SMA/MA Kelas X Semester 1 Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Disusun oleh: Miyanto Disklaimer Daftar isi

Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013. Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja. Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan. Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

Daftar Isi Bab I Fungsi Eksponensial Bab II Fungsi Logaritma

I Fungsi Eksponensial A. Sifat-Sifat Eksponensial B. Grafik Fungsi Eksponensial C. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial Kembali ke daftar isi

A. Sifat-Sifat Eksponensial Pangkat Bulat Positif Untuk a anggota himpunan bilangan real dan n anggota himpunan bulat positif berlaku: an dibaca: a pangkat n. an didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (n faktor). an disebut bilangan berpangkat a disebut bilangan pokok n disebut pangkat (eksponen) Pangkat Bulat Nol Untuk a anggota himpunan bilangan real dan a  0, berlaku: a0 = 1. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Sifat-Sifat Pangkat Bilangan Pangkat Bulat Negatif Untuk a anggota himpunan bilangan real dengan a  0 dan n  bilangan bulat positif, berlaku: a–n = Sifat-Sifat Pangkat Bilangan Untuk a dan b anggota himpunan bilangan real serta p dan q anggota himpunan bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Sederhanakan bentuk berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Grafik Fungsi Eksponensial Pengertian Fungsi Eksponensial Diketahui x anggota himpunan bilangan real. Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang memetakan setiap x ke f(x) = ax, dengan a > 0 dan a  1. Bentuk Umum Fungsi Eksponensial Bentuk umum fungsi eksponensial adalah y = f(x) = kax atau f : x  kax. Keterangan: x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain) D = {x | – < x < , x  R}. a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan a  1 (0 < a < 1 atau a > 1). y disebut variabel tak bebas. k disebut konstanta. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Bentuk dan Sifat Grafik Fungsi Eksponensial Salah satu bentuk grafik fungsi eksponensial ditunjukkan sebagai berikut. Grafik fungsi eksponen berupa kurva mulus. NB: grafik g(x) dihapus Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Cara Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial sebagai berikut. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus. 5. Materi Pengayaan Pertumbuhan 1) Bunga Majemuk Jumlah tabungan setelah t tahun dihitung dengan rumus: Mt = M + (1 + i)t Keterangan: Mt = jumlah tabungan setelah t tahun M = jumlah tabungan mula-mula i = besar suku bunga t = lama menabung (dalam tahun) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2) Pertumbuhan Populasi Jika jumlah populasi mula-mula P dan jumlah populasi setelah t tahun adalah Pt, jumlah populasi pada saat t tahun dinyatakan sebagai Pt = Peit. Keterangan: Pt = populasi setelah t tahun P = populasi mula-mula i = tingkat pertumbuhan populasi e = 2,718 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Peluruhan Misalkan terdapat t lembar kaca. Setiap lembar kaca mengurangi cahaya yang menembusnya sebanyak i (i dalam persen). Persentase cahaya P yang menembus t lembar kaca dapat dinyatakan sebagai P = 100(1 – i)t. Jika intensitas cahaya berkurang secara kontinu, diperoleh: P = 100e-it. Contoh Soal Diketahui grafik fungsi f(x) = k × 2x – 2. Grafik tersebut melalui titik (2, 3). Tentukan: a. nilai k, b. nilai f(4). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial Persamaan Eksponensial Persamaan eksponensial adalah persamaan dengan eksponensial berbentuk variabel. Variabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau bilangan pokoknya. Persamaan eksponensial mempunyai beberapa bentuk persamaan dan penyelesaian. Bentuk-bentuk persamaan eksponensial dijelaskan sebagai berikut. af(x) = am Jika af(x) = am, a > 0 dan a  1 maka f(x) = m af(x) = ag(x) Jika af(x) = ag(x), a > 0 dan a  1 maka f(x) = g(x) af(x) = bf(x) Jika af(x) = bf(x), a > 0, a  1, b > 0, b 1, dan a  b maka f(x) = 0 Pertidaksamaan Eksponensial Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

h(x)f(x) = h(x)g(x) Jika h(x)f(x) = h(x)g(x), penyelesaiannya sebagai berikut. 1) f(x) = g(x) 2) h(x) = 1 3) h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya positif 4) h(x) = –1, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil e. f(x)h(x) = g(x)h(x) Jika f(x)h(x) = g(x)h(x), penyelesaiannya sebagai berikut. 1) f(x) = g(x) 2) h(x) = 0, dengan syarat f(x)  0 dan g(x)  0. f. A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0, a > 0, a  1, A  0, dan A, B, C  R Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini digunakan pemisalan y = af(x) sehingga diperoleh Ay2 + By + C = 0. Setelah nilai y diperoleh, substitusikan kembali pada pemisalan y = af(x) sehingga diperoleh nilai x. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Eksponensial Pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang eksponennya memuat variabel. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi eksponensial. Perhatikan grafik fungsi eksponensial f(x) = ax berikut. Grafik f(x) = ax, 0 < a < 1 Grafik f(x) = ax, a > 1 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Berdasarkan kedua grafik di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton naik. Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2). Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton turun. Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2). Tetap atau berubahnya tanda ketidaksamaan tergantung dari nilai bilangan pokoknya. Untuk a > 1 Jika af(x) > ag(x) maka f(x) > g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Jika af(x) < ag(x) maka f(x) < g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Untuk 0 < a < 1 Jika af(x) > ag(x) maka f(x) < g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Jika af(x) < ag(x) maka f(x) > g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial berikut. (x + 3)2x – 1 = (x + 3)x + 2 (x + 2)x + 1 = (2x + 6)x + 1 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

