U Operations Research (Model Antrian) Febriyanto, SE., MM Dosen www.febriyanto79.wordpress.com

Model Antrian Teori antrian pertama kali diciptakan oleh A.K. Erlang seorang ahli matematik Denmark pada tahun 1909. Sejak itu penggunaan model antrian mengalami perkembangan yang cukup pesat terutama setelah berakhirnya perang dunia ke-II. Cabang dari management science yang secara umum menyangkut penomena dalam hal "konsumen atau pelanggan menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan". Berbagai struktur model antrian yang telah diakui, karakteristik model antrian, dan contoh aplikasi dalam menentukan jumlah kasir bank untuk mengurangi waktu tunggu para pelanggan.

Model Antrian Ketika para pelanggan (konsumen) menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan, maka keberadaan sistem antrian sangat diperlukan. Beberapa contoh berikut ini menunjukkan bahwa penggunaan sistem antrian sangat membantu dalam melancarkan pelayanan kepada pelanggan atau konsumen seperti: Pelanggan menunggu pelayanan di depan kasir. Mahasiswa menunggu untuk konsultasi dengan dosen pembimbing akademik. Mahasiswa menunggu untuk registrasi dan pembayaran uang kuliah. Para penumpang kereta api menunggu pelayanan loket penjualan karcis. Para pengendara kendaraan menunggu untuk mendapatkan pelayanan pengisian bahan bakar. Pelanggan menunggu pelayanan di Kentucky Fried Chicken. Pesawat terbang menunggu pelayanan menara pengawas untuk melakukan landing maupun take up.

Model Antrian

Model Antrian Prosedur umum dalam mengerjakan teknik antrian: Langkah 1. Tentukan sistem antrian apa yang harus dipelajari. Langkah 2. Tentukan model antrian yang cocok 'dalam menggambarkan sistem. Dalam kasus pompa bensin paling sedikit ada tiga model yang dapat digunakan yaitu: A. Tiga pompa untuk premium, satu garis tunggu, B. Tiga pompa untuk premium , masing-masing memiliki garis tunggu, C. Satu pompa untuk premium, satu pompa untuk premix, dan satu pompa untuk solar dengan masing-masing memiliki garis tunggu. Langkah 3. Gunakan formula matematik atau metode simulasi untuk menganalisa model antrian.

Struktur Sistem Antrian Komponen dalam Sistem Antrian Populasi masukan (input population). Distribusi kedatangan Disiplin pelayanan Fasilitas Pelayanan Distribusi Pelayanan Kapasistas Pelayanan Gambar 13.1 adalah struktur umum model antrian yang memiliki dua komponen utama: (1) Garis tunggu atau sering disebut antrian (queue). (2) Fasilitas pelayanan (service "facility). Pelanggan atau konsumen menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan.

Notasi dalam sistem Antrian n = Jumlah pelanggan dalam sistem. ‘ Pn = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem. λ = Jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu. µ = Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu. po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem. P = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan. L = Jumlah rata-rata pelangan yang diharapkan dalam sistem. Lq = Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian. W = Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem. Wq = Waktu yang diharapkan pelanggan selama menunggu dalam antrian. 1/µ = Waktu rata-rata pelayanan. 1A = Waktu rata-rata antar kedatangan. s = Jumlah fasilitas pelayanan.

Notasi dalam Sistem Antrian = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan. = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem. Jumlah rata-rata pelangan yang diharapkan dalam sistem. Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian. Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem. Waktu yang diharapkan pelanggan selama menunggu dalam antrian.

SINGLE CHANNEL MODEL Contoh Model (M/M/1) Kasus Pompa Bensin (SPBU) PT SGT mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang operator yang bernama John, Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan/mobil per jam. John dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam. Hitunglah soal-soal berikut ini untuk John. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p). Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan). Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian.

