Menerapkan Operasi pada Bilangan Real l

Applying Operation in Real Numbers l

Bilangan Bulat Positif Skema Bilangan Real : Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat Positif (Bilangan Asli) 0 (Nol) Bilangan Bulat Negatif Bilangan Prima 1 Bilangan Komposit Hal.: 3 BILANGAN REAL

Real Numbers Scheme Hal.: 4 BILANGAN REAL

Macam- macam bilangan Macam- macam barisan angka 1, 2, 3, 4, . . . 0, 1, 2, 3, . . . . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ½ , ¼ , ¾ , 6/2, 2/4 . . . , , (0,21), . . . 2, 8, 10, 15, . . . Dari barisan angka diatas dapat disimpulkan: 1. Bilangan . . . 2. Bilangan . . . 3. Bilangan . . . 4. Bilangan . . . 5. Bilangan . . . 6 .Bilangan . . . Hal.: 5 BILANGAN REAL

KINDS OF NUMBERS Kinds of this sequence 1, 2, 3, 4, . . . 0, 1, 2, 3, . . . . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ½ , ¼ , ¾ , 6/2, 2/4 . . . , , (0,21), . . . 2, 8, 10, 15, . . . From this sequence conclusion : 1. Numbers . . . 2. Numbers . . . 3. Numbers . . . 4. Numbers . . . 5. Numbers . . . 6. Numbers . . . Hal.: 6 BILANGAN REAL

Pengertian Bilangan Kesimpulan: 1. Bilangan prima adalah . . . 2. Bilangan asli adalah. . . 3. Bilangan komposit adalah . . . 4. Bilangan Rasional adalah . . . 5. Bilangan Irrasional adalah . . . 6. Bilangan Real adalah . . . Hal.: 7 BILANGAN REAL

The mean of Numbers Conclusion: 1. Prime Number is . . . 2. Natural Number is. . . 3. Compose Number is . . . 4. Rational Number is . . . 5. Irrational Number is . . . 6. Real Number is . . . Hal.: 8 BILANGAN REAL

Pengertian Bilangan Rasional Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan, a dan b, anggota bilangan bulat dan b 0. Contoh: 6, ½ dansebagainya. Hal.: 9 BILANGAN REAL

The Definition of Rational Numbers Rational Number is number that can be denoted by , with, a and b, are the members of integer numbers and b 0. Example: 6, ½ etc. Hal.: 10 BILANGAN REAL

Pengertian Bilangan Irrasional Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dan biasanya banyak angka desimalnya tak hingga. Contoh: Bentuk akar, , desimal, Hal.: 11 BILANGAN REAL

The Definition of Irrational Numbers Irrational number is numbers which cannot be denoted by fraction and the decimal number is unlimited. Example: Roots, ,decimal Hal.: 12 BILANGAN REAL

Pengertian Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor yaitu 1(satu) dan bilangan itu sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, ...dansebagainya Hal.: 13 BILANGAN REAL

The Definition of Prime Numbers Prime Numbers is number which only have two factors; 1 (one) and the number itself. Example: 2, 3, 5, 7, ...etc Hal.: 14 BILANGAN REAL

Pengertian Bilangan Komposit Bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai faktor lebih dari satu. Contoh: 4, 6, 8, 9… Hal.: 15 BILANGAN REAL

The Definition of Compose Numbers Compose number is number which have more than one factors. Example: 4, 6, 8, 9… Hal.: 16 BILANGAN REAL

Operasi Bilangan Real A. Operasi Penjumlahan 1. Bilangan Bulat Sifat – sifat Komutatif: a +b = b + a Contoh: 2 + 3 = 3 + 2 Asosiatf: a +(b + c)= (a + b)+ c Contoh: 1 + (3 + 5) = (1 + 3) + 5 Memiliki elemen identitas penjumlahan yaitu 0: a + 0 = 0 + a Contoh : 1 + 0 = 0 + 1 Hal.: 17 BILANGAN REAL

The Real Number Operation A. Addition Operation 1. Integer Number The Properties Commutative: a +b = b + a Example: 2 + 3 = 3 + 2 Associative: a +(b + c)= (a + b)+ c Example: 1 + (3 + 5) = (1 + 3) + 5 Have addition identity element, that are: a + 0 = 0 + a Example : 1 + 0 = 0 + 1 Hal.: 18 BILANGAN REAL

Operasi Bilangan Real Pengurangan Memiliki invers penjumlahan, Misal; inversnya a = - a, sehingga : a + (-a) = -a + a Contoh : 2 + (-2) = -2 + 2 = 0 Hal.: 19 BILANGAN REAL

Real Numbers Operation Subtraction Has addition inverse, Example; inverse a = - a, Then : a + (-a) = -a + a Example : 2 + (-2) = -2 + 2 = 0 Hal.: 20 BILANGAN REAL

Operasi Bilangan Real A. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan 2. Bilangan Pecahan Sifat – sifat c b a + = atau dimana a, b, c B dan c ≠ 0 , Dimana a, b, c, d B dan c ≠ 0 bd bc ad d c b a - = bd bc ad d c b a - = atau Hal.: 21 BILANGAN REAL

Real Number Operation A. Addition and Subtraction Operation 2. Fraction Number Properties c b a + = or where a, b, c B and c ≠ 0 , Where a, b, c, d B and c ≠ 0 bd bc ad d c b a - = bd bc ad d c b a - = atau Hal.: 22 BILANGAN REAL

Operasi Perkalian dan Pembagian Sifat- sifat yang berlaku: 1. Komutatif, yaitu: a x b = b x a Contoh: a. 4 x 3 = 3 x 4 ½ x ¾ = ¾ x ½ ½ : ¾ = ½ x 4/3 2. Asosiatif, yaitu: (a x b) x c = a x ( b x c) Contoh: { 5 x (-7)} x 2 = 5 x { (-7) x 2} 3. Memiliki unsur identitas yaitu 1, sehingga: a . 1 = 1 . a = a Contoh : 2 . 1 = 1 . 2 = 2 4. Memiliki invers perkalian untuk aR; a ≠ 0 ; sehingga a x 1/a = 1, maka invers 1/a invers perkalian dari a. Pada perkalian dan pembagian bilangan real berlaku: a. a . ( -b) = - (ab) d. ( -a) : b = -a : ( -b) b. ( -a) . b = - (ab) e. ( -a) . b = - (ab) c. ( -a) :(-b) = f. -a : (-b) = - Hal.: 23 BILANGAN REAL

Multiplication and Division Operation The properties: 1. Commutative: a x b = b x a Example: a. 4 x 3 = 3 x 4 ½ x ¾ = ¾ x ½ ½ : ¾ = ½ x 4/3 2. Asassociative: (a x b) x c = a x ( b x c) Example: { 5 x (-7)} x 2 = 5 x { (-7) x 2} 3. Have identity item 1, so: a . 1 = 1 . a = a Example: 2 . 1 = 1 . 2 = 2 4. Have multiplication inverse for aR; a ≠ 0 ; so a x 1/a = 1, then inverse 1/a is multiplication inverse of a. In multiplication and division of real numbers, we have: a. a . ( -b) = - (ab) d. ( -a) : b = -a : ( -b) b. ( -a) . b = - (ab) e. ( -a) . b = - (ab) c. ( -a) :(-b) = f. -a : (-b) = - Hal.: 24 BILANGAN REAL

Mengkonversi bentuk persen, atau pecahan desimal Konversi pecahan biasa kebentuk persen. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen yaitu dengan mengubah penyebutnya menjadi 100. Contoh: a. = = 40% b. 4 = = 44% Hal.: 25 BILANGAN REAL

Conversing percentage, or decimal fraction Fraction converse is usually in percentage. Change fraction into percentage by changing the denominator into 100. Example: a. = = 40% b. 4 = = 44% Hal.: 26 BILANGAN REAL

Mengkonversi bentuk persen, atau pecahan desimal 2. Konversi pecahan biasa ke bentuk desimal Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya. Contoh: a. = x = = 0,4 b. 3 = X = = 3, 40 Hal.: 27 BILANGAN REAL

