Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap kelompok urutan komponen diperhatikan Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 2 huruf Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah diperoleh 2 kelompok Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah: diperoleh 6 kelompok Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi kedua Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi ketiga

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf ada 24 kelompok Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4 Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3 Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2 Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1 yaitu: jumlah kelompok yang mungkin dibentuk: kelompok

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n! dan kita tuliskan Kita baca : n fakultet Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen, tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing- masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan

Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3. Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya. Penghitungan 4 P 2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

Secara Umum: Contoh:

Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan tanpa mempedulikan urutannya Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan jumlah permutasi n P k dibagi dengan permutasi k Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai n C k Jadi

Contoh: Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf A, B, C, dan D yaitu: Jawab:

Distribusi Maxwell-Boltzman Distribusi Fermi-Dirac

Distribusi Maxwell-Boltzman Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah maka banyaknya cara penempatan elektron di E 1 merupakan permutasi n 1 dari N yaitu

Banyaknya cara penempatan elektron di E 2 merupakan permutasi n 2 dari (N  n 1 ) karena sejumlah n 1 sudah menempati E 1 dst. Banyaknya cara penempatan elektron di E 3 merupakan permutasi n 3 dari (N  n 1  n 2 ) karena sejumlah (n 1 +n 2 ) sudah menempati E 1 dan E 2

Setelah n 1 menempati E 1 maka urutan penempatan elektron di E 1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara satu elektron dengan elektron yang lain Jadi banyaknya cara penempatan elektron di E 1 adalah kombinasi n 1 dari N yaitu Demikian pula penempatan elektron di E 2, E 3, dst. dst.

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability Misalkan intrinksic probability tingkat E 1 adalah g 1, E 2 adalah g 2, dst. maka probabilitas tingkat-tingkat energi adalah Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah: Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian permutasi dan kombinasi Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e “Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann Banyaknya elektron pada tingkat energi E i temperatur konstanta Boltzmann tingkat energi ke-i probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i fungsi partisi

Distribusi Fermi-Dirac Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum dan tidak lebih dari dua elektron berada pada status yang sama. Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat energi yang bersangkutan Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu tingkat energi

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada, yaitu

Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah: Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut permutasi dan kombinasi Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E 1, E 2, E 3 dst. merupakan kombinasi C 1, C 2, C 3 dst dst. Dengan probabilitas intrinksik g 1, g 2, g 3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E 1, E 2, E 3 dst. menjadi dst.

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian permutasi dan kombinasi Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e “Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T  0 Jadi jika T = 0 maka n i = g i yang berarti semua tingkat energi sampai E F terisi penuh dan tidak terdapat elektron di atas E F E F inilah yang disebut tingkat energi Fermi.

Course Ware Permutasi dan Kombinasi Sudaryatno Sudirham