Model matematik trafik Proses kelahiran  proses datangnya panggilan Proses Kematian  proses berakhirnya panggilan Kondisi/keadaan  menyatakan banyaknya saluran yang diduduki. Probabilitas kondisi  lamanya suatu kondisi diduduki dalam selang waktu 1 jam.

Diagram Kondisi Dinyatakan dengan lingkaran yang diberi angka. Angka menunjukkan jumlah saluran yang diduduki 1 2 3 3 saluran diduduki

Diagram Transisi Kondisi 3 1 2 ……………. 1 2 n Kondisi tak ada saluran di duduki

Persamaan kondisi Probabilitas datangnya satu panggilan pd kondisi n dalam waktu dt : bn dt Probabilitas berakhirnya satu panggilan pd kindisi n dalam waktu dt : dn dt Probabilitas terjadinya lebih dari satu peristiwa = 0

Kondisi Pada t pada t+dt Transisi Probabilitas n Tdk ada datang Tdk ada berakhir (1-bn dt) x (1-dn dt) = 1- bn dt - dn dt + bn dn dt dt = 1- bn dt -dn dt n-1 ada 1 datang bn-1 dt x (1-dn-1 dt) = bn-1 dt-bn-1 dn-1 dt dt = bn-1 dt n +1 ada 1 berakhir (1-bn+1 dt)xdn+1 dt = dn+1 dt-bn+1dn+1dt dt = dn+1 dt Kondisi lainnya Ada 2 atau lebih datang atau ada 2 atau lebih bera-khir atau ada 1 datang dan 1 bera-khir.

Persamaan kondisi P(n,t+dt) = P(n,t)x[1-bn dt – dn dt]  & berakhir + P(n-1,t)x[bn-1 dt] 1 datang + P(n+1,t)x[dn+1 dt]1 berakhir + 0  lainnya = P(n,t) – P(n,t)[ bn dt + dn dt] + P(n-1,t)[bn-1 dt] + P(n+1,t)( dn+1 dt) P(n,t+dt)- P(n,t) = - P(n,t)[ bn dt+dn dt] + P(n-1,t)[bn-1 dt] dp (n,t) dp(n,t)= -P(n,t)[bndt+dndt]+P(n-1,t)bn-1dt+P(n+1,t)dn+1dt dp(n,t)= -P(n,t)[bn+dn]+P(n-1,t)bn-1+P(n+1,t)dn+1 dt Kondisi kesetimbangan : dp(n,t) = 0 0 = -P(n,t)[bn+dn]+P(n-1,t)bn-1+P(n+1,t)dn+1 0 = -P(n)[bn+dn]+P(n-1)bn-1+P(n+1)dn+1 P(n)( bn+dn) = P(n-1)bn-1+P(n+1)dn+1 pers kondisi

Kesetimbangan n=0: P(0)(b0 + d0) = P(-1)b-1 + P(1) d1 P(1)(b1 + d1) = P(1)d1 + P(2) d2 P(1)b1 = P(2) d2 n=2 P(2)(b2 + d2) = P(1)b1 + P(3) d3 P(2)(b2 + d2) = P(2)d2 + P(3) d3 P(2)b2 = P(3) d3 n=n P(n)bn = P(n+1)dn+1  pers kesetimbangan

Probablts datang panggilan = Probabltas berakhirnya panggilan dp(n,t)= -P(n,t)[bn+dn]+P(n-1,t)bn-1+P(n+1,t)dn+1 dt pada n=0 dp(0,t)= -P(0,t)[b0+d0]+P(-1,t)b-1+P(1,t)d1 = -P(0,t)b0+P(1,t)d1 Jika hanya ada panggilan datang saja dengan -b0 = b1 = b2 = … = a  dn = 0 maka dp(0,t)= -aP(0,t)

pada n=1 dp(1,t)= -P(1,t)[b1+d1]+P(0,t)b0+P(2,t)d2 dt = -P(1,t).a + P(0,t)a = a P(0,t) - aP(1,t) pada n=n dp(n,t)= -P(n,t)[bn+dn]+P(n-1,t)bn-1+P(n+1,t)dn+1 = -P(n,t).bn + P(n-1,t) bn-1 = -a P(n,t) + aP(n-1,t)