Conversing percentage, or decimal fraction Fraction converse is usually in percentage. Change fraction into percentage by changing the denominator into 100. Example: a. = = 40% b. 4 = = 44% Hal.: 28 BILANGAN REAL

Mengkonversi bentuk persen, atau pecahan desimal 3. Konversi persen ke bentuk pecahan biasa atau kedesimal. Contoh : a. 20% = = 0,2 = 20% b. 75% = Hal.: 29 BILANGAN REAL

Conversing percentage, or decimal fraction 3. Conversing the percentage into fraction or into decimal. Example : a. 20% = = 0,2 = 20% b. 75% = Hal.: 30 BILANGAN REAL

Perbandingan senilai Lengkapilah ! Banyak ( Buah ) Harga ( Rupiah) 1 200 2 Perbandingan senilai 400 3 … 4 … … 1000 6 … 7 … X … Hal.: 31 BILANGAN REAL

Ratio Equivalent Complete the table ! Quantity Price 1 200 2 Perbandingan senilai 400 3 … 4 … … 1000 6 … 7 … X … Hal.: 32 BILANGAN REAL

Perbandingan Berbalik Nilai Pengalaman Belajar Suatu pekerjaan borongan jahitan, dengan 24 orang pekerja, direncanakan selesai dalam waktu 48 hari. Sesudah bekerja selama 12 hari dengan 24 pekerja, pekerjaan tersebut dihentikan selama 9 hari karena sesuatu hal. Berapa banyaknya pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan tersebut dapat selesai tepat waktu? Hal.: 33 BILANGAN REAL

Ratio Unequivalent Learning Experience A project of sewing clothes with 24 tailor is planned to finish in 48 days. After working for 12 days, the job was delayed for 9 days. How many tailor should be added so that the job will be finished on time? Hal.: 34 BILANGAN REAL

Perbandingan Berbalik Nilai Penyelesaian soal : Perbandingannya berbalik nilai, sehingga : Sisa pekerjaan untuk 48–12 = 36 hari yang seharusnya dapat diselesaikan oleh 24 orang. Tetapi waktu yang tersisa hanya 48–12–9 = 27 hari. Jadi didapatkan: 24 orang  36 hari x orang  27 hari Maka: 32 27 864 36 . 24 = Û x Jadi tambahan tenaga 8 orang Hal.: 35 BILANGAN REAL

Ratio Unequivalent Problem Solving: 32 27 864 36 . 24 = Û x Its ratio is unequivalent, so: The rest of the job for 48–12 = 36 days, which should be finished by 24 tailors. But the remain time is only 48–12–9 = 27 days. so: 24 tailor  36 days x tailor  27 days Then: 32 27 864 36 . 24 = Û x Then the additional tailor are 8 tailors Hal.: 36 BILANGAN REAL

Perbandingan Berbalik Nilai Perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan nilainya saling berkebalikan. Rumus = atau a . c = b . d Contoh: Seorang petani memiliki persediaan makanan untuk 80 ekor ternaknya selama 1 bulan. Jika petani menambah 20 ekor ternak lagi berapa hari persediaan makanan akan habis? Jawab: Maka: = ↔ 80 x 30 = 100 x d ↔ 2400 = 100d↔ d = 24 Banyak ternak Hari 80 = a 30 = c 80 + 20 = 100= b d Hal.: 37 BILANGAN REAL

Ratio Unequivalent The ratio is not equivalent if the values of two comparatives are unequivalent. Formula = or a . c = b . d Example: A farmer has food supply for 80 cattle for a month. If the farmer adds 20 cattle more, so how many days the food supply will be run out? Answer: Then: = ↔ 80 x 30 = 100 x d ↔ 2400 = 100d↔ d = 24 Cattle Quantity Days 80 = a 30 = c 80 + 20 = 100= b d Hal.: 38 BILANGAN REAL

Perbandingan Berbalik Nilai … 20 2 30 1 60 Waktu ( jam ) Kecep. ( km/jam ) … … 5 … … … x … Hal.: 39 BILANGAN REAL

