MATRIKS DAN DETERMINAN Teknik Informatika Universitas Brawijaya

PENGERTIAN Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik. Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom

Lambang Matrik Secara umum sebuah matrik dapat ditulis: atau penulisan yang lebih singkat : dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n. Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j.

Berapa Ordo Matriks A dan B ? Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2 a23= 1032 b23= tidak ada b21= sin x

Jenis Matriks (1/7) Matrik Segitiga Atas, Matrik Bujursangkar  banyak baris = banyak kolom Matrik Segitiga Atas, Matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol Diagonal Utama

Jenis Matriks (2/7) Matrik Segitiga Bawah, matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol Matrik Diagonal, matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol

Jenis Matriks (3/7) Matrik Satuan, matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan Matrik skalar, matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c. I2= I3= I4=

Jenis Matriks (4/7) =c = cIn O23= O53= Matrik Nol, matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O53 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 5x3 =c = cIn O23= O53=

Jenis Matriks (5/7) Matrik Invers, matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1 Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu: , maka A-1 = A= A= , maka A-1 = =

Jenis Matrik (6/7) Untuk mencari invers matrik bujur sangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin. Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.

Contoh Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar?

Jawab Termasuk matrik segitiga atas Termasuk matrik segitiga bawah Termasuk matrik diagonal Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua

Jenis Matriks (7/7) Matrik Simetri, yaitu matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT Matrik Skew-Simetri, matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.

LATIHAN Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c A = Jawab: AT = = = -A Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2

Operasi Matriks Penjumlahan Matrik Perkalian Matrik dengan Skalar Transpos Matrik Perkalian Dua Matrik Trase Matrik

Penjumlahan matrik Jika A=[aij], dan B=[bij] Jumlah matrik A dan B ditulis: C = A + B Syarat: ordo A = ordo B Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}

CONTOH A= , B= , C= Hitung: A+B, B+C Jawab: B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B back

Perkalian dengan Skalar A=[aij] dan k skalar, maka: kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k} (-4) = = Akibat: -A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B) back

Transpos matrik A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m Jika B=AT , dan B=[bji], maka bji = aji { kolom matrik A menjadi baris matrik AT } A = AT = back

Perkalian dua Matrik A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B} C=AB cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk= vektor baris ke-i dari matrik A vektor kolom ke-k dari matrik B entri matrik C adalah: cik =

Contoh Perkalian Matrik (1/ 2) A= , B= , dan C=AB c23= c21= c13= = 4 – 1 – 35 = -32 = 0 – 1 + 10 = 9 = -6 + 1 + 28 = 23

Contoh Perkalian Matrik (2/2) C=AB = = back

HITUNG !!! Apakah AB=BA??? Buktikan Jika: Sehingga: ABBA

Trase matrik A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n {harus matrik bujur sangkar} Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann {penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama} A = , trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1

Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4) Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar A+B=B+A {sifat komutatif} (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif} A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan} A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik} k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k} (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l} (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar} 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor

Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4) ABBA {tidak berlaku komutatif perkalian} (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif} AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian} AO=OA=O {sifat matrik nol} (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan} Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O atau BA=O (kA)B=k(AB)=A(kB)

Contoh AB=0 = , berarti AB=O Tetapi = , berarti BAO

Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4) trase(A+B) = trase(A) + trase(B) trase(AT) = trase(A) trase(kA) = k trase(A) trase(Inxn) = n

Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4) (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik} (kA)T=kAT An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0 ArAs=Ar+s, jika r dan s bilangan asli Sebanyak n

Contoh Tambahan (1/3) Jika A = , dan B = BTAT = (A + B)T = = = AT + BT = + = (AB)T = = ATBT = =

Contoh Tambahan (2/3) (½B)T = = A = , dan B = ½ BT = ½ = –2 A = –2IA =

Contoh Tambahan (3/3) A = , dan B = A2 = AA= = A3 = A2A = = trase(A) = 2 + 3 = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2 trase(A+B) = trase( ) = 6 + 1 = 7

Determinan Determinan Matriks Persegi Berordo 2 atau det A = ad – bc Matriks A = Determinan matriks A adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping. Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc

Contoh Jika A = maka det A = = ( 1)(4) – (2)(-3) = 4 +6 = 10

Determinan Determinan Matriks Persegi Berordo 3 Matriks A = Cara menentukan det A sebagai berikut : det A =

Determinan Menggunakan aturan Saurrus det A = - - - + + +