PERMUTASI dan KOMBINASI Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom, MATEMATIKA DISKRIT S1 TI STMIK AMIKOM Yogyakarta

DASAR PENGHITUNGAN |A| : jumlah elemen dalam himpunan A Aturan Penjumlahan: |A| = |S1|+|S2|+|S3|+ . . . . .+|Sn|, dimana himpunan-himpunan bagian (S1, S2,..., Sn) semuanya saling asing Aturan Perkalian: suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah langkah 1  dengan n1 cara langkah 2  dengan n2 cara ................ langkah k  dengan nk cara Maka keseluruhan pekerjaan dapat dilakukan dengan: (n1) (n2) (n3).... (nk) cara

DASAR PENGHITUNGAN Contoh 1: Dalam suatu kartu bridge, berapa cara untuk mengambil: a. Sebuah jantung atau sebuah daun b. Sebuah jantung atau kartu As c. Sebuah As atau King d. Sebuah kartu bernomor 2 hingga 10 JAWAB: a. Karena antar gambar kartu adalah saling asing, maka banyak cara mendapatkan = 13 + 13 = 26 cara b. Banyak cara = 13+3 = 16 cara c. Banyak cara = 4+4 = 8 cara d. Banyak cara = 9+9+9+9 = 36 cara

DASAR PENGHITUNGAN Contoh 2: Misal 2 dadu yang berbeda warnanya dilontarkan. Ada berapa cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 JAWAB: - Cara mendapatkan jumlah angka 4 ada 3 cara - Cara mendapatkan jumlah angka 8 ada 5 cara Sehingga untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 ada : 3+5 = 8 cara

DASAR PENGHITUNGAN Contoh 3: Jika 2 buah dadu yang berbeda dilontarkan, berapa banyak kemungkinan angka yang muncul? JAWAB: Sebuah dadu mempunyai 6 kemungkinan kemunculan angka-angka, sehingga kalau 2 buah dadu ada: 6*6=26 cara (Jika ada n dadu, ada 6n kemungkinan)

DASAR PENGHITUNGAN Contoh 4: Suatu kode terdiri dari 3 huruf dan diikuti 4 angka, contoh BAC4321. a. Jika baik huruf atau angka dapat diulangi penggunaannya, ada berapa kode berbeda yang dihasilkan b. Bagaimana jika hurufnya saja yang boleh diulang c. Bagaimana jika huruf maupun angka tidak boleh diulang JAWAB: a. Banyak cara = 26*26*26*10*10*10*10 = 263*104 b. Banyak cara = 263*10*9*8 c. Banyak cara = 26*25*24*10*9*8

DASAR PENGHITUNGAN Contoh 5: Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 atau 3 digit dapat dibentuk dengan menggunakan angka-angka 1,3,4,5,6,8 dan 9, jika perulangan tidak diperbolehkan JAWAB: Banyak cara : 7*6 + 7*6*5 cara

PERMUTASI Urutan diperhatikan Perulangan tidak diperbolehkan Dinotasikan: Bila r=n, mana P(n,r) = n!

PERMUTASI Contoh 6: Dalam suatu kelas ada 20 orang. Berapa cara untuk memilih ketua dan bendahara JAWAB: Banyak cara = 20*19 =380 cara (urutan diperhatikan) (hal ini akan berbeda jika akan dipilih 2 orang wakil kelas, karena urutan tidak diperhatikan)

PERMUTASI Contoh 7: Tuliskan semua permutasi 3 objek {a,b,c} JAWAB: Ada 3! = 6 kemungkinan, yaitu: abc, acb, bca, bac, cab, cba Contoh 8: Suatu undian menggunakan 7 digit angka, jika digit-digitnya harus berbeda dengan yang lain, ada berapa kemungkinan nomor undian? P(10,7) =10!/3! = 10.9.8.7.6.5.4 macam kemungkinan

KOMBINASI Urutan kemunculan tidak diperhatikan Dinotasikan Bila r=n, mana C(n,r) = 1

KOMBINASI Contoh 9: Berapa tim Basket yang dapat dibentuk dari 12 orang? JAWAB: Urutan pemain tidak diperhatikan (abc = bac) Jadi, banyak tim:

LATIHAN Berapa banyak kode barang yang dapat dibuat dengan 1 atau 2 atau 3 huruf yang diikuti dengan 4 angka Nomor kendaraan DIY adalah AB diikuti dengan 4 angka dan 2 huruf. Ada berapa nomor yang dapat dibuat, jika: Semua angka dan huruf dapat dipakai, serta boleh berulang Sama dengan a) tetapi huruf terakhirnya A

LATIHAN Sebuah bank memberikan layanan ATM untuk nasabah tertentu dengan kode akses berupa PIN yang terdiri dari 10 digit bilangan, yaitu 2 digit bilangan heksadesimal, 3 digit bilangan oktal, dan 5 digit bilangan desimal. Ada berapa susunan PIN berbeda yang mungkin, jika Digit-digitnya tidak boleh berulang Digit-digitnya boleh berulang Digit-digitnya boleh berulang tetapi tidak boleh menunjukkan urutan digit, misalnya 3F06580116, digit 5 tidak diperbolehkan karena menunjukkan urutan ke-5