The Ratio Unequivalent … 20 2 30 1 60 Time ( hour) Speed (km/hour ) … … 5 … … … x … Hal.: 40 BILANGAN REAL

Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Dengan cara lain : Apabila variabel x dari x1 menjadi x2 dan variabel y dari y1 menjadi y2 maka : 2 y 1 x = Senilai ,jika : 1 y 2 x = Berbalik nilai jika : Hal.: 41 BILANGAN REAL

The Ratio Equivalent and Unequivalent Dengan cara lain : Apabila variabel x dari x1 menjadi x2 dan variabel y dari y1 menjadi y2 maka : 2 y 1 x = Senilai ,jika : 1 y 2 x = Berbalik nilai jika : Hal.: 42 BILANGAN REAL

Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Soal Dengan kecepatan tetap, sebuah mobil memerlukan bensin 5 liter untuk jarak 60 km. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 150 km ? 2. Jarak antara dua kota dapat ditempuh kendaraan dengan kecepatan rata-rata 72 km/jam selama 5 jam. Berapa kecepatan rata-rata kendaraan untuk menempuh jarak tersebut jika lama perjalanan 8 jam ? Hal.: 43 BILANGAN REAL

belum Hal.: 44 BILANGAN REAL

5 8 72 = x x 5 150 60 = Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Penyelesaian: Karena perbandingannya senilai maka : x 5 150 60 = Perbandingannya berbalik nilai, sehingga : 5 8 72 = x Hal.: 45 BILANGAN REAL

5 8 72 = x x 5 150 60 = Ratio Equivalent and unequivalent Problem Solving: Because the ratio is equivalent, then: x 5 150 60 = The ratio is unequivalent, then: 5 8 72 = x Hal.: 46 BILANGAN REAL

Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Latihan Campuran cairan pembuatan kue terdiri dari minyak kelapa dan air dengan perbandingan 1 : 18. Berapa liter minyak kelapa diperlukan untuk memperoleh 9,5 liter campuran cairan? Sebuah peta yang berbentuk persegi panjang digambar dengan skala : 1 : 120.000 dan mempunyai ukuran panjang : lebar adalah 4:3. Sedangkan keliling peta 112 cm. Tentukan luas sebenarnya yang digambarkan oleh peta tersebut? Hal.: 47 BILANGAN REAL

Ratio Equivalent and unequivalent Exercise The mixture of liquid cake ingredient are palm oil and water with the scale 1 : 18. How many liters of palm oil needed to get 9.5 the mixture of liquid cake ingredient? A map in rectangle shape is drawn in scale of : 1 : 120.000 and has length and width 4:3. while the map circumference is 112 cm. Determine the real area of the map? Hal.: 48 BILANGAN REAL

Skala Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar dan ukuran sebenarnya. Skala 1 : n artinya, setiap 1 cm jarak pada peta atau gambar mewakili n cm jarak sebenarnya. Jarak pada sebenarnya Jarak (gambar) peta Skala= Hal.: 49 BILANGAN REAL

Scale Distance in Map (picture) Scale = Real Distance Scale is ratio between the size in the drawing and the real size. Scale 1 : n means, every 1 cm in the map represents n cm in the real distance. Distance in Map Distance Real (picture) Scale = Hal.: 50 BILANGAN REAL

Skala Contoh: Pada sebuah peta dengan skala 1: 4.250.000, jarak antara Surabaya dan Malang adalah 2 cm. Berapa kilometer jarak sebenarnya? Jawab: Skala 1: 4.250.000 Jarak pada gambar=2 cm Jarak sebenarnya = 2 x 4,250.000 = 8.500.000 = 85 km Hal.: 51 BILANGAN REAL

Scale Example: In a map which has scale 1: 4.250.000, the distance between Surabaya and Malang is 2 cm. How many kilometer is the real distance? Answer: Scale 1: 4.250.000 The distance in map =2 cm The real distance = 2 x 4,250.000 = 8.500.000 = 85 km Hal.: 52 BILANGAN REAL