SINGLE CHANNEL MODEL Dari kasus SPBU, diketahui λ = 20 dan µ = 25 Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan atau p Angka tersebut menunjukkan bahwa John akan sibuk melayani mobil selama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya atau (1 - p) atau (1 - 0,80) yang sering disebut idle time akan digunakan John untuk istirahat, membersihkan pompa dan lain-lain. Angka 4 menunjukkan bahwa John dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem.

SINGLE CHANNEL MODEL Angka tersebut menunjukkan bahwa, mobil yang menunggu untuk dilayan dalam antrian sebanyak 3,20 kendaraan. Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit. Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit.

Soal Single Antrian Pedagang bakso dalam satu hari kerja mampu melayani 15000 orang. Satu hari kerja 6 jam dalam satu hari pembeli datang dari 2 desa, dimana perdesa datang 12(no Mhs)orang. Tingkat intensitas pelayanan? Berapa orang yang berada dalam sistem? Berapa orang yang menunggu dilayani? Berapa rata-rata menunggu dalam sistem? Berapa rata-rata menunggu dalam antrian?

Model Antrian Multi Chanel Sebuah rumah sakit memiliki sebuah ruang gawat darurat (RGD) yang berisi tiga bagian ruangan yang terpisah untuk setiap kedatangan pasien. Setiap ruangan memiliki satu orang dokter dan satu orang jururawat. Secara rata-rata seorang dokter dan jururawat dapat merawat 5 orang pasien per jam. Apabila pasien yang dihadapi hanya luka-luka ringan, mereka dapat melayani rata-rata 12 pasien per jam.

Model Antrian Multi Chanel Dasar yang digunakan dalam multiple-channel model adalah sistem (M/M/s). Perbedaannya dengan single-channel model adalah terletak pada jumlah fasilitas pelayanan. Dalam multiple-channel model, fasilitas pelayanan yang dimiliki lebih dari satu. Huruf (s) yang terdapat dalam sistem (M/M/s) menyatakan jumlah fasilitas pelayanan.

Model Antrian Multi Chanel Sebuah rumah sakit memiliki sebuah ruang gawat darurat (RGD) yang berisi tiga bagian ruangan yang terpisah untuk setiap kedatangan pasien. Setiap ruangan memiliki satu orang dokter dan satu orang jururawat. Secara rata-rata seorang dokter dan jururawat dapat merawat 5 orang pasien per jam. Apabila pasien yang dihadapi hanya luka-luka ringan, mereka dapat melayani rata-rata 12 pasien per jam.

Model Antrian Multi Chanel

Model Antrian Multi Chanel Rata-rata pasien menunggu antrian selama 0,768*60 = 46 menit Pasien menunggu dalam sistem selama 0,968*60 = 58 menit Pihak rumah sakit mengharapkan 12 pasien berada di sistem

Model Antrian Seorang DPA membimbing sebanyak 100 mahasiswa setiap semester untuk meminta persetujuan mata kuliah yang akan diambil. Waktu yang diberikan untuk membimbing mahasiswa selama 5 hari. DPA membagi mahasiswa dalam 5 kelompok masing-masing terdiri dari 20 orang. DPA dapat membimbing rata-rata 25 mahasiswa per hari dengan waktu kerja 3 jam per hari, Tentukan: Berapa persen waktu kerja DPA digunakan untuk membimbing mahasiswa dan berapa persen waktu yang dapat digunakan DPA untuk istirahat? Berapa mahasiswa yang diharapkan menunggu untuk bimbingan setiap hari? Berapa lama rata-rata setiap mahasiswa menunggu dalam antrian hingga mendapatkan pelayanan? Berapa lama setiap mahasiswa menggunakan waktunya dalam sistem?, Berapa lama setiap mahasiswa menunggu dalam antrian untuk mendapatkan pelayan dari DPA?.

