Oleh : Siti Salamah Ginting, M.Pd. PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS

METODE SIMPLEKS  Sejarah pertama kali dikemukakan oleh George Dantzig pada tahun 1947  Pengertian metode pemecahan persoalan program linear yang begitu kompleks dan luas yang sulit jika diselesaikan dengan metode aljabar (sederhana) dan grafik.

Istilah-Istilah dalam Metode Simpleks  Iterasi : tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.  Variabel non basis : variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi.  Variabel basis : variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi.  Solusi atau Nilai Kanan (NK) : nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia.

 Variabel Slack : variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala untuk mengkonversi pertidaksamaan ≤ menjadi =  Variabel surplus : variabel yang dikurangkan dari model matematika untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan =  Variabel buatan : variabel yang ditambahkan ke dalam model matematika kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal.  Kolom Pivot (Kolom Kerja) : kolom yang memuat variabel masuk.

 Baris Pivot (Baris Kerja) : salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.  Elemen Pivot (Elemen Kerja) : elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.  Variabel masuk : variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya.  Variabel keluar : variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk.

 Model Umum Metode Simpleks. 1. Kasus Maksimisasi. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X –C n X n -0S 1 -0S S n = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11 +a 12 X a 1n X n + S 1 +0S S n = b 1 a 21 X 21 +a 22 X a 2n X n + 0S 1 +1S S n = b 2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … a m1 X m1 +a m2 X m a mn X n + S 1 +0S S n = b m Var. Kegiatan Slack Var

Tabel Simpleks : Var. Dasar ZX1X1 X2X2.. XnXn S1S1 S2S2 SnSn NK Z1-C 1 -C 2.. -C n S1S1 0a 11 a 12...a 1n 1000b1b1 S2S2 0a 21 a 22...a 2n 0100b2b2... SnSn 0a m1 a m2...a mn 0001bmbm

2. Kasus Minimisasi Fungsi Tujuan : Minimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X –C n X n -0S 1 -0S S n = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11 +a 12 X a 1n X n - S 1 -0S S n = b 1 a 21 X 21 +a 22 X a 2n X n - 0S 1 -1S S n = b 2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … a m1 X m1 +a m2 X m a mn X n - S 1 - 0S S n = b m var.kegiatan Surplus var.

Tabel Simpleks : Var. Dasar ZX1X1 X2X2.. XnXn S1S1 S2S2 SnSn NK Z1-C 1 -C 2.. -C n S1S1 0a 11 a 12...a 1n 000b1b1 S2S2 0a 21 a 22...a 2n 000b2b2... SnSn 0a m1 a m2...a mn 000bmbm

3. Kasus-kasus Khusus Perubahan tanda ketidaksamaan menjadi persamaan pada fungsi pembatas menyesuaikan dengan tanda ketidaksamaan masing-masing persamaan linearnya.

 Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 1 :  Merubah fungsi tujuan dan persamaan/pertidaksamaan fungsi tujuan ke persamaan simpleks. Langkah 2 :  Memindah semua nilai koefisien dalam tabel simpleks Langkah 3 :  Menentukan KOLOM KUNCI dengan cara mencari nilai negatif terbesar yang ada di baris tujuan (Z) pada tabel.

 Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 4 :  Menentukan BARIS KUNCI dengan cara membagi setiap angka pada kolom Nilai Kanan (NK) dengan setiap Angka pada Baris Kunci. Kemudian dari hasil pembagian tersebut dipilih hasil positif yang paling kecil.

 Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 5 :  Menentukan Angka kunci pada perpotongan antara Kolom kunci dan Baris kunci. Selanjutnya menggunakan angka kunci untuk menentukan baris kunci yang baru, apabila masih menemukan nilai negatif. Langkah 6 :  Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya.

 Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 7:  Jika ternyata masih ada angka negatif pada baris tujuan (Z), langkah selanjutnya adalah menentukan nilai baris kunci yang baru. Nilai Baris kunci yang baru ditentukan dengan cara membagi semua nilai yang ada pada baris kunci yang lama dengan angka kuncinya. Rumusnya adalah :

 Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 8 :  Mengisi/melengkapi sel lain dalam tabel simpleks yang masih kosong, dengan cara angka atau nilai yang lama dikurangi dengan hasil perkalian antara angka baris baru dengan angka kolom kunci.

