HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari Modul 5 & 6 Juli 2006

PENGERTIAN LIMIT Konsep dasar diferensial Adalah harga batas tertentu, L, yang dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a. Kegunaan Limit : Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu Menentukan kontinuitas/diskontinuitas suatu fungsi Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan fungsi

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU Contoh :

KONTINUITAS FUNGSI Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu untuk x = a dari suatu nterval tertentu jika : Y = f(a) terdefinisi mempunyai harga tertentu, misal L L = f(a)

PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka : Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT Y = c  Y’ = 0 Y = aX + b  Y’ = a Y = Xn  Y’ = n Xn-1 Y = Un  Y’ = n Un-1 . U’ Y = U ± V  Y’ = U’ ± V’ Y = U/V  Y’ = (U’V – V’U)/V2 Y = ex  Y’ = ex Y = eu  Y’ = u’.eu Y = ln X  Y’ = 1/X Y = ln U  Y’ = U’/U Y = ax  Y’ = ax ln a

Turunan fungsi implisit Y = f’(x) X Turunan yang lebih tinggi Turunan fungsi dalam bentuk parameter Jika X = f(x) dan Y = g(x), maka

APLIKASI TURUNAN PERTAMA Menentukan gradien/slope garis singgung Y – Y1 = m (X – X1)  m = Y’ Menentukan koordinat titik stasioner Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien 0  f’(x) = 0 Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner. Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun Monoton naik : X > 0  Y > 0 Monoton turun : X > 0  Y < 0 Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan cara L’Hopital

APLIKASI TURUNAN KEDUA Menentukan bentuk kurva Cekung ke atas (concave upward) : Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0 Cekung ke bawah (concave downward) : Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0 Menentukan titik belok dan titik sadel Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya Syarat : Y” = f”(x) = 0 Titik Belok : untuk X = 0  Y’ = 0, Y” = 0 Titik Sadel : untuk X = 0  Y’ ≠ 0, Y” = 0

CONTOH SOAL Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X + 22, tentukan : Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 Koordinat titik esktrim (maks/min) Koordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Analisis marginal Laju pertumbuhan Menghitung Marginal Revenue (MR) dan Marginal Cost (MC) MR = TR’ MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Harga Ekstrim Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0 Laba maksimum (rugi minimum),   = TR – TC ’ = 0  MR = MC Output optimum Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum AC minimum  AC’ = 0  AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Elastisitas Mengukur perubahan suatu variabel akibat perubahan variabel lain Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed), penawaran (Es), dll Perhitungan elastisitas : Elastisitas Titik (Point Elasticity) Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

CONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan TC = Q2 + 790Q + 1.800 Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC, AVC, dan AFC ketika Q = 10 Hitung TR maksimum Hitung laba maksimum/rugi minimum Hitung output optimum Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100