GRUP NORMAL

Inti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu mengandung semua konjugat (conjugates) dari anggotanya. Definisi VIII.1 Grup bagian S dari grup G dikatakan grup bagian normal ( normal subgroup ) asalkan untuk setiap anggotanya s dalam S dan setiap a G berlaku bahwa a-1 s a  S. Istilah S grup bagian normal dari grup G sering kali disingkat sebagai S normal dari G. Berikut ini sifat-sifat tentang normal dari suatu grup.

Teorema VIII.1 Untuk sebarang grup G berlaku bahwa { 0 } dan G merupakan normal dalam G. Jika G abelian maka setiap grup bagian dari G normal dalam G. Grup bagian S normal dalam G jika dan hanya jika aS = Sa untuk semua a  G. Grup bagian S normal dalam G jika hanya jika a-1Sa = S untuk semua a  G. Jika S normal dalam G dan T sebarang grup bagian dari G maka ST = { st | s  S dan t  T } grup bagian dari G.

Teorema VIII.2 : Jika f : G H homografisma grup maka inti Ker(f) normal dalam G. Bukti : Misalkan x  Ker(f) dan a G. Akan ditunjukkan bahwa xa dalam Ker(f). f( xa) = f(x) f(a) = f(x ) e f(a) = f( a) = f(e) = e. Berarti xa dalam Ker(f).■ Definisi VIII.2 : Misalkan f : G  H sebarang fungsi dan X sebarang himpunan bagian dari H. Prapeta (invers image) X di bawah f yang dilambangkan dengan f –1(X) didefinisikan sebagai : f –1(X) = { g  G | f(g)  X }.

Teorema VIII.3 Misalkan f : G  H homomorfisma. Sifat – sifat berikut ini berlaku : Jika S grup bagian dari H maka f –1(S) grup bagian dari G. Jika N grup bagian normal dari H maka f –1(N) normal dari G. Jika S grup bagian dari peta f(G) dan orde dari G berhingga maka orde dari f(G) sama dengan |K| |S| dengan K inti dari f.

Bukti : Karena f(e) = e dengan e dalam S maka anggota dentitas e berada dalam f –1(S). Misalkan x, y dalam f –1(S). Karena f(xy) = f(x) f(y) = s s untuk suatu s, s dalam S dan S tertutup maka f(xy) dalam S. Akibatnya xy dalam f –1(S). Misalkan x –1 adalah invers dari x dengan x dalam f –1(S). Akan dibuktikan bahwa f–1(N) tertutup di bawah operasi konjugat dari anggotanya. Ambil sebarang x dalam f –1(N) dan a dalam G. Karena x dalam f –1(N) maka f(x) dalam N sehingga f(a–1 xa) = f(a–1) f(x) f(a) = ( f(a) ) –1 f(x) f(a). Karena N normal dalam f(G) maka ( f(a) ) –1 f(x) f(a) dalam f(G) dan akibatnya a–1 xa dalam f –1 (N). Berarti f –1(N) tertutup terhadap operasi konjugat.

Untuk setiap s dalam S dapat dinyatakan s = f(x) untuk suatu x dalam G karena s  f(G).■

LATIHAN Berikan contoh bahwa untuk S dan T grup bagian dari grup G maka ST tidak perlu grup bagian dari G. Buktikan bahwa jika S dan T normal dalam G maka ST juga normal dalam G. Diketahui bahwa f : G  H homomorfisma grup. Buktikan bahwa jika N normal dalam G maka f(N) = { f(n) | n dalam N } grup bagian normal dari Im(f) = f(G).

Misalkan H grup bagian normal dari G Misalkan H grup bagian normal dari G. Jika H dan G/H abelian maka apakah G harus abelian. Jika H normal dari grup G maka buktikan bahwa C(H) = { x  G | xH = Hx } merupakan grup bagian normal dari G.

TERIMA KASIH