 Kasus Maksimisasi : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 15X X 2 2. Fungsi Pembatas : 2.1. X 1 + X 2 ≤ X 1 + X 2 ≤ 1000 X 1, X 2 ≥ 0

Langkah : 1 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – 15X 1 – 10X 2 – 0S 1 – 0S 2 = 0 2. Fungsi Pembatas : 2.1. X 1 + X 2 + S 1 + 0S 2 = X 1 + X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 1000 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

Langkah : 2 Tabel Simpleks Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

Langkah : 3 Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S Negatif Terbesar

2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S Kolom Kunci Negatif Terbesar

Langkah : 4 b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S S2S

Variabe l Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S S2S Baris Kunci Langkah : 4 b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif).

Langkah : 5 Menentukan Angka Kunci : Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S

Langkah : 5 Menentukan Angka Kunci : Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S S2S Angka Kunci

Langkah : 6 dan 8 d. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S X1X ½ ½ 500 0/2 2/22/2 1/21/2 1/21/2 1000/2

Langkah : 6 dan 8 d. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z S1S X1X1 01½0½500

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama[ ] NBKB -15 x[ 01½ 0½ 500 ] – Baris Baru 10-2½ 07½ 7500

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris S 1 Baris Lama[ ] NBKB 1 x[ 01½ 0½ 500 ] – Baris Baru 00½ 1- ½ 100

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z10-2½07½7500 S1S1 00½1- ½100 X1X1 01½0½500

Langkah 6 :  Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z10-2½07½7500 S1S1 00½1- ½100 X1X1 01½0½500

3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z10-2½07½7500- S1S1 00½1- ½ X1X1 01½0½ Angka Kunci

- Merubah baris pada angka kunci. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z10-2½07½7500- X2X2 00½1- ½100- X1X1 01½0½ /½ 0/½0/½ ½/½½/½ 1/½1/½ -½/½-½/½ 100/½ 2

- Merubah angka pada baris-baris lainnya. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z10-2½07½7500- X2X X1X1 01½0½500-

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama[ 10-2½ 07½ 7500 ] NBKB -2½ x[ ] – Baris Baru

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris X 1 Baris Lama[ 01½ 0½ 500 ] NBKB ½ x[ ] – Baris Baru

- Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z X2X X1X

Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb: X 1 = 400 dan X 2 = 200 dengan Z maksimum = 8000

Contoh-2 : Model Program Linear Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3X 1 +2X 2 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 ≤ 15 2X 1 + X 2 ≤ 28 X 1 + 2X 2 ≤ 20 X 1, X 2 ≥ 0

Model Simpleks Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 3X 1 –2X 2 –0S 1 –0S 2 –0S 3 = 0 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 + S 1 = 15 2X 1 + X 2 + S 2 = 28 X 1 + 2X 2 + S 3 = 20 X 1, X 2 ≥ 0

Tabel Simpleks Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK Z S1S S2S S3S

(a). Iterasi Awal (Iterasi-0) : Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z S1S S2S S3S

(b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z0-½03/2042- S1S1 0½1-½01- X1X1 1½0½014- S3S3 03/20-½16-

(c). Iterasi-2 Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z0-½03/2042- S1S1 0½1-½012 X1X1 1½0½01428 S3S3 03/20-½164

Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z X2X X1X S3S

Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan rincian sbb : X 1 = 13; X 2 = 2, Z maksimum = 43

 Tugas Mandiri : 1 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 2X 1 + 3X 2 2. Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 ≤ 5 X 1 + 2X 2 ≤ 6 X 1, X 2 ≥ 0

 Tugas Mandiri : 2 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 50X X 2 2. Fungsi Pembatas : 4X 1 + 8X 2 ≤ 32 5X 1 + 6X 2 ≤ 30 X 1, X 2 ≥ 0

Tugas Mandiri : 3 Maksimumkan Z = 400X X 2 Fungsi kendala/ batasan: 1) 4X 1 + 6X 2 ≤ ) 4X 1 + 2X 2 ≤ 800 3) X 1 ≤ 250 4) X 2 ≤ 300 5) X 1, X 2 ≥ 0

Tugas Mandiri : 4 Maksimumkan Z = 2X 1 + 3X 2 + X 3 Dengan fungsi kendala: 1) X 1 + X 2 + X 3 ≤ 9 2) 2X 1 + 3X 2 ≤ 25 3) X 2 + 2X 3 ≤ 10 4) X 1, X 2, X 3 ≥ 0

Tugas Mandiri : 5 Minimumkan Z = 3X 1 + 2X 2 Fungsi batasan : 1) X 1 + 2X 2 ≥ 20 2) 3X 1 + X 2 ≥ 20 3) X 1 ≥ 0, 4) X 2 ≥ 0