Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau PERTEMUAN KE 2 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau KEKURANGAN KULIAH MINGGU LALU DAN PEMBAHASAN SOAL BONUS Y = ax + k a tetap dan k berubah-ubah 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Secara umum apa persamaan garis tersebut Melalui suatu titik tapi gradientnya Berubah-ubah 3 Garis tersebut selalu melalui titik (0,3) Y = sx + 3 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Secara umum apa persamaan garis tersebut Melalui suatu titik tapi gradientnya Berubah-ubah Siapa bisa diberi nilai bonus (tapi sekarang juga) Kumpulan semua garis yang melalui suatu titik disebut Pencil of lines 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Perhatikan kembali persamaan garis y = sx + 3 Jika angka 3 kita ganti dengan n, maka Persamaan garisnya adalah Y = sx + n n Sekarang geser persamaan Garis Y = sx + n sejauh m satuan ke kiri Maka persamaannya menjadi APA YANG SUSAH SEPERTINYA ANDA-ANDA YANG TAK NAK NILAI BONUS Y = s(x-m) + n = sx - sm + n) Atau sx –y - sm + n = 0, dengan s, m dan n sebarang Silakan periksa apakah titik (m,n) berada pada garis tersebut 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Persoalannya adalah, apa persamaan garis Yang melalaui perpotongan garis l1 dan l1 Dan memenuhi syarat tertentu (TANPA MENCARI TITIK POTONGNYA) l1 a1x +b1y+c1=0 Karena garis tersebut berpotongan, Maka mestilah l2  a2x +b2y+c2=0 Titik potong yang umum a1x +b1y+c1=0 a2x +b2y+c2 =0 Lalu cari x dan y Letih dan melelahkan, apalagi kalau 3 dan 4 garis lurus 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Boleh jugakan dari bentuk a1x+b1y+c1 = a2x+b2y+c2 a1x+b1y+c1 = a2x+b2y+c2 atau (a1x+b1y+c1) – 1( a2x+b2y+c2) = 0 . . . . . . . . . . . . . (1) Kalau garis l1 dikali t1 dan garis l2 dikali t2 Berobah tak gradient masing-masing garis dan berobah tak Titik potongnya Kalau begitu berdasarkan (1) kita punya t1(a1x+b1y+c1) = t2(a2x+b2y+c2) Tingal dicari nilai t1 dan t2 dan dengan mengkombinasikan Dengan syarat lainnya 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Contoh-contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui perpotongan Garis 2x – 3y + 6 = 0 dengan x + y – 4 = 0 Yang melalui titik (2, -3) Penyelesaian : Persamaan garis adalah t1(2x-3y+6) +t2(x+y-4) = 0 Melalui titik (2, -3) Diperoleh t1(4+9+6)+t2(2-3-4) = 0 Sehingga 19 t1 - 5 t2 = 0 Maka diperoleh : 10x – 15y – 30 + 19x + 19y – 76 = 0 29x + 4y – 46 = 0 Yang merupakan persamaan garis melalui Perpotongan l1 Dan l2 serta melalui titik (2, -3) 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau 2. Tentukan persamaan garis yang melalui perpotongan garis 3x - 4y + 12 = 0 dengan garis x + 3y – 6 = 0, yang a. Sejajar dengan garis 2x + y – 1 = 0 b. Sejajar dengan sumbu x c. Sejajar dengan sumbu y d. tegak lurus dengan garis 4x-7y +10 = 0 Penyelesaian : Persamaan garis adalah : t1(3x - 4y + 12 ) + t2(x +3y – 6) = 0 (3t1+t2)x + (3t2-4t1)y + 12t1 -6t2 = 0 a. Sejajar dengan garis 2x + y – 1 = 0, Maka : Dari mana ??? Atau 3t1 + t2 = 6t2 – 8t1 11t1 = 5t2  5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Pilih t1 = 5 dan t2 = 11, Maka diperoleh 26x + 13y – 6 = 0. b. Sejajar dengan sumbu x. Perhatikan kembali persamaan yang diperoleh (3t1 +t2)x + (3t2 -4t1)y + 12t1 -6t2 = 0 Sejajar dengan sumbu x, maka haruslah berlaku 3t1 + t2 = 0 Dari mana ????? Pilih t1 = 1 dan t2 = -3, sehingga diperoleh 0x – 13 y + 30 = 0 atau 13 y + 30 = 0 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau b. Sejajar dengan sumbu y. Perhatikan kembali persamaan yang diperoleh (3t1 +t2)x + (3t2-4t1)y + 12t1 -6t2 = 0 Sejajar dengan sumbu y, maka haruslah berlaku 3t2 - 4t1 = 0 Dari mana ????? Pilih t1 = 3 dan t2 = 4, sehingga diperoleh 13x + 0 y + 12 = 0 atau 13 x + 12 = 0 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Latihan : Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis 5x – 3y = 0 dan melalui pencil of lines yang definisikan dengan 3x + 4y -12 = 0 dan x – 2y + 4 = 0 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 2x – y + 6 = 0 dengan 3x + 4y – 12 = 0 dan melalui titik pusat 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU Bisektor suatu sudut Misalkan kita punya garis a1x+b1y+c1 = 0 dan a2x+b2y+c2=0 R  P(x1,y1) Kenapa ??? M Persoalannya apa ??? Bagaimana menentukan persamaan garis yang merupakan Bisektor tersebut Ambil sebarang titik P(x1,y1) dan misalkan R dan M masing-masing Proyeksi titik P pada garis a1x+b1y+c1=0 dan a2x+b2y+c2=0 Maka |MP|=|RP| 5/9/2019 DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU

DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU Jika RP // dengan koefisien arah dari u=[a1,b1] u=[a1,b1] Begitu juga MP mempunyai dengan v=[a2,b2] Sehingga diperoleh v=[a2,b2] Sebaliknya jika RP searah dengan keoefisien arah dari u dan MP berlawanan arah dengan koefisien arah dari v, maka Diperoleh 5/9/2019 DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU

DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU Ingat, titik P(x1,y1) diambil sebarang pada garis bisektor Kalau kita subsitusikan (x1,y1) dengan (x,y) Maka atau Merupakan persamaan bisektor, Ingat, persamaan (1) atau (2) yang digunakan, tergantung Dari arah RP dan MP terhadap u dan v 5/9/2019 DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU

DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU Contoh : Tentukan persemaan bisektor dari sudut yang dibentuk oleh garis l1  3x - 4y+10 = 0 denga l2  4x – 3y +12 = 0 Penyelesaian : Akan mempunyai arah yang sama dengan u dan v, maka persamaan bisektornya adalah ADA PERTANYAAN Yang ekivalen dengan x + y + 2 = 0 KALAU TAK ADA SAYA YANG NANYA 5/9/2019 DR. MASHADI, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS RIAU

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Berkas lingkaran Apakah bentuk berkas lingkaran jika titik pusatnya tetap dan jari-jarinya bebas . P(2,1) (x-2)2 + (y-1)2 = r2 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Yang ini apa (0.4) Titik pusatnya berada pada garis y = 4 dan jari-jarinya r2 = 16 (x-a)2 + (y-4)2 = 16 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

Perhatikan bentuk berikut Merupakan berkas lingkaran yang selalu berpotongan di titik (x1,y1) Maka berlaku (x1,y1) Dan 5/9/2019

