PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
PD TK SATU PKT SATU HOMOGEN DAN NON HOMOGEN
Advertisements

PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT SATU PANGKAT SATU (VARIABEL TERPISAH)
Persamaan diferensial (PD)
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
BY : ERVI COFRIYANTI, S.Si
6. Persamaan Diferensial Tidak Eksak
Persamaan Diferensial Eksak
PERSAMAAN DIFFRENSIAL
. Integral Parsial   Jika u dan v merupakan fungsi dapat diturunkan terhadap x maka .d(uv) = u dv +v du .u dv = d(uv) – v du Integral dengan bentuk ini.
Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFRENSIAL PARSIAL
METODE DERET PANGKAT.
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
5.10 Turunan fungsi hiperbolik
TURUNAN PARSIAL MATERI KALKULUS I.
Matakuliah : J0182/ Matematika II Tahun : 2006
TURUNAN PARSIAL.
9. TEKNIK PENGINTEGRALAN
Integral garis suatu lintasan
TURUNAN
Ratna Herdiana Fungsi Beberapa Variabel (Perubah) Contoh2 : -
MODUL 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
Persamaan Diferensial Biasa
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan Diferensial Eksak
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
Persamaan Diverensial
Riri Irawati, M.Kom Kalkulus I - 3 sks
OM SWASTYASTU.
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
Catatan Misal U = x2 Jadi:
Diferensial Fungsi Majemuk
8. Persamaan Differensial Biasa (PDB)
Curicullum Vitae. Curicullum Vitae MAT 29 PERSAMAAN DIFFERENSIAL Prasyarat telah menempuh: MAT 06 Kalkulus I MAT 07 Kalkulus II MAT 08 Kalkulus Peubah.
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
PD Tingkat n (n > 1 dan linier) Bentuk umum :
BAB II PERSAMAAN DIFFRENSIAL
PEMBAHASAN LATIHAN SOAL
Widita Kurniasari, SE, ME
Polinomial Tujuan pembelajaran :
Persamaan Diferensial (PD)
Hitung Diferensial Sumber: Husain Bumulo & Djoko Mursinto, Matematika Ekonomi.
P O L I N O M I A L (SUKU BANYAK) Choirudin, M.Pd.
Diferensial Fungsi Majemuk
Hitung Diferensial Sumber: Husain Bumulo & Djoko Mursinto, Matematika Ekonomi.
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu Oleh : Kholilah
Diferensial Fungsi Majemuk
Persamaan Diferensial Variable Terpisah (Orde 1)
Diferensial Fungsi Majemuk
Matakuliah : Kalkulus-1
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI Bila integral tak tentu tidak dapat langsung diintegralkan dng menggunakan rumus-rumus yang telah dibicarakan.
Integral Tak Tentu INTEGRAL TAK TENTU TRIGONOMETRI SUBTITUSI PARSIAL
Diferensial Fungsi Majemuk
DALIL GREEN 1. Mengintegralkan sepanjang lengkung tertutup. Contoh :
Widita Kurniasari, SE, ME
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu. Pengertian Integral Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan.
Persamaan Diferensial Bernoulli. Persamaan diferensial (1.14) merupakan persamaan diferensial linear orde-1 (dalam variabel v), dan dapat diselesaikan.
Differensial.
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Hitung Diferensial Widita Kurniasari, SE
Penggunaan Diferensial Parsial (2)
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Diferensial Fungsi Majemuk
DIFERENSIAL (2) ALB. JOKO SANTOSO 1/15/2019.
Notasi, Orde, dan Derajat
MATEMATIKA TEKNIK II PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER.
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Transcript presentasi:

PERSAMAAN DIFFERENSIAL Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum : Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan2 ilmu pengetahuan dan teknik. Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.

