Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini 1

Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -I” 2

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui 3

Isi Kuliah  Fungsi dan Grafik  Fungsi Linier  Gabungan Fungsi Linier  Mononom dan Polinom  Bangun Geometris  Fungsi Trigonometri  Gabungan Fungsi Sinus  Fungsi Log Natural, Eksponensial, Hiperbolik  Koordinat Polar 4

5 Sesi pertama ini akan membahas Fungsi dan Grafik

Fungsi 6 Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi x (Pembahasan Tentang Fungsi dan Grafik dibatasi pada fungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata)

panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan y disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks. Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Contoh: 7

Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. a b rentang terbuka a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a b a  x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a  x  b a dan b masuk dalam rentang Ada tiga macam rentang nilai yaitu: 8

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] y x IV III III sumbu-x sumbu-y Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y. Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y] 9

Kurva dari Suatu Fungsi Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x01234dst. y-0,500,511,52dst ,5 0 0,5 1 1,5 2 2, x y ΔxΔx ΔyΔy P R Q Kurva Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva: Kita lihat fungsi: (kita baca: “delta x per delta y”)

Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c). 11

Contoh: y = 1/x y x Tak terdefinisikan di x = 0 y = u(x) 1 y x 0 0 Terdefinisikan di x = 0 yaitu y| x=0 = 1 (kita baca: y untuk x = 0 adalah 1) (y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya) 12

Kesimetrisan 1.Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan  x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. 13

Contoh: y = 0,3x 2 y = 0,05x 3 y 2 + x 2 = 9 x y tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y tidak berubah bila x diganti  x tidak berubah jika: x diganti  x x dan y diganti dengan  x dan  y x dan y dipertukarkan y diganti dengan  y (simetris terhadap sumbu-y) (simetris terhadap titik [0,0]) 14

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Pernyataan fungsi Pernyataan bentuk implisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y dapat diubah ke bentuk eksplisit disebut bentuk eksplisit x y 15

Fungsi Bernilai Tunggal Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas x y 0 0,8 1,6 012 x y -1,6 -0, x y 0 0, x y x y Contoh: 16

Fungsi Bernilai Banyak x y Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas x y Contoh: 17

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai 18

Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut x P  r y rsin  rcos  19 Mengenai koordinat polar akan kita pelajari lebih lanjut di sesi terakhir. Berikut ini hanya sekedar contoh.

Contoh: y x r  P[r,  ] Bentuk ini disebut cardioid 20

-0,5 0 0,5 1 1, x y r  P[r,  ] y = 2 Contoh: 21

Kuliah Terbuka Pilihan Topik Matematika Sesi 1 Sudaryatno Sudirham 22