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Bentuk persamaan t1(x2 + y2 + D1x + E1y + F1) = t2(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 Dengan cara yang sama seperti berkas garis lurus hitunglah rasio dari t1/t2 --------------------------------------------------------------- Misalkan berkas lingkaran tersebut sepusat akan tetapi jari-jarinya sama x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 DAN ???? x2 + y2 + D1x + E1y + F2 = 0 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR t1(x2 + y2 + D1x + E1y + F1) = t2(x2 + y2 + D1x + E1y + F2) = 0 (t1 + t2)x2 + (t1+t2)y2 + (t1+t2)D1x + (t1+t2)E1y + t1F1+t2F2) = 0 Yang merupakan persamaan berkas lingkaran 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Contoh 1 Tentukan persamaan dari berkas lingkaran yang didefinisikan oleh lingkaran x2 + y2 - 2x +4y - 4 = 0 dan x2 + y2 = 16 Yangmana berkas lingkaran tersebut melalui titik (3,1) 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Contoh 2 Tentukan persamaan dari berkas lingkaran yang didefinisikan oleh lingkaran x2 + y2 - 2x +3y - 2 = 0 dan x2 + y2 +2x - 4y - 4= 0 Yangmana berkas lingkaran tersebut Titik pusatnya berada pada sumbu y Titik pusatnya berada pada garis x =3 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Maka  = 2 - 1 tg  = tg (2 - 1) Susah tak menghitung ini Kalau susah sederhanakan 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Misalkan persamaan garisnya a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 tg 1 = -b1/a1, tg 2 = -b2/a2 Maka Silakan hitung cos  5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau APA INI, BUAT KESIMPULAN SENDIRI 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau CONTOH Tentukan sudut antara ketiga garis berikut 2x – y + 6 = 0 x + y – 1 = 0 x + 3y – 3 = 0 Kalau tak malu, saya tulis jawabnya 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Perhatikan gambar berikut l1 x y O Q r C(a,0) Berapa koordinat titik Q l2 koordinat titik Q ?, maka persamaan garis l1 bisa ditentukan 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Persamaan lingkarannya adalah (x-a)2 + y2 = r2 Persamaan sebarang garis melalui O apa ? y = sx Selanjutnya garis y = sx menyinggung linggkaran Maka berlaku l1 x y O Q r C(a,0) (x-a)2 + s2x2 = r2 (1+s2)x2 -2ax +(a2-r2) = 0 Ini merupakan PK, hitunglah x l2 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Ingat, bila akar-akarnya beda, sama dan imajiner Apa artinya jika s2(r2-a2) + r2 > 0 Hubungannya dengan Garis singggung Apa artinya jika s2(r2-a2) + r2 < 0 Apa artinya jika s2(r2-a2) + r2 = 0 Selanjutnya perhatikan jika s2(r2-a2) + r2 = 0 dan y = sx Garis singgung pada lingkaran Diperoleh kemiringan garis singgungnya : Sehingga persamaan garis singggungnya adalah 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Subsitusikan Pada persamaan Sehingga diperoleh Kemudian subsitusikan nilai x pada Sehingga diperoleh Jadi koordinat titik singgungnya adalah : 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Selanjutnya x y O Q C(a,0) Persoalan berikutnya berapa panjang garis singgung padaLingkaran dari suatu titik sebarang diluar lingkaran 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Perhatikan gambar berikut x y O Sebut t = |QP| Q Maka berlaku : C(h,k) t Q' t P(x1,y1) 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Contoh-contoh Tentukan koordinat titik singgung pada lingkaran (x-3)2 + ((y+2)2 = 25 dari titik P(-4,2) serta tentukanlah jarak dari P ke titik singgungnya. Tentukan panjang garis singgung dari titik (3,-1) ke lingkaran 2x2+2y2+3x-y-5=0 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2 = r2 Perhatikan gambar disamping P(x,y) Jadi P1 (x1,y1) • 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Kalau persamaan garis singgungnya adalah x1x + y1y = r2. Bisa tak dengan cepat anda tentukan persamaan normalnya. persamaan normalnya adalah : Dari mana man ??? y1x – x1y = 0 Selanjutnya temukan sendiri persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (boleh berkelompok) 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR P(x,y) P1 (x1,y1) • • C(h,k) 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Yang disebut denga Persamaan grs singgungnya Bandingkan cara di atas dengan yang di buku SMA (1 hal penuh Sekarang turunkan persamaan garis normalnya 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 jika kemiringannya diketahui Misalkan y = sx + k merupakan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2. Apa yang dapat kita peroleh dari persamaan garis dan persamaan lingkaran y=sx+k1 Ingat : garis menyinggung lingkaran y=sx+k2 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Maka diperoleh x2 + (sx+k)2 = r2 x2 (1 + s2) + 2ksx + k2 – r2 = 0 . . . . . (*) Ingat garis tersebut menyinggung lingkaran di suatu titik, maka kalau begitu mestilah berlaku -4k2 + 4(1 + s2).r2 = 0 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Contoh : Tentukanlah persamaan garis singggung pada lingkaran x2 + y2 = 25 dengan kemiringan -4/3 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Penyelesaian Kalau di sederhanakan akan diperoleh 4x+3y -25 = 0 dan 4x + 3y + 25 = 0 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

Sekarang Kerjakan secara mandiri atau kelompok soal berikut Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2, jika gradiennya diketahui Kalau mau ngerjakan sendiri ke depan di anggap nilai bonus Silakan coba 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR Penyelesaian Kembali misalkan persamaan garis singgungnya adalah y = sx + k Subsitusikan y = sx + k pada persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2, (x-a)2 + (sx + k – b)2 = r2 Teruskan donk kalau mau dapat bonus 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR 5/9/2019 PROF. DR. MASHADI, M.SI, JUR MAT FMIPA UR

Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau 5/9/2019 Prof. Dr. Mashadi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau