tapi no flood ). 2. Bernafas diperlukan untuk hidup  karena kalau tidak bernafas pasti tidak hidup. If kamu hidup then kamu bernafas if…then statement di atas pasti true jika kamu bernafas = true. kalau kamu bernafas = true, maka kamu hidup tidak boleh false (Tidak mungkin bernafas kalau tidak hidup). Kalau kamu hidup = false, maka kamu bernafas = false (tidak hidup pasti tidak bernafas), agar if…then statement tersebut true. 2. Bernafas diperlukan hidup If Kamu hidup then Kamu bernafas

Converse, Inverse, & Contrapositive Urutan/posisi proposition dalam suatu conditional (if…then) sangat berpengaruh. Converse merupakan suatu conditional dimana posisi tiap proposition ditukar. Conditional : if P then Q Converse-nya : if Q then P

Converse, Inverse, & Contrapositive Inverse merupakan suatu conditional dimana tiap proposition adalah negation. Conditional : if P then Q Inverse-nya : if ~P then ~Q Contrapositive merupakan inverse dari converse. Converse-nya : if Q then P Contrapositive-ya : if ~Q then ~P

Contoh & Truth Table If you are sleeping then you are breathing Converse : If you are breathing then you are sleeping Inverse : If you are not sleeping then you are not breathing Contrapositive : If you are not breathing then you are not sleeping Truth Table Logically equivalent P Q ~P ~Q If P then Q If Q then P (Converse) If ~P then ~Q (Inverse) If ~Q then ~P (Contrapositive) F T Logically equivalent

QUIZ

Quiz 1 (link: http://bit.ly/daslog41 ) (Waktu Pengerjaan: 10 Menit) Conditional: “if Bintaro berada di tangerang selatan then Kamu tinggal di bintaro” Converse : ______________________ Inverse : ______________________ Contrapositive : ______________________ Tempat tinggal kamu di bintaro: Ya / Tidak Berdasarkan jawaban d, maka; Truth value untuk conditional: True / False Truth value untuk converse: True / False Truth value untuk inverse: True / False Truth value untuk contrapositive: True / False “if Bintaro berada di tangerang selatan then Kamu tinggal di bintaro” Converse : if Kamu tinggal di bintaro then Bintaro berada di tangerang selatan Inverse : if Bintaro tidak berada di tangerang selatan then Kamu tidak tinggal di bintaro Contrapositive : if Kamu tidak tinggal di bintaro then Bintaro tidak berada di tangerang selatan ---------------------------- Tempat tinggal kamu di bintaro: Ya Berdasarkan jawaban d, maka; Truth value untuk conditional: True Truth value untuk converse: True Truth value untuk inverse: True Truth value untuk contrapositive: True Tempat tinggal kamu di bintaro: Tidak Truth value untuk conditional: False Truth value untuk contrapositive: False

Quiz 2 (link: ) Buat contoh bahasa sehari-hari untuk (alternative phrasing) : Q if P (=Q “jika” P) P implies Q (=P “berarti” Q atau P “implikasi” Q) Q whenever P (=Q “kapan saja” / “sewaktu-waktu” / “setiap kali” P) Buat if…then statementnya, dan berikan penjelasan untuk masing2 contoh yang anda buat. Contoh jawaban dan penjelasan: Bahasa sehari-hari: _____________________________________________ If…then statement: If __________________ then _____________________ Penjelasan: if…then statement di atas pasti true, jika ; ___________________ If…then statement di atas mungkin bernilai false ? Ya / Tidak Karena : __________________________________________ Q if P / Q jika P Bahasa sehari-hari: kampung saya akan banjir jika Hujan turun lagi If…then statement: if hujan turun lagi then kampung saya akan banjir Penjelasan: if…then statement di atas pasti true, jika ; kampung saya akan banjir= true. If…then statement di atas mungkin bernilai false ? Ya Penjelasan : karena mungkin saja hujan turun lagi tapi kampung saya tidak banjir, sehingga hujan turun lagi = true tetapi kampung saya akan banjir = false, sehingga: if hujan turun lagi then kampung saya akan banjir = false P berarti Q / P implikasi Q Hujan turun lagi berarti kampung saya akan banjir Q whenever P kampung saya akan banjir sewaktu-waktu Hujan turun lagi

Terima Kasih