Matematika Wajib – Kelas 11 SMA KONSEP LIMIT FUNGSI Dian S Raflan

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Konsep Limit Fungsi kurva f(x) f(x) x L L a+ Limit Kiri : L a+ L a+ f(a) a- L a- L L a- L Limit Kanan : a- L a- L Jika: Maka nilai limit tersebut ada.  x a x 1 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 1 Diketahui 𝑓(𝑥)= 2𝑥 ,𝑥≤1 𝑥 2 +1 ,𝑥>1 . Maka nilai lim⁡ 𝑥→1 𝑓(𝑥) adalah … (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab Limit Kiri : karena lim 𝑥→ 1 − 2𝑥 = 2(1)  2 Limit kiri = Limit kanan = 2 maka Limit Kanan : lim⁡ 𝑥→1 𝑓(𝑥)  = 2 lim 𝑥→ 1 + 𝑥 2 +1 = (1)2 + 1  1 + 1 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  2 2 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 2 Diketahui 𝑓(𝑥)= 3𝑥−1 ,𝑥≤2 𝑥 2 +1 ,𝑥>2 . Maka nilai dari lim⁡ 𝑥→2 𝑓(𝑥) adalah … (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab Limit Kiri : karena lim 𝑥→ 2 − 3𝑥−1 = 3(2)1  5 Limit kiri = Limit kanan = 5 maka Limit Kanan : lim⁡ 𝑥→2 𝑓(𝑥)  = 5 lim 𝑥→ 2 + 𝑥 2 +1 = (2)2 + 1  4 + 1 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  5 3 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 3 Diketahui 𝑓(𝑥)= 𝑥 2 −𝑝 ,𝑥≤−3 2𝑥+5 ,𝑥>−3 . Nilai p yang memenuhi agar lim⁡ 𝑥→−3 𝑓(𝑥) memiliki nilai adalah … (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ −3 − 𝑥 2 −𝑝 = (3)2  p  9  p 9  p = 1 maka Limit Kanan : 9 + 1 = p  p = 10 lim 𝑥→ −3 + 2𝑥+5 = 2(3) + 5  6 + 5 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  1 4 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 4 Diketahui 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥 ,𝑥≤1 𝑥+1 ,𝑥>1 . Agar lim⁡ 𝑥→1 𝑓(𝑥) mempunyai nilai, maka a = … (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ 1 − 𝑎𝑥 = a(1)  a  a = 2 Limit Kanan : Yuk, kita lihat contoh lainnya…! lim 𝑥→ 1 + 𝑥+1 = 1 + 1  2 5 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 5 Diketahui 𝑓(𝑥)= 3𝑥−𝑝 ,𝑥≤2 2𝑥+1 ,𝑥>2 . Agar lim⁡ 𝑥→2 𝑓(𝑥) mempunyai nilai, maka p = … (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ 2 − 3𝑥−𝑝 = 3(2)  p  6  p 6  p = 5 maka Limit Kanan : 6  5 = p  p = 1 lim 𝑥→ 2 + 2𝑥+1 = 2(2) + 1  4 + 1 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  5 6 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Nilai Limit Fungsi Aljabar Aturan-aturan lainnya untuk menentukan nilai limit fungsi, adalah sebagai berikut : lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑘=𝑘 lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑥=𝑐 lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑐) Contoh : Contoh : Contoh : lim⁡ 𝑥→1 4=4 lim⁡ 𝑥→2 𝑥=2 lim⁡ 𝑥→3 3𝑥+1    lim⁡ 𝑥→−4 9=9 lim⁡ 𝑥→−5 𝑥=−5 =3 3 +1 =10   lim⁡ 𝑥→0 2 𝑥 2 +𝑥 −5 lim⁡ 𝑥→0 −2=−2 lim⁡ 𝑥→0 𝑥=0    =2 0 2 +0 −5 =−5  7 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Nilai Limit Fungsi Aljabar Untuk menentukan nilai limit fungsi, maka perlu mengikuti aturan berikut : lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑘𝑓(𝑥)=𝑘∙ lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 = lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 ± lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑔 𝑥 Contoh : Contoh : lim⁡ 𝑥→1 4(3𝑥−7)=4∙ lim⁡ 𝑥→1 (3𝑥−7) lim⁡ 𝑥→2 (2𝑥+9)= lim⁡ 𝑥→2 2𝑥+ lim⁡ 𝑥→2 9   lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥 = lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 ∙ lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑔 𝑥 lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑔 𝑥 Contoh : Contoh : lim⁡ 𝑥→2 (𝑥+2)( 𝑥 2 −3𝑥)  = lim⁡ 𝑥→2 𝑥 lim⁡ 𝑥→2 (𝑥 2 +7) lim⁡ 𝑥→2 𝑥 𝑥 2 +7   = lim⁡ 𝑥→2 (𝑥+2)∙ lim⁡ 𝑥→2 ( 𝑥 2 −3𝑥) 8 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Nilai Limit Fungsi Aljabar Untuk menentukan nilai limit fungsi, maka perlu mengikuti aturan berikut : lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓 𝑛 (𝑥)= ( lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)) 𝑛 lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑛 lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) Contoh : Contoh : lim⁡ 𝑥→1 (3𝑥+8) 3 lim⁡ 𝑥→2 𝑥 = lim⁡ 𝑥→2 𝑥   =( lim⁡ 𝑥→1 (3𝑥+8)) 3 lim⁡ 𝑥→7 3𝑥+4  lim⁡ 𝑥→3 ( 𝑥 2 −𝑥) −5  = 3 lim⁡ 𝑥→7 𝑥+ lim⁡ 𝑥→7 4  =( lim⁡ 𝑥→3 ( 𝑥 2 −𝑥)) −5 = 1 ( lim⁡ 𝑥→3 ( 𝑥 2 −𝑥)) 5 Yuk, kita lanjutkan…! 