HIMPUNAN MATEMATIKA EKONOMI

Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan Ruang Lingkup

P ENGERTIAN H IMPUNAN Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Secara umum himpunan dilambangkan  A, B, C, Z Obyek dilambangkan  a, b, c,..... z Notasi : - p A  p anggota A - A B  A himpunan bagian dari B - A = B  himpunan A sama dengan B - =  ingkaran ∩ ∩ ∩∩

P ENYAJIAN H IMPUNAN Penyajian Himpunan cara daftar  A = {1,2,3,4,5} berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5. cara kaidah  A = { x ; 0 < x < 6} berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

Keanggotaan Suatu Himpunan Contoh: A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } 1  A1  B 3  A3  B 5  A5  B 7  A7  B 9  A9  B 2  B2  A 4  B4  A 6  B6  A 8  B8  A 10  B10  A Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6 12  B12  A Catatan: Lambang  dibaca “elemen” atau anggota Lambang  dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal atau banyaknya anggota himpunan.

D = { X | X ORANG YANG TINGGINYA LEBIH DARI 5 M } HIMPUNAN KOSONG DEFINISI: Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau  Contoh : F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 } Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir) Sekarang cobalah kalian membuat notasi himpunan yang mendefinisikan himpunan kosong (waktumu 5 menit)

Himpunan Semesta Definisi : Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan Contoh : A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } D = { 2,3,5,7,11 } E = { 0, 2, 4, 6 } Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E 1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ? 2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ? Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

O PERASI H IMPUNAN Gabungan (Union) A U B = { x; x Є A atau x Є B } Irisan (Intersection) A ∩ B = { x; x Є A dan x Є B } Selisih A - B = A|B { x; x Є A tetapi x Є B } Pelengkap (Complement) Ā = { x; x Є U tetapi x Є A } = U – A

Diagram Venn Langkah-langkah menggambar diagram venn 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah 4.Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi 5.Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6.Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu 7.Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

D IAGRAM V ENN Gabungan ( A U B ) Irisan

L ANJUTAN Selisih ( A – B = A|B )Selisih ( A – B = A|B ) Pelengkap / complement ( Ā )Pelengkap / complement ( Ā )

K AIDAH - KAIDAH M ATEMATIKA DALAM P ENGOPERASIAN H IMPUNAN Kaidah Idempoten a.A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Kaidah Komutatif a.A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

L ANJUTAN Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø c. A U U = U d. A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A ∩ Ā = Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Contoh: Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } A = { 1,2,3,4,5,6 }B = { 2,4,6,8,10 }C = { 3,6,9,12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab: A B C S adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C 3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C 2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B 0

Contoh 2: Dari 32 mahasiswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya. a.Ada berapa orang mahasiswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang mahasiswa yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang mahasiswa yang tidak gemar keduanya? Jawab: N(S) = 32Misalnya : A = {mahasiswa gemar melukis} n(A) = 21 B = {mhsw gemar menari} n(B) = 16 A  B = {mahsw gemar keduanya} n( A  B) = 10 Perhatikan Diagram Venn berikut 10 AB 116 S 5 a. Ada 11 mhsw yang hanya gemar melukis b. Ada 6 mhsw yang hanya gemar menari c. Ada 5 mhsw yang tidak gemar keduanya

Contoh 3: Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x  B } M = { x | x > 15, x  S } N = { x | x > 12, x  S } Gambarlah diagram vennya Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x  B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } M = { x | x > 15, x  S } = { 16,17,18,19,20} N = { x | x > 12, x  S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} M  N = { 16,17,18,19,20 } M N S Diagram Vennya adalah sbb:

L ATIHAN Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā