KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT

Ilustrasi 1 Misal ada 3 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ? Kelereng m k h Kantong 1 2 3 Tabung 1 Tabung 2 Tabung 3 Urutan m h k kmh khm hmk hkm mkh mhk Matematika Diskrit

Ilustrasi 2 Misal ada 6 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) hijau (h), biru (b), ungu (u) dan coklat (c). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ? Kelereng Kantong 1 2 3 m k h b u c n = banyaknya objek r = pemilihan objek Sehingga : n = 6 r = 3 Matematika Diskrit

Definisi Permutasi adalah : jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek Permutasi merupakan bentuk aplikasi dari kaidah perkalian Sehingga permutasi dari n objek (pada ilustrasi a): Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut dengan permutasi-r (pada ilustrasi b ), n  r : Matematika Diskrit

Contoh 1 Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KULIAH” ? Matematika Diskrit

Solusi Kata “KULIAH”  n = 6 Ada 2 cara penyelesaian : Cara 1 : Anggap kata “KULIAH” sebagai kelereng yang berbeda warna dan 6 buah tabung terisi dengan 1 buah kelereng pada setiap tabung Sehingga : (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 buah kata Cara 2 : Dengan menggunakan rumus permutasi-r : n = 6 ; r = 6 Matematika Diskrit

Contoh 2 Tiga buah ujian dilakukan dalam periode lima hari (Senin sampai Jumat). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama ? Matematika Diskrit

Solusi Ada 2 cara penyelesaian : Cara 1 : Cara 2 : Ujian ke-1 dapat ditempatkan pada salah satu dari 5 hari Ujian ke-2 dapat ditempatkan pada salah satu dari 4 hari Ujian ke-3 dapat ditempatkan pada salah satu dari 3 hari Jumlah pengaturan jadwal ujian : (5)(4)(3) = 60 pengaturan jadwal Cara 2 : Dengan menggunakan rumus permutasi : Matematika Diskrit

Contoh 3 Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula Matematika Diskrit

Solusi String  n1 = 26 (a, b, …, z) Angka  n2 = 10 (0, 1, …, 9) Untuk mengisi posisi 4 buah huruf yang berbeda (n1=26; r1=4): Untuk mengisi posisi 3 buah angka yang berbeda (n2=10; r2=3): Karena string disusun dari 4 buah huruf dan 3 buah angka, maka jumlah string yang dapat dibuat : P(26,4) x P(10,3) = (26)(25)(24)(23)(10)(9)(8) = 258.336.000 Matematika Diskrit

Permutasi Melingkar Permutasi melingkar dari n objek adalah : Penyusunan objek-objek yang mengelilingi sebuah lingkaran (atau kurva tertutup sederhana) Jumlah susunan objek yang mengelilingi lingkaran : (n – 1)! Matematika Diskrit

Contoh 4 Ada 10 orang yang duduk pada satu barisan kursi terdiri dari 10 kursi yang mengelilingi meja melingkar. Berapa banyak cara pengaturan tempat duduk bagi mereka ? Matematika Diskrit

Solusi Kursi = 10 n = 10 Objek pertama dapat ditempatkan dimana saja pada lingkaran dengan 1 cara Sisa n – 1 objek lainnya dapat diatur searah jarum jam (misalnya) dengan : P(n – 1, n – 1) = (n – 1) ! cara Sehingga : P(9, 9) = 9 ! Matematika Diskrit

Latihan Diketahui X = {a,b,c}, maka banyaknya permutasi-2 Berapa banyak cara memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara dari kelompok yang terdiri dari 10 orang Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ? Jika suatu toko menjual 3 ukuran T-shirt dengan 6 warna berbeda dan setiap T-shirt bisa bergambar naga, buaya atau tidak bergambar sama sekali, berapa jenis T-shirt yang dapat anda beli ? Berapa jumlah kata (terdiri dari 8 huruf) yang dapat dibentuk dari 26 huruf, tanpa memperhitungkan arti kata yang terbentuk. Buatlah untuk 2 kemungkinan (boleh mengulang huruf atau tidak boleh mengulang huruf) Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masing-masing akan ditempatkan di Surabaya, Sidoarjo dan Malang. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut ? Matematika Diskrit

Latihan (cont.) Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari {1, 2, …, 8} Tentukan banyaknya “kata” yang terbentuk dari huruf-huruf dalam kata “SELEBES” jika setiap “kata” : Berawal dan diakhiri dengan huruf E Tiga huruf E berdampingan satu sama lain Lima belas pemain basket akan direkrut oleh 3 tim profesional di Jakarta, Bandung dan Surabaya, sedemikian sehingga setiap tim akan merekrut 5 orang pemain. Dalam berapa banyak cara dapat dilakukan ? Sebuah bioskop mempunyi jajaran kursi yang disusun per baris. Tiap baris terdiri dari 6 tempat kursi. Jika 2 orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris ? Matematika Diskrit