9 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 6 Nilai lim⁡ 𝑥→2 (4𝑥+6)=… (A) 14 (B) 14 (C) 18 (D) 18 (E) 20  Jawab lim⁡ 𝑥→2 (4𝑥+6) =4(2)+6 =8+6 =14  Yuk, kita lihat contoh lainnya…! 10 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 7 Nilai lim⁡ 𝑥→5 4𝑥+5 =… (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab lim⁡ 𝑥→5 4𝑥+5 = 4(5)+5 = 20+5 = 25 =5  Yuk, kita lihat contoh lainnya…! 11 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 8 lim⁡ 𝑥→1 𝑥 2 +5𝑥+6 𝑥 2 −4 = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  Jawab lim⁡ 𝑥→1 𝑥 2 +5𝑥+6 𝑥 2 −4 = 1 2 +5(1)+6 1 2 −4 = 1+5+6 1−4 = 12 −3 =−4  12 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 9 Nilai lim⁡ 𝑥→2 𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥 2 −4 =… (A)  1 4 (B)  1 8 (C) 1 8 (D) 1 (E) 5 4 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  Jawab lim⁡ 𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥−3) (𝑥−2)(𝑥+2) lim⁡ 𝑥→2 𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥 2 −4 = lim⁡ 𝑥→2 𝑥−3 𝑥+2 = 2−3 2+2 = 2 2 −5(2)+6 4−4 = −1 4 = 4−10+6 4−4 = 0 0 limit ini bermasalah, maka haruslah…  13 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 10 lim⁡ 𝑥→2 𝑥 3 −8 𝑥 2 +𝑥−6 = (A) 3 4 (B) 5 12 (C) 4 3 (D) 12 5 (E) 6 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  Jawab lim⁡ 𝑥→2 (𝑥−2)( 𝑥 2 +2𝑥+4) (𝑥−2)(𝑥+3) lim⁡ 𝑥→2 𝑥 3 −8 𝑥 2 +𝑥−6 = 2 3 −8 2 2 +2−6 = lim⁡ 𝑥→2 𝑥 2 +2𝑥+4 𝑥+3 = 4+4+4 2+3 = 8−8 6−6 = 0 0 = 12 5 limit ini bermasalah, maka haruslah…  14 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Kekontinuan Limit Fungsi Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di suatu titik x = c jika memenuhi tiga kondisi berikut: 𝑓 𝑐 ada lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ada lim⁡ 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑐) atau secara ilustrasi grafik, sebagai berikut : x f(x) x f(x) x f(x) f(x) tak kontinu di x = c  f(x) kontinu di x = c f(x) kontinu di x = c f(c) f(c) f(c) f(c) c c c 15 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 11 Diketahui 𝑓(𝑥)= 𝑏𝑥 ,𝑥≤3 𝑥+9 ,𝑥>3 . Agar 𝑓(𝑥) kontinu pada x = 3, maka nilai b = … (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ 3 − 𝑏𝑥 = b(3)  3b 3b = 12  b = 4 Limit Kanan : Yuk, kita lihat contoh lainnya…! lim 𝑥→ 3 + 𝑥+9 = 3 + 9  12 16 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 12 Diketahui 𝑓(𝑥)= 3𝑥−𝑘 ,𝑥≤4 2𝑥+1 ,𝑥>4 . Agar fungsi 𝑓(𝑥) kontinu untuk nilai x = 4, maka k = … (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ 4 − 3𝑥−𝑘 = 3(4)  k  12  k 12  k = 9  k = 3 Limit Kanan : lim 𝑥→ 4 + 2𝑥+1 = 2(4) + 1 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  9 17 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 13 Diketahui 𝑓(𝑥)= 𝑥 2 −𝑚 ,𝑥≤1 2𝑥+5 ,𝑥>1 . Nilai m yang memenuhi agar 𝑓(𝑥) kontinu pada titik x = 1 adalah … (A) 6 (B) 6 (C) 7 (D) 7 (E) 8  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ 1 − 𝑥 2 −𝑚 = 12  m  1  m 1  m = 7  m = 6 Limit Kanan : lim 𝑥→ 1 + 2𝑥+5 = 2 + 5 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  7 18 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 14 Diketahui 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥+5 ,𝑥≤1 𝑥+1 ,𝑥>1 . Agar fungsi 𝑓(𝑥) kontinu pada titik x = 1, maka a = … (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ 1 − 𝑎𝑥+5 = a(1)+5  a+5 a+5 = 2  a = 3 Limit Kanan : lim 𝑥→ 1 + 𝑥+1 = 1 + 1 Yuk, kita lihat contoh lainnya…!  2 19 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Matematika Wajib – Kelas 11 SMA Contoh Soal 15 Diketahui 𝑓(𝑥)= 3𝑥−𝑝 ,𝑥≤8 2𝑥+1 ,𝑥>8 . Agar fungsi 𝑓(𝑥) kontinu pada suatu titik x = 8, maka p = … (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9  Jawab karena Limit Kiri : Limit kiri = Limit kanan lim 𝑥→ 8 − 3𝑥−𝑝 = 3(8) p  24  p 24  p = 17  p = 7 Limit Kanan : lim 𝑥→ 8 + 2𝑥+1 = 2(8) + 1  17 20 Matematika Wajib – Kelas 11 SMA

Terima Kasih