PERTEMUAN 1 MATEMATIKA BISNIS 1A HIMPUNAN PERTEMUAN 1 MATEMATIKA BISNIS 1A

PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan adalah “suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek yang berbeda-beda” Obyek yang ada di dalam himpunan  anggota / elemen / unsur Misalnya: orang, hewan, tanaman, benda, buku, angka, dsb Himpunan biasa ditulis dengan huruf kapital (A, B, C) dan anggota himpunan biasa ditulis dengan huruf kecil (a, b, c)

Contoh:

PENYAJIAN HIMPUNAN A. Cara Daftar (Raster Method): Semua unsur/elemen himpunan (set) ditulis atau dinyatakan di antara tanda kurawal Misalnya: - Suatu himpunan (set) S yang terdiri dari bilangan 1, 2,...,10, Maka dapat ditulis sebagai: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - Suatu himpunan (set) mahasiswa yang mendapatkan nilai A pada mata kuliah matematika yaitu Ani, Umar, Widya, Hasan dan Husin, N = {Ani, Umar, Widya, Hasan, Husin} - Suatu himpunan (set) mahasiswa yang mendapatkan beasiswa untuk melanjutkan ke jenjang S2 ialah Arif, Yudhi, Lia, Zahra dan Endra B = {Arif, Yudhi, Lia, Zahra, Endra}

B. Cara Kaidah (Rule Method) Syarat atau ketentuan yang harus dipenuhi oleh setiap objek agar dapat dinyatakan sebagai unsur/elemen himpunan (set) tersebut ditulis atau dinyatakan diantara tanda kurawal. Dari contoh pada metode Raster di atas jika ditulis dengan metode ini menjadi: S = {x : x ialah bilangan bulat dan 1 ≤ x ≤ 10} N = {x : x mahasiswa yang mendapatkan nilai A pd matkul Matematika} B = {x: x mahasiswa mendapatkan beasiswa S2} Apabila jumlah unsur elemen yang terdapat dalam himpunan (set) sangat besar atau banyak sekali, penggunaan cara kaidah lebih sederhana dan efisien dibandingkan dengan cara daftar.

Contoh: Apabila T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan S merupakan himpunan yang terdiri dari angka-angka kuadrat dari unsur T, maka perincian S menjadi: S = {1, 4, 9, 16, 25, 36} Atau S = { 𝑥 2 : 𝑥 merupakan unsur dari T} Apabila K = {1, 3, 5, 7} dan L merupakan himpunan yang terdiri dari angka-angka pangkat tiga dari unsur K, maka perincian L menjadi: L = { 1, 27, 125, 343} Atau L = { 𝑥 3 : 𝑥 merupakan unsur dari K}

LATIHAN B adalah bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15 C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10 D adalah bilangan ganjil positif kurang dari 20 Himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 10 Himpunan huruf-huruf vocal Himpunan merek beberapa mobil Jepang Himpunan beberapa nama buah-buahan

JAWABAN B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } atau B = { x: 3 < x ≤ 15 } C = { -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} atau C = { x: -5  x < 10 } D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} atau D = { x: x bilangan ganjil positif kurang dari 20 dan x < 20 } A = {1, 3, 5, 7, 9} atau A = {x : x = bilangan ganjil positif < 10} B = {a, e, i, o, u} atau B = {y : y = huruf Vocal} C = {Mazda, Honda, Suzuki,Toyota, Datsun} atau C = {Z : Z = merek beberapa mobil Jepang} D = {Pepaya, Mangga, Pisang, Jambu} atau D = {x : x = nama beberapa buah- buahan}

HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN KOSONG Himpunan Universal/Semesta Setiap himpunan tertentu yang dianggap terdiri dari beberapa himpunan-bagian yang masing-masing memiliki anggota. Berbicara mengenai abjad maka himpunan semesta adalah himpunan semua abjad, yaitu a sampai z. Himpunan kosong  himpunan yang tak memiliki satu pun anggota, dinyatakan dengan notasi ∅ atau bisa ditulis { } saja Misalkan A adalah suatu himpunan manusia yang tinggal di bulan maka A adalah himpunan kosong dan ditulis A = 0

PENULISAN MATEMATIS (NOTASI) p ∈ A  obyek p merupakan anggota dari himpunan A A ⊂ B  himpunan A merupakan himpunan-bagian (Sub-Bagian) dari B (setiap elemen di dalam himpunan A juga merupakan elemen di dalam himpunan B) A = B  berarti bahwa himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A p ∉ A  obyek p bukan merupakan anggota himpunan A A ⊂ B  A bukan merupakan himpunan-bagian dari B A ≠ B  himpunan A tidak sama dengan himpunan B

CONTOH: - Bila A ={d, e, f}; R = {1, 2, 3} Dan B ={x : x adalah huruf abjad atau alpabet} maka A ⊂ B =============================================== - M = {a, e, i, o, u} N = {x : x adalah bilangan bulat dan 1 ≤ x ≤ 10} Maka M ⊄ N Jika A = {a, b, c, d}, maka a ∈ A, b ∈ A dan x ∉ A ================================================= - Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {7, 1, 5, 3} maka A = B

LATIHAN Data yang kita miliki: U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 } C = { 0, 1, 2, 3, 4 } Nyatakan hubungan di antara keempat himpunan ini dengan notasi-notasi yang bisa ditemukan!

JAWABAN A ⊂ U B ⊂ U C ⊂ U A = C A ≠ B B ≠ C

OPERASI HIMPUNAN Gabungan (union) - memiliki notasi "∪ “ A ∪ B  “suatu himpunan yang memuat semua elemen A dan juga himpunan B A ∪ B = { x; x ∈ A atau x ∈ B} - Operasi himpunan dengan gabungan (union) ini mengikuti asas penjumlahan, yaitu 𝐴 ⋃ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵

2) Irisan (Intersection) Memiliki notasi “ ∩ “ A ∩ B  “suatu himpunan yang memuat semua elemen yang sama-sama dimiliki oleh himpunan A dan B” A ∩ B = { x; x ∈ A dan x ∈ B } Operasi himpunan dengan interseksi ini mengikuti asas perkalian, yaitu: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵

3) Selisih Himpunan (Set Difference) Himpunan (set) yang anggota-anggotanya terdiri dari unsur-unsur himpunan pertama, tetapi yang bukan merupakan unsur himpunan kedua A - B = { x; x ∈ A tetapi x ∉ B } Contoh: A = {2, 4, 6, 8, 10} maka: B = (1, 2, 3, a, b, c} A – B = {4, 6, 8, 10} C = {8, 9, 10, c, d, e} A – C = {2, 4, 6}

4) Komplemen (Complement) Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang terdapat dalam himpunan universal U, tetapi tidak merupakan unsur dari himpunan A. himpunan yang anggotanya merupakan selisih antara himpunan semesta U dan himpunan A

LATIHAN U = { a, b, c, d, e, f, g, h, i } P = { a, b, c, d, e } Q = { d, e, f, g, h } R = { f, g, h, i } Tentukan: P ∪ Q , P ∩ Q , dan P – Q P ∪ R , P ∩ R , dan P – R Q ∪ R , Q ∩ R , dan Q – R P c , Q c , dan R c

JAWAB P ∪ Q = { a, b, c, d, e, f, g, h } P ∪ R = { a, b, c, d, e, f, g, h, i } Q ∪ R = { d, e, f, g, h, i } P ∩ Q = { d, e } P ∩ R = { } = ∅ Q ∩ R = { f, g, h } P – Q = { a, b, c } P – R = { a, b, c, d, e } Q – R = { d, e } P c = U – P = { f, g, h, i } Q c = U – Q = { a, b, c, i } R c = U – R = { a, b, c, d, e }

KAIDAH-KAIDAH MATEMATIKA DALAM PENGOPERASIAN HIMPUNAN

DIAGRAM VENN Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan Lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas CONTOH: Diketahui: U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 2, 4, 6, 8, 10 } C = { 3, 6, 9, 12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

6 3 2 4 1 5 8 10 9 12 A B C U 7 11 13 14 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C 3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C 2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

CONTOH: Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? Gambar diagram venn untuk menjelaskan kondisi ini!

N(U) = 32 A = {siswa gemar melukis}  n(A) = 21 B = {siswa gemar menari}  n(B) = 16 A  B = {siswa yang gemar keduanya}  n(A  B) = 10 Maka, Siswa hanya gemar melukis  n(A) – n(A  B) = 11 Siswa hanya gemar menari  n(B) – n(A  B) = 6 Siswa yang tidak gemar keduanya  32-10-11-6 = 5

10 A B 11 6 S 5

TUGAS U = {1,2,3,4,5,6,7,8} A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8} Gambarkan sebuah diagram Venn untuk menggambarkan hubungan tiga himpunan tersebut. Selesaikan: A – B B – A A ∩ B A ∪ B A’ dan B’

TUGAS