II Fungsi Logaritma A. Bentuk Logaritma B. Fungsi Logaritma dan Grafiknya C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma Kembali ke daftar isi

A. Bentuk Logaritma Pengertian Logaritma Logaritma merupakan kebalikan (invers) dari eksponen (pemangkatan). Suatu bentuk eksponen dapat diubah menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya. an = b ⇔ alog b = n dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0 a merupakan bilangan pokok (basis) logaritma; b merupakan numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya; n merupakan hasil logaritma (nilai pangkat). Dari bentuk logaritma an = b ⇔ alog b = n, diperoleh bentuk-bentuk berikut. a. alog 1 = 0 sebab a0 = 1. b. alog a = 1 sebab a1 = a. a. c. alog an = n. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Nilai Logaritma Nilai logaritma suatu bilangan dapat dicari menggunakan tabel logaritma atau kalkulator. Perhatikan bagian-bagian hasil logaritma berikut. Dalam tabel logaritma hanya tertulis bilangan desimal (mantisa) yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan. Adapun bilangan bulat (karakteristik) harus ditentukan atau dicari. Nilai karakteristik log x sebagai berikut. 1 < x < 10 ---> log x = 0, . . . (misal: log 2 = 0,3010) 10 ≤ x < 100 ---> log x = 1, . . . (misal: log 55,9 = 1,7474) 100 ≤ x < 1.000 ---> log x = 2, . . . (misal: log 871,2 = 2,9401) 1.000 ≤ x < 10.000 ---> log x = 3, . . . (misal: log 7035,3 = 3,8473) dan seterusnya. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Sifat Logaritma Misalkan a, b, dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, berlaku sifat-sifat berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, dan log 5 = 0,699 Contoh Soal Diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, dan log 5 = 0,699. Tentukan nilai: a. log 30; b. log 8; dan c. log 0,3. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Fungsi Logaritma dan Grafiknya Pengertian Fungsi Logaritma Fungsi logaritma merupakan fungsi yang memuat variabel x dalam operator logaritma, yaitu memuat variabel x sebagai numerus. Bentuk paling sederhana dari fungsi logaritma adalah f(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1 0 < a < 1 atau a > 1). Domain fungsi logaritma tersebut adalah D = {x | x > 0, x bilangan real}. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Grafik Fungsi Logaritma Perhatikan grafik fungsi logaritma berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Dari grafik tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Grafik f(x) = kalog x dan g(x) = simetris terhadap sumbu X. b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu X di titik (k, 0). c. Sumbu Y merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati grafik fungsi tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut. d. Grafik fungsi f(x) = kalog x merupakan fungsi monoton naik karena untuk setiap x1 < x2 berlaku f(x1) < f(x2). Grafik fungsi g(x) = merupakan fungsi monoton turun karena untuk setiap x1 < x2 berlaku g(x1) > g(x2). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal 3. Menggambar Grafik Fungsi Logaritma Langkah-langkah menggambar grafik tersebut sebagai berikut. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus. Contoh Soal Diketahui fungsi logaritma f(x) = 4 – 2log (x + 3). Tentukan: a. domain fungsi; b. nilai fungsi untuk x = 1 dan x = –1. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Pertidaksamaan Logaritma C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma Persamaan Logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan pada bentuk logaritma yang di dalamnya memuat variabel. Variabel tersebut dapat menempati numerus atau bilangan pokok. Beberapa bentuk persamaan logaritma beserta penyelesaiannya dijelaskan sebagai berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Logaritma Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan pada bentuk logaritma yang memuat variabel sebagai numerus. Pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi logaritma. Perhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = alog x berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Berdasarkan kedua grafik tersebut, diperoleh kesimpulan berikut. Untuk a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton naik. Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2). Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton turun. Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2). Untuk a > 1: Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Untuk 0 < a < 1: Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut. a. 2log (x – 3) + 2log (x – 2) = 1 b. 3log (x2 – 8) = 4log (x2 – 8) c. xlog (2x2 – 7x + 6) = 2 2. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a. xlog (4x – 5) > xlog (2x – 6) b. (x – 1)log (3x + 1) ≤ (x – 1)log (2x – 1) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab