General Vector Spaces

General Vector Spaces Men-generalisasi konsep vektor ke object Object dapat didefinisikan sebagai vektor jika memenuhi aksioma-aksioma yang ditentukan Aksioma-aksioma diekstrak dari properties vektor yang paling penting

Outline Real Vector Spaces Subspaces Linear Independence Basis and Dimension Row space, column space, and null space Rank & Nullity

Definisi Vector Space V adalah himpunan object dimana dua operasi (penjumlahan dan perkalian skalar) didefinisikan. Penjumlahan: sebuah aturan untuk mengasosiasikan setiap object di u dan di v, menjadi object u + v di V Perkalian skalar: mengasosiasikan setiap object u dengan k menjadi object uk di V V adalah vector space, object di V adalah vektor

Aksioma Vector Space Jika u dan v adalah object di V maka u+v juga berada di V u+v = v+u u+(v+w)=(u+v)+w Ada sebuah object 0 di V yang disebut sebagai zero vector untuk V sedemikian hingga 0+u=u+0=u untuk semua u di V

Aksioma Vector Space Untuk setiap u di V, ada sebuah object -u di V yang disebut sebagai negative of u sedemikian hingga u+(-u)=(-u)+u=0 Jika k adalah bilangan skalar apa saja dan u adalah object apa saja di V, maka ku berada di V k(u+v) = ku + kv (k+m) u = ku + mu

Aksioma Vector Space k(mu)=(km) u 1u=u

Contoh Vector Space Rn Matrix 2x2 Matrix mxn Fungsi-fungsi bernilai real Setiap bidang yang melalui titik awal di R3 adalah vector space Zero vector space

Contoh Vector space detil Matrix 2x2 real entries

Contoh Vector space detil

Contoh yang bukan vector space

Properti Vector Jika V vector space, u sebuah vektor di V dan k sebuah bilangan skalar, maka: 0u=0 k0=0 (-1)u=-u Jika ku=0 maka k=0 atau u=0

Subspace Sebuah Vektor space dapat berada di dalam vektor space yang lain Definisi: W adalah subspace dari sebuah space V jika W adalah sebuah vector space dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar vectornya didefinisikan di vector space V

Subspace Untuk menentukan apakah sebuah vector space W merupakan subspace dari vector space W, harus di periksa apakah semua aksioma dipenuhi Tetapi jika W diketahui sebagai bagian dari V, dimana V sudah diketahui sebagai vector space, maka yang perlu diperiksa adalah aksioma 1, 4, 5, 6

Subspace: Teorema Jika W adalah himpunan satu atau lebih vektor dari vector space V, maka W adalah subspace dari V jika dan hanya jika memenuhi kondisi: Jika u dan v adalah vektor di W, maka u+v berada di W Jika k bilangan skalar apa saja, dan u adalah vektor apa saja di W, maka ku berada di W

Contoh subspace Garis yang melalui titik “origin” di R2 dan R3 Himpunan matrik-matrik symetris nxn adalah subspace vector space Mnn matrik simetris nxn Himpunan matrik nxn upper/lower triangular dan himpunan matrik diagonal Subspace polynomial degree ≤ n

Contoh subspace Bidang yang melalui titik “origin” di ruang 3 dimensi (R3) W adalah bidang yang melalui titik “origin” u dan v adalah vektor di W Maka u+v pasti berada di W karena ia adalah diagonal parallelogram yang ditentukan oleh u dan v. Dan ku pasti berada di W untuk skalar k karena ku pasti berada di garis yang melalui u Sehingga W “closed under addition and scalar multiplication”-> subspace R3

Contoh: bukan subspace W himpunan titik-titik (x,y) di R2, dengan x≥0 dan y≥0. W bukan subspace dari R2 karena tidak memenuhi “closed under under scalar multiplication” v(1,1) berada di W negative-nya, (-1)v=(-1,-1), tidak berada di W

Subspace untuk R2 dan R3 Subspace R2 Subspace R3 {0} Garis yang melalui titik “origin” R2 Subspace R3 {0} Garis yang melalui titik “origin” Bidang yang melalui titik “origin” R3

Solution space of homogeneous systems Jika Ax=b adalah sebuah sistem persamaan linier, maka setiap vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut sebagai vektor solusi dari sistem tersebut. Teorema: Jika Ax=0 adalah sebuah sistem linier homogen dari m persamaan dengan n variable, maka himpunan dari vektor solusinya adalah sebuah subspace dari Rn

Definisi: Sebuah vektor w disebut sebuah kombinasi linier dari vektor v1, v2,...,vr jika dapat diekspresikan dalam bentuk: w=k1v1 + k2v2+...krvr dimana k1, k2,..,kr adalah bilangan skalar

Spanning Jika v1, v2,...,vr adalah vektor-vektor dalam sebuah vector space V maka: Himpunan W dari semua kombinasi linier v1, v2,...,vr adalah sebuah subspace dari V W adalah subspace terkecil dari V yang berisi v1, v2,...,vr dalam hal bahwa setiap subspace lain V yang berisi v1, v2,...,vr harus berisi W

Spanning Jika S={v1, v2,...,vr } adalah sebuah himpunan vektor-vektor dalam sebuah vektor space V, maka subspace W dari space V yang berisi semua kombinasi linier dari vektor-vektor di S disebut space spanned by v1, v2,...,vr dan vektor v1, v2,...,vr disebut men-span W. Untuk mengindikasikan bahwa W adalah space yang di rentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S={v1, v2,...,vr }, ditulis W=span(S) atau W=span{v1, v2,...,vr }

Contoh spanning Jika v1 dan v2 adalah vektor-vektor noncolinear di R3 dimana titik asal kedua vektor tersebut adalah titik origin, maka rentangan {v1,v2} (yang terdiri dari semua kombinasi linier k1v1 +k2v2), adalah bidang yang ditentukan oleh v1 dan v2. Demikian pula, jika v adalah sebuah vektor non-zero di R2 dan R3, maka rentangan {v} adalah garis yang ditentukan oleh v

Spanning Theorema: Jika S={v1, v2,...,vr } dan S’={w1, w2,...,wr } adalah dua himpunan vektor di ruang vektor V, maka: span {v1, v2,...,vr }=span {w1, w2,...,wr } jika dan hanya jika setiap vektor di S adalah kombinasi linier dari vektor-vektor di S’ dan demikian juga sebaliknya

Linear Independence Sebuah himpunan vektor S={v1, v2,...,vr } merentang sebuah ruang vektor V jika setiap vektor di V dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di S Ada lebih dari satu cara untuk meng- ekspresikan sebuah vektor sebagai sebuah kombinasi linier vektor dalam sebuah himpunan spanning Kondisi-kondisi apa yang dapat mengekspresikan setiap vektor di V sebagai kombinasi linier dari spanning vektor dengan tepat satu cara

Definisi linearly independence Jika S={v1, v2,...,vr } adalah himpunan vektor- vektor, maka persamaan vektor k1v1 + k2v2+…+ krvr=0 memiliki paling sedikit satu solusi: k1=0, k2=0,…. kr=0 Jika hanya solusi tersebut adalah satu-satunya solusi, maka himpunan S disebut dengan himpunan linearly independent. Selain itu disebut himpunan linearly dependent.

Menentukan linear independence

Menentukan linear independence Solusi: Sehingga vektor-vektor tersebut memiliki solusi non-trivial dan membentuk sebuah himpunan linearly dependent

Teorema Sebuah himpunan S dengan vektor berjumlah 2 atau lebih adalah: Linearly dependent jika dan hanya jika paling sedikit satu vektor yang berada di S dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya Linearly independent jika dan hanya jika tidak ada vektor di S yang bisa diekspreskan sebagai kombinasi linier

Teorema Sebuah himpunan terhingga dari vektor vektor yang terdiri dari zero vector adalah linearly independent Sebuah himpunan yang memiliki anggota dua vektor adalah linearly independent jika dan hanya jika salah satu vektor bukan merupakan hasil perkalian skalar dari vektor yang lain

Teorema S={v1, v2,...,vr } adalah himpunan vektor di Rn . Jika r>n maka S adalah linearly dependent