Solusi persamaan Deferensial Untuk n = 0 P(0,t) = e-at Untuk n =1 P(1,t)= aP(0,t)-a P(1,t) dt = a e-at - aP(1,t) P(1,t) = a t e-at n=n P (n,t) = (at)n e-at  Distribusi Poisson n!

Distribusi Poisson Berlaku untuk : Sumber panggilan jumlahnya tak hingga Jumlah saluran yang disediakan tak hingga Rate kedatangan random

Distribusi Poisson σ

Mean = Varian  M = s 2 Jika : S = ~ , N = ~  distribusi Poisson S = ~ , N = terbatas  distribusi Erlang S = terbatas , N = terbatas  distribusi binomial S = terbatas, N = terbatas dan S > N  Engset

Distribusi Poison : Berlaku untuk : - kedatangan acak dengan rate tetap. Jumlah sumber = Tak hingga Jumlah kanal / saluran = Tak hingga Mean = Variansi Distribusi tersebut diperoleh untuk nilai koefisien kela-hiran yang tetap untuk semua kondisi yaitu a bo = b1 = b2 = ……..bn = a

Persamaan Poisson P(n) = ( An / n ! ) x e-A. N= jumlah saluran/jumlah panggilan A = Intensitas trafik=Mean

Contoh Rata-rata panggilan datang setiap 5 detik terjadi selama periode 10 detik,tentukan probabilitas: Tak ada panggilan datang? Satu panggilan datang? Dua panggilan datang? Lebih dari 2 panggilan datang?

Jawab P(n) = ( An / n ! ) x e-A. A = 2, P(0) = 0,135 P(1) = 0,270 P(>2) =1-P(0)-P(1)-P(2)=0,325

“ DISTRIBUSI ERLANG”. Berlaku u/ sumber panggilan tak hingga ttp CH terbatas. S = ~ N = terbatas.

a a a a a 0 1 2 3 ………… N  2 3 4 N

Dari distribusi Poisson P(n) = ( An / n ! ) x e-A Probabilitas total = 1. Maka : = P(0) + P(1) + P(2) + ………. + P(N). = P(0) + AP(0) + (A2/2!).P(0) + ……. + (AN/N!).P(0) . = P(0) x { 1 + A + (A2/2!) + ……. + (AN/N!) }. 1 = P(0) x  Ai / i! .

P(0) = 1 . N  Ai / i! . i=0 P(n) = ( An / n! ) x [ 1 / (  Ai / i! ) ] = An / n! . 1 + A + (A2/2) + A3/3!) + …. (AN / N!) . P (n) = An / n! . = B = GOS = Prob. Blocking.

Contoh 1 N = 3 , Intensitas (A) = 3. GOS = P(3) = ( 33 / 3 ! ) = ( 27/6 ) . 1+3+(32/2) + (33/3!) 1 + 3 + 4,5 + (27/6) = ( 4,5 / 13 ) = 0,34 = 34 %.

Contoh Diketahui suatu sentral memiliki 6 saluran (kanal), trafik yang ditawarkan adalah 4 Erlang (A). Berapa Grade Of Service (GOS) dr sentral tersebut ?

Jawab GOS= P(6)= An/n! = 46/6 ! . N 6  Ai / i! .  46 / 6! i=0 i=0 ( 4096/720) . = 1+A+A2/2+A3/3!+A4/4!+A5/5!+A6/6! = ( 4096 / 720 ) . 1+4+16/2+64/6+256/24+1024/120+ 4096/720 GOS = 0,117  12 %.