Program Linier Riset Operasi I

Apakah Program Linier ? Definisi : Suatu model matematik yang berhubungan dengan alokasi yang efisien dari sumber yang terbatas untuk mencapai tujuan yang diinginkan (memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya) Karakteristik dari Programa Linier : Seluruh variabel adalah kontinu (dapat berbentuk nilai fraksional). Tujuan (obyektif) nya tunggal (maximum atau minimum) Fungsi Obyektif dan Pembatas adalah fungsi linier

Penerapan Program Linier Work scheduling Production planning & Production process Capital budgeting Financial planning Blending (Mis: Oil refinery management) Farm planning Distribution Multi-period decision problems Inventory model Financial models

Model Programa Linier Maksimasi atau Minimasi : x0 = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn Fungsi Pembatas a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ( , =, atau  ) b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ( , =, atau  ) b2 . . . am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ( , =, atau  ) bm x1, x2,…., xn  0

Bentuk Kanonik Program Linier Maksimasi Semua variabel keputusan adalah non-negatif (xj) Fungsi obyektifnya adalah tipe maksimasi Semua pembatas mempunyai tipe 

Asumsi Dasar Pada Program Linier Proporsional. Kontribusi fungsi obyektif dari tiap variabel keputusan proporsional terhadap nilai variabel Konstribusi tiap variabel keputusan terhadap sisi sebelah kiri tiap pembatas adalah proporsional terhadap nilai variabel keputusan.

Asumsi Dasar Pada Program Linier Ketidaktergantungan Konstribusi dari fungsi obyektif untuk setiap variabel keputusan tidak bergantung dari variabel keputusan lainnya. Konstribusi dari suatu variabel keputusan terhadap sisi kiri tiap batasan tidak bergantung dari nilai-nilai dari variabel keputusan lainnya.

Asumsi Dasar Pada Program Linier Dapat Dibagi. Tiap variabel keputusan diperbolehkan bernilai pecahan. Jika tidak, maka harus menggunakan Integer Programming (IP). Tertentu. Tiap parameter diketahui dengan pasti.

Tranformasi Permasalahan Program Linier (1) Lima cara mentranformasi permasalahan program linier Fungsi Minimasi, x0 sama dengan g0 = - x0 maksimasi dari Minimasi x0 = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn Sama dengan Maksimasi g0 = -x0 = - c1x1 - c2x2 - . . . - cnxn

Tranformasi Permasalahan Program Linier (2) Ketidaksamaan pada satu arah (, atau ) dapat diubah menjadi ketidaksamaan pada arah berlawanan (, atau ) Contoh : a1x1 + a2x2  b ekuivalen dengan - a1x1 - a2x2  -b Atau a1x1 + a2x2  b - a1x1 - a2x2  -b

Tranformasi Permasalahan Program Linier (3) Bila fungsi pembatas dalam bentuk persamaan dapat diubah menjadi dua bentuk ketidaksamaan. Contoh : a1x1 + a2x2 = b menjadi a1x1 + a2x2  b dan a1x1 + a2x2  b Atau a1x1 + a2x2  b dan - a1x1 - a2x2  -b

Tranformasi Permasalahan Program Linier (4) Batasan dalam bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri bernilai absolut dapat diubah menjadi dua ketidaksamaan. Contoh : | a1x1 + a2x2 |  b untuk b  0 menjadi : a1x1 + a2x2  -b dan a1x1 + a2x2  b | a1x1 + a2x2 |  b untuk b  0 menjadi : a1x1 + a2x2  b dan a1x1 + a2x2  -b

Transformasi Ketidaksamaan  Persamaan Untuk penyelesaian masalah programa linier, pembatas yang berbentuk ketidaksamaan harus dirubah menjadi persamaan. Bila bentuk ketidaksamaannya adalah  , untuk menjadi persamaan harus dikurangi sebesar S, biasanya disebut surplus variabel. Bila bentuk ketidaksamaannya adalah  , untuk menjadi persamaan harus ditambah sebesar S, biasanya disebut slack variabel.

