Teori Graf – Matematika Diskrit Graf tak berarah Teori Graf – Matematika Diskrit

Jenis – jenis Graf Berdasarkan jenis garis – garisnya, graf dibedakan dalam 2 kategori, yaitu : Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.

Jenis – jenis Graf Graf Berarah (Directed Graph = Digraph) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai Simpul Terminal.

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Definisi 2 Graf Sederhana (Simple graf) adalah graf yang tidak mengandung Loop maupun Garis Paralel. Graf di bawah ini adalah contoh graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (Unordered Pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita juga dapat mendeskripsikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda yang disebut sisi.

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Graf tak sederhana (Unsimple-graph), adalah graf yang mengandung garis paralel atau Loop. Ada dua macam Graf tak sederhana, yaitu : Graf Ganda (MultiGraph), adalah graf yang mengandung sisi ganda (garis paralel). Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah.

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) 2. Graf Semu (Pseudograph), adalah graf yang mengandung Loop. Contoh geaf di bawah ini disebut graf semu walaupun memiliki sisi ganda sekalipun.

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Contoh soal: Gambarlah sebuah graf sederhana yang dapat di bentuk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis.

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Penyelesaian : Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubungan dengan 2 titik. Oleh karena ada 4 titik, maka ada C(4,2) = 6 garis yang mungkin di buat. Yaitu garis – garis dengan titik ujung {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Penyelesaian : Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya dipilih 2 garis diantaranya. Jadi ada C(6,2) = 15 buah graf yang mungkin di bentuk dari 4 buah titik dan 2 buah garis.

Graf Tak Berarah (Undirected Graph)

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Definisi 3 Graf Lengkap (Complete Graph) dengan n titik (simbol Kn) adalah graf sederhana dengan n titik, di mana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis. Teorema 1 Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah .

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Contoh soal: Gambarlah K2, K3, K4, K5, K6 !

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Penyelesaian : K2 n = 2 Jadi banyak garisnya adalah 1, dan gambarnya adalah :

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Penyelesaian : K3 K4

Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Penyelesaian : K5 K6

Komplemen Graf Definisi 3 Komplemen suatu graf G (Simbol ) dengan n titik adalah suatu graf sederhana dengan : 1. Titik – titik sama dengan titik – titik G. Jadi, V ( ) = V(G) 2. Garis – garis adalah komplemen garis – garis G terhadap graf lengkapnya (Kn). Titik – titik yang dihubungkan dengan garis dalam G tidak terhubung dalam . . Sebaliknya, titik – titik yang terhubung dalam G menjadi tidak terhubung dalam .

Komplemen Graf Contoh Soal : Gambarlah Komplemen graf G yang di definisikan dalam Gambar di bawah ini !

Komplemen Graf Penyelesaian : Titik – titik dalam sama dengan titik – titik dalam G, sedangkan garis – garis dalam adalah garis – garis yang tidak berada dalam G. Pada gambar (a), titik – titik yang tidak dihubungkan dengan garis dalam G adalah garis dengan titik – titik ujung {a,d}, {a,e}, {b,c}, dan {b,e}

Komplemen Graf Penyelesaian : Jadi graf dapat digambarkan sebagai berikut :

Komplemen Graf Silakan gambar graf untuk gambar (b) dan (c) !

Komplemen Graf Soal Latihan : Misalkan G adalah suatu graf dengan n buah titik dan k buah garis. Berapa banyak garis dalam ?

Sub-Graf Definisi 4 Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan sub-graf G bila dan hanya bila : a. V(H) V (G) b. E(H) E (G) c. Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yang sama dengan garis tersebut dalam G.

Sub-Graf Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang dapat diturunkan : Sebuah titik dalam G merupakan Sub-Graf G. Sebuah garis dalam G bersama- sama dengan titik – titik ujungnya merupakan sub-graf G. Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya. Dalam subgraf berlaku sifat transitif : Jika H adalah Subgraf G dan G adalah Subgraf K, maka K adalah subgraf K.

Sub-Graf Perhatikan gambar di bawah ini, apakah H merupakan subgraf G ?? a.

Sub-Graf Penyelesaian : V (H) = {v2, v3} dan V (G) = {v1 , v2, v3} sehingga V(H) V (G). E(H) = {e4} dan E(G)= {e1,e2, e3, e4} sehingga E(H) E (G). Garis e4 di H merupakan Loop pada v2 dan Garis e4 juga merupakan loop pada v2 di G. Dengan demikian, H merupakan subgraf G.

Sub-Graf Apakah H merupakan SubGraf dari G? Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini : a. Apakah H merupakan SubGraf dari G?

Sub-Graf Apakah H merupakan SubGraf dari G? Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini : b. Apakah H merupakan SubGraf dari G?

Sub-Graf Apakah H merupakan SubGraf dari G? Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini : c. Apakah H merupakan SubGraf dari G?

Sub-Graf Perhatikan Gambar di bawah ini, gambarlah subgraf yang mungkin d bentuk dari graf tersebut.