Model Antrian Penyelesaian Dari kasus DPA, λ = 20 dan µ = 25. Oleh karena itu p dapat dihitung dengan: Hasil tersebut menunjukkan bahwa 80% waktu kerja DPA digunakan untuk membimbing mahasiswa atau 2,4 jam kerja DPA digunakan untuk membimbing mahasiswa. Sedangkan 20% atau 0,6 jam atau 36 menit untuk istirahat. Jumlah rata-rata mahasiswa yang diharapkan DPA yang menunggu dalam antrian, dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:

Model Antrian Jumlah rata-rata mahasiswa yang menunggu dalam antrian untuk mendapatkan pelayanan, dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: Rata-rata setiap mahasiswa menghabiskan waktunya dalam sistem adalah sebesar W atau 0,20 jam atau sama dengan 12 merit. Sedangkan rata-rata waktu mahasiswa menunggu dalam antrian untuk mendapatkan pelayanan oleh DPA adalah sebesar Wq atau 0,16 jam atau sama dengan 9,6 menit.

Model Biaya Minimum TC = SC + WC (13-10) Persamaan biaya total per jam sebagai berikut: TC = SC + WC (13-10) TC adalah total biaya per jam, SC adalah biaya pelayanan per jam, WC adalah biaya menunggu per jam per pelanggan. Jika biaya menunggu per jam per pelanggan adalah Cw dan rata-rata pelanggan menghabiskan waktunya: W jam dalam sistem, maka rata- rata biaya menunggu per pelanggan adalah WCw. Jika tingkat rata-rata kedatangan pelanggan per jam adalah λ, maka dengan persamaan L = λW (persamaan 13-2), maka total biaya menunggu per jam adalah:  WC = λ(WcW) = (λW)cw = Lcw

Model Biaya Minimum Masalah Bongkar Muat Barang Sebuah perusahaan membeli bahan dari berbagai sumber. Bahan diangkut dengan menggunakan truk dan rata-rata setiap hari menerima kedatangan satu truk. Pembongkaran dilakukan oleh sekelompok tenaga kerja baik langsung maupun tidak. Kelompok tenaga kerja memiliki (n) anggota dan dapat membongkar 0,8n truk per hari. Biaya yang harus dikeluarkan ketika truk ditahan karena sedang melakukan pembongkaran sebesar Rp. 300.000,00. Setiap pekerja yang bertugas melakukan pemuatan menerima upah sebesar Rp. 105.000,00 per hari. Tentukan jumlah optimum anggota kelompok kerja.

Model Biaya Minimum Penyelesaian Model antrian yang digunakan adalah sistem (M/M/1) dengan λ = 1 truk per hari. Tingkat pelayanan µ = 0,8n, di mana n = jumlah anggota kelompok kerja. Persoalannya adalah menentukan nilai n agar total biaya per hari minimum.   Jika terdapat n pekerja dalam satu kelompok, maka biaya pelayanan adalah SC = 105.000n (Rp/hari). Maka biaya menunggu per hari: Cw = 300.000 (Rp/hari/truk), Persamaan total biaya:

Model Biaya Minimum Persamaan total biaya di atas adalah total biaya per hari, sedangkan TC adalah fungsi dari variabel (n). Oleh karena itu kita harus menentukan (n) untuk meminimumkan TC. Dalam pembahasan ditentukan bahwa paling sedikit menggunakan 2 pekerja dalam kelompok kerja. Jumlah tenaga kerja optimum dalam kelompok kerja adalah sebanyak 3 orang pekerja, karena biaya paling rendah.

Soal Tugas Sebuah perusahaan membeli bahan dari berbagai sumber. Bahan diangkut dengan menggunakan truk dan rata-rata setiap hari menerima kedatangan satu truk dengan nilai barang Rp. 1.000.000. Pembongkaran dilakukan oleh sekelompok tenaga kerja baik langsung maupun tidak. Kelompok tenaga kerja memiliki (n) anggota dan dapat membongkar 2n truk per hari. Biaya yang harus dikeluarkan ketika truk ditahan karena sedang melakukan pembongkaran sebesar (No Mhs%) dari nilai barang. Setiap pekerja yang bertugas melakukan pemuatan menerima upah sebesar (No Mhs%) per hari dari biaya bongkar. Tentukan jumlah optimum anggota kelompok kerja, dan mengapa dikatakan optimum?