Contoh : Maksimasi : x0 = x1 - 3x2 Fungsi Pembatas menjadi - x1 + 2x2 + S1 = 5 x1 + 3x2 - S2 = 10 Fungsi Pembatas : - x1 + 2x2  5 x1 + 3x2  10 x1, x2  0 Bila Fungsi Pembatas menjadi - x1 + 2x2 + S1 = 5 x1 + 3x2 - S2 = 10 5x1 + 2x2 + S3 = 25 5x1 + 2x2 - S4 = -25 Fungsi Pembatas : - x1 + 2x2  5 x1 + 3x2  10 | 5x1 + 2x2 |  25 x1, x2  0

Metoda Penyelesain Program Linier Dua metoda digunakan untuk penyelesaian programa linier, yaitu : Metoda Grafik. (Khusus untuk 2 variabel) Metoda penyelesaian permasalahan programa linier dengan jumlah variabel tidak lebih dari dua dengan menggambarkan secara grafis. Metoda Simplex. Metoda penyelesaian programa linier secara aljabar dengan menggunakan bentuk persamaan standard. Jumlah variabelnya tidak dibatasi.

Metoda Grafis 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 Maks Z = 3x1 + 5x2 2 4 6 8 10 12 14 2x2  12 3x1 + 2x2  18 x1  4 x1  0 x2  0 3x1 + 5x2  50 Maks Z = 3x1 + 5x2 Pembatas : x1  4 2x2  12 dan x1  0 x2  0

Terminologi Solusi Secara Grafis Feasible Solution : Suatu solusi yang memenuhi semua fungsi yang ada pada batasan dari permasalahan. Infeasible solution : Suatu solusi yang mempunyai paling sedikit satu fungsi tidak memenuhi batasan permasalahan. Feasible region : Kumpulan dari semua ‘feasible solution’. Ada kemungkinan permasalahan yang tidak mempunyai satupun ‘feasible solution’.

Terminologi Solusi Secara Grafis (Lanjutan) Optimal Solution : Suatu ‘feasible solution’ yang mempunyai nilai yang paling baik untuk fungsi tujuan. Nilai Yang Paling Baik (Most Favourable Value) : Nilai terbesar bila fungsi obyektifnya Maksimum atau terkecil bila fungsi obyektifnya terkecil. Multiple Optimal Solution : Suatu solusi dengan nilai optimal yang sama untuk kombinasi nilai variabel dari fungsi obyektif yang berbeda-beda.

Contoh : Penyelesaian Grafik dengan berbagai kondisi 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 2x2  12 3x1 + 2x2  18 x1  4 x1  0 x2  0 3x1 + 5x2 Fungsi Obyektif Maks Z = 3x1 + 5x2 Pembatas : x1  4 2x2  12 dan x1  0 x2  0 (2,6) (4,3) (0,6) (4,0) Nilai Maks = 36 Utk. x1 = 2 x2 = 6 Mempunyai satu titik (2,6) yg optimal. Feasible Region

Contoh : Penyelesaian Grafik dengan berbagai kondisi 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 2x2  12 3x1 + 2x2  18 x1  4 x1  0 x2  0 3x1 + 2x2 Fungsi Obyektif Maks Z = 3x1 + 2x2 Pembatas : x1  4 2x2  12 dan x1  0 x2  0 (2,6) (4,3) (0,6) (4,0) Dalam permasalahan ini terdapat ‘Multiple Solution’ [ lihat fungsi obyektifnya berimpit dengan garis (2,6) dan (4,3) ] Feasible Region

Contoh : Penyelesaian Grafik dengan berbagai kondisi 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 x1  4 3x1 + 5x2 Fungsi Obyektif Maks Z = 3x1 + 5x2 Pembatas : x1  4 dan x1  0 x2  0 (4,6) (4,4) (4,2) Dalam permasalahan tidak terdapat ‘Optimal Solution’ (4,8) (4,10) Feasible Region

1. 2 X1 + X2 ≥ 15 2. 3 X1 + 2 X2 ≥ 10 3. X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0 1. 30 Xm + 20 Xk ≤ 300 2. 5 Xm + 10 Xk ≤ 110 3. Xm ≥ 0 ; Xk ≥ 0 1. 4 XA + 6 XB ≥ 48 2. 12 XA + 10 XB ≥ 120 3. XA ≥ 0 dan XB ≥ 0