Contoh :

SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL Untuk mencari solusi dari PD, harus mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu, artinya yang memuat persaman itu menjadi benar. Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut sehingga semua koefisien differensial hilang, yang ada hanya hubungan antara variabel x dan y saja, yaitu : F ( x , y ) = 0

Contoh : maka : y = 2x2 atau y = 2x2 + x , atau y = 2x2 –5x + 3 merupakan jawab dari PD diatas. Terlihat bahwa PD diatas mempunyai jawaban tidak tunggal. Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis : y = 2x2 + c1x + c2 dimana c1 dan c2 adalah konstanta ,

JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS Bentuk umum : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 1. PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0 Solusi umum PD : contoh : (x+1) dx + (y2 –3) dy = 0

1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 direduksi dengan mengalikan : PD diatas menjadi : karena telah menjadi PD variabel terpisah, maka solusi PD diatas :

Contoh : 1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0 2. xy dx + (1 + x2) dy = 0 3. 4. cos y dx + (1 + e–x) sin y dy = 0

Latihan :  1. (1 + ex)dy + (1 + e-y)dx = 0 2. xln x dy + (ey + e-y)dx = 0 3. tg x dy – ctg y dx = 0 4. 2(1 + x2)dy – (1 – y2)dx = 0 5. (1 + x2) dy + (1 + y2) dx = 0  

3. PD Homogen Suatu fungsi f(x,y) dikatakan homogen berderajat n , jika : f(λx, λy) = λn f(x,y) PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 Dikatakan PD Homogen derajat n jika : M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen yang berderajat sama. Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan transformasi : y = vx dan dy = v dx + x dv dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan v dengan variabel terpisah.

Contoh : 1. subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh :

2. 3. 4.

Latihan :  1. (x2 + y2)dx – 2xydy = 0 2. y(x2 + y2)dx – x{x + (x2 + y2)}dy = 0 3. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0 4. (xsin - ycos )dx + xcos dy = 0 5. xdy – ydx - (x2 – y2)dx = 0  

4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga : dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1) Rumus differensial : Maka dari (1) dan (2) diperoleh :

Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak adalah : Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui persamaan (3) atau persamaan (4). Dari persamaan (3) Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y

Dari persamaan (4) Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x

Contoh : 1. (x2 – y) dx – x dy = 0   Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x Jadi,

2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0 3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0 4 2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0 3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0 4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0 5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0 6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD : I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0 merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut. Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain : 1. Jika suatu fungsi dari x saja, maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.

2. Jika suatu fungsi dari y saja maka adalah faktor integrasi dari PD tsb. 3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 , maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb. 4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana f(x,y) ≠ g(x,y) , maka adalah faktor integrasi dari PD tersebut.

Contoh: 1. (2y –x3) dx + x dy = 0 2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0 3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0 4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0 5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0 6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0

Latihan : 1. (x2 – y) dx – xdy = 0 2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0 3. (1 + e2)dr + 2re2 d = 0 4. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0 5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0  

6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA Bentuk umum : Persamaan ini mempunyai faktor integrasi : Solusi umum dari PD ini adalah :

Contoh : 1. P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x Faktor Integrasi : I = maka solusinya : Jadi , 2. 3.

7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI Bentuk umum : Dengan transformasi : akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu : yang mempunyai solusi umum :

Contoh : 1. 2. 3. 4.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGI Bentuk umum : atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dx Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya 1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0 dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y

Langkah2 menentukan solusi umum (1) Langkah2 menentukan solusi umum (1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*) dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y (2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), yaitu : (p – F1) (p – F2) …………………………………………………………………..

(3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu tersebut, yaitu : f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0

2. Jika PD tidak mengandung y, dan x dapat dipisahkan. Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum (1). Differensialkan x terhadap p, yaitu : (2).Karena maka shg : (3).Solusi umum dari PD telah diperoleh x = f(p) p adalah parameter y =

3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan 3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan. Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum : (1). Differensialkan y terhadap p, yaitu : (2). Karena maka sehingga : (3). Solusi umum dari PD telah diperoleh y = f(p) p adalah parameter x =

contoh : 1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0 2. 7p3 + 3p2 = x 3 contoh : 1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0 2. 7p3 + 3p2 = x 3. p3 + 5p2 + 7p = y 4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0