SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) Bentuk umum : dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. TUNGGAL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN BANYAK SPL Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN

ILUSTRASI GRAFIK SPL 2 persamaan 2 variabel: Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya. MATRIKS Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua baris sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder- hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

CONTOH DIKETAHUI …………(i) …………(ii) …………(iii) kalikan baris (i) kalikan pers (i) dengan (-2), kemu- dian tambahkan ke pers (ii). kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii). kalikan pers (i) dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke pers (iii). kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii). kalikan pers (ii) dengan (1/2). kalikan baris (ii)

LANJUTAN CONTOH kalikan pers (ii) dengan (1/2). kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii). kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii). kalikan pers (iii) dengan (-2). kalikan brs (iii) kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

Lanjutan CONTOH Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii) kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii) Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS. KERJAKAN EXERCISE SET 1.1

BENTUK ECHELON-BARIS Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut: maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi. Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1. 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah. 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1 baris berikut. 4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut bentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi: CONTOH bentuk echelon-baris:

Bentuk umum echelon-baris dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

Bentuk umum echelon-baris tereduksi dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb: Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.

METODA GAUSS-JORDAN Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut. Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2B1 + B2B2 5B2+B3  B3 B4 B4+4B2 B3 ⇄ B4 B3 B3/3 -3B3+B2B2

Akhirnya diperoleh: Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian: dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.

METODA SUBSTITUSI MUNDUR Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut: Bentuk ini ekuivalen dengan: LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh: LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh: LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

Eliminasi Gaussian Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur. CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut: Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:

Kerjakan Exercise set 1.2 No. 1 – 11.

SPL HOMOGEN Bentuk umum: Penyelesaian trivial (sederhana): Bila ada penyelesaian lain yang tidak semuanya nol maka disebut penyelesaian taktrivial.

pasti ada penyelesaian trivial SPL HOMOGEN atau penyelesaian trivial + takberhingga banyak penyelesaian taktrivial ILUSTRASI:

Syarat cukup SPL homogen mempunyai penyelesaian taktrivial Bila banyak variabel n lebih dari banyak persamaan m maka SPL homogen mempaunyai penyelesaian taktrivial. CONTOH: Bentuk matriks: # variabel = 5 # persamaan = 4.

Bentuk akhir echelon-baris tereduksi: PENYELESAIAN UMUMNYA : dimana penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s=t=0. Proses OBE dalam untuk menghasilkan bentuk echeleon-baris tereduksi tidak mempengaruhi kolom akhir matrik. Bila banyak persamaan awal n maka banyak pers. akhir r tidak melebihi n, yaitu r ≤ n.

PENYELESAIAN SPL PADA KOMPUTER Software komputasi yg dilengkapi alat (tool) untuk menyelesaikan SPL: MATLAB, - MAPLE, MATHCAD, -MATHEMATICA, DLL. Umumnya menggunakan algoritma: Eliminasi Gauss, atau eliminasi Gauss-Jordan Prinsip penulisan program: menekan kesalahan pembulatan, minimalisasi memori komputer, memaksimumkan speed.

SPL PADA MATLAB Diperhatikan SPL AX = b, mis A bujur sangkar, i.e. #pers = #var. LANGKAH-LANGKAH: didefinisikan matriks A: >>A=[a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33] didefinisikan vektor ruas kanan b: >>b=[b1;b2;b3] panggil penyelesaiannya: >>X=A\b

CONTOH: diperhatikan SPL Telah diketahui SPL ini mempunyai penyelesaian Menggunakan MATLAB: >> A=[1 1 2;2 4 -3;3 6 -5]; >> b=[9;1;0]; >>X=A\b >>X = 1.0000 2.0000 3.0000 Penyelsaian yang diperoleh sama dengan hasil manual kita.

Bila A invertibel, yaitu A-1 ada maka berlaku AX = b X = A-1b. Perintah pada MATLAB sbb: >>X = inv(A)*b X = 1.0000 2.0000 3.0000 Bila A tidak mempunyai invers, SPL AX=b masih memungkinkan penyelesaian. Akan dibahas kelak.

Membentuk echelon-baris tereduksi dengan MATLAB 0 0 5 10 0 15;2 6 0 8 4 18]; >>b=[0;-1;5;6]; >>rref([A b]) ans = 1.0000 3.0000 0 4.0000 2.0000 0 0 0 0 1.0000 2.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 0 0 Bandingkan dengan hasil yang sudah kita peroleh.

SPL tidak bujur sangkar Ubah menjadi bentuk echelon-baris tereduksi dengan fungsi rref. Selesaikan dengan cara manual. CONTOH: diberikan SPL Dengan menggunakan rref pada MATLAB diperoleh bentuk echelon-baris sbb:

Bandingkan dengan hasil manual yang sudah anda peroleh. 1 0 0 -4 0 1 0 2 0 0 1 7 0 0 0 0 Diperoleh x3 = 7, x2 = 2 dan x1 = -4. Bandingkan dengan hasil manual yang sudah anda peroleh. SPL Homogen dilakukan dengan cara yang sejalan. TUGAS: Kerjakan Exercise 1.2 No. 12 s.d. 28

MATRIKS MATRIKS adalah array bilangan dalam bentuk persegi panjang. CONTOH:

Notasi lain elemen aij adalah Ukuran matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolomnya. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dikatakan berukuran m x n. Elemen pada baris ke i dan kolom ke j matriks A ditulis aij. Bentuk umum: Notasi lain elemen aij adalah atau

Matriks mempunyai Bentuk-bentuk matriks khusus: Vektor baris: matriks dengan 1 baris, Vektor kolom: matriks dengan 1 kolom. 2. Matriks bujursangkar: banyak baris = kolom atau m=n. Diagonal utama d=[a11, a22, . . . ,ann]

OPERASI MATRIKS Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A=B jika atau Jumlahan A+B matriks yang diperoleh dengan menjum-lahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada A dan B. Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukurannya sama. DKL, Perkalian AB didefinisikan sbb:

Agar matriks A dan B dapat dikalikan maka haruslah banyak kolom A sama dengan banyak baris B.