Geometri Vektor (Garis dan Bidang)

1. Dua Dimensi (R2) Persamaan Garis Untuk membentuk persamaan garis diperlukan minimal dua titik. Garis merupakan tempat kedudukan titik-titik. Jika suatu garis melalui titik A (xA,yA) dan titik B (xB,yB), maka tentunya ada titik P (x,y) yang terletak pada garis tersebut. Secara vektor dituliskan : p-a = k(b-a) p = kb-(k-1)a AP = k AB

Jadi titik P mempunyai koordinat : x = k(xB – xA) + xA y = k(yB – yA) + yA Dengan mensubstitusikan nilai k, maka diperoleh : Persamaan garis secara umum dinyatakan : dengan : juga ditulis : y = mx + c disebut : gradient/kemiringan

Persamaan garis juga dapat ditulis : Atau : Contoh : Buktikan bahwa vektor normal n dari garis : ax + by + c = 0 adalah (a,b). (yB – yA)x + (xB – xA)y + (xAyB – yAxB) = 0 ax + by + c = o

Jawab : Persamaan garis dapat digambarkan dalam koordinat kartesius seperti berikut :

Sudut antara dua garis Jika sudut garis g1 dengan sumbu x adalah α, sedangkan sudut garis g2 dengan sumbu x adalah β, maka sudut perpotongan garisnya adalah : (β – α) dengan θ = sudut antara 2 garis Oleh karena itu : g1 g2 = θ

Sudut istimewa : Contoh : Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua garis berikut : x + y – 2 = 0 dan 2x – y + 3 = 0 Jawab : Langkah awal yang dilakukan adalah mencari gradien : θ = 0o tan θ = 0o, m1 = m2 2 garis // θ = 90o tan θ = ~ 1+ m1m2 = 0 atau m1m2 = – 1 x + y – 2 = 0 y = – x + 2, maka m1= –1 2x – y + 3 = 0 y = 2 x + 3, maka m2= –1

Dengan mensubtitusikan m1 dan m1 ke rumus sudut antara 2 garis yang berpotongan, maka diperoleh :

Jarak titik terhadap garis Jarak titik P(xP, yP) yang berada di luar garis g1 yang mempunyai persamaan ax+ by + c = 0 adalah : Perhatikan :

Titik A terletak pada garis g1, maka axA + byA + c = 0 sehingga didapatkan c = – axA – byA Jadi jarak titik terhadap suatu garis adalah :

Contoh : Tentukan jarak antara garis x – y + 3 = 0 dan garis y = x + 2 Jawab : Gambar kedua garis tersebut sebagai g1 dan g2.(g1 //g2) Misalkan titik P(2,4) berada pada garis g2, maka jarak titik P ke garis g1 sama dengan jarak garis g1 ke g2. Dengan menggunakan rumus jarak diperoleh :

2. Tiga Dimensi (R3) Persamaan Garis Titik A (xA,yA,zA) dan titik B (xB,yB,zB) terletak pada satu garis. Jika titik P (xP,yP,zP) terletak di tengah titik A dan B, secara vektor dituliskan :

Jadi persamaan garis yang melalui titik A dan titik B dituliskan dalam bentuk persamaan parametrik : Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-1,0) dan (1,-1,1). xP = k(xB– xA) + xA yP = k(yB– yA) + yA zP = k(zB– zA) + zA

Jawab : Gunakan persamaan garis melalui kedua titik tersebut Jawab : Gunakan persamaan garis melalui kedua titik tersebut . x = k(xB– xA) + xA = k(2 – 1)+2= k + 2 yP = k(yB– yA) + yA = k(– 1–(–1)+(–1) = k – 1 zP = k(zB– zA) + zA = k(0 – 1)+ 0= – k Persamaan garis di ruang 3 dimensi adalah persamaan parametrik. Variabel A dan B dapat ditukar, yang mem bedakan adalah arah garisnya Perhatikan :

Persamaan bidang Bidang merupakan suatu permukaan datar. Untuk membentuk suatu persamaan garis dibutuhkan 2 titik, sedangkan untuk membentuk persamaan bidang dibutuhkan 3 titik atau satu titik dan vektor normal dari bidang tersebut. Jika terdapat satu bidang yang melalui titik P (xP,yP,zP) dan memiliki vektor normal n = (a,b,c), maka bila ingin mencari persamaan dari bidang tersebut diperlukan suatu titik sembarang Q(x,y,z) yang terletak pada bidang tersebut.

Dari definisi bahwa vektor normal tegak lurus terhadap bidang, maka Persamaan Umum, dengan :

Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (1,2,1) dan memiliki vektor normal (-1,2,3). Jawab : Langsung digunakan persamaan umum dengan mensubstitusi vektor normal : Untuk mencari nilai d, dilakukan substitusi titik (1,2,1) ke persamaan, karena titik tersebut terletak di bidang. Maka : Jadi persamaan bidang yang dicari adalah :

Bagaimana mencari persamaan bidang jika yang diketahui adalah 3 buah titik? Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(-1,2,1), B(2,1,1) dan C(-2,-1,3). Jawab : Substitusikan koordinat dari 3 titik itu ke dalam persamaan umum, sehingga diperoleh 3 persamaan dengan 4 variabel yaitu : Cara 1.

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh : a = 1/10 d, b = 3/10 d dan c = ½ d Persamaan bidang yang dicari adalah :

Cara 2. Mencari vektor normal n dengan menggunakan perkalian silang vektor AB dan vektor BC.

Jarak titik terhadap bidang Vektor normal n pada bidang ax + by + cz+ d = 0 dapat ditulis sebagai (a,b,c). Titik A(xA, yA) berada di luar bidang, sedangkan sembarang titik P(x,y,z) pada bidang, sehingga : D : jarak titik A ke bidang

Persamaan yang digunakan untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang telah diketahui persamaannya.

Contoh : Tentukan jarak titik (2,1,1) ke suatu bidang dengan persamaan 3x – y – 2z + 5 = 0 Jawab : Gunakan persamaan :

Sudut antara dua bidang Jika 2 bidang saling berpotongan, maka dalam menentukan sudut yang terbentuk sama halnya seperti mencari sudut antara 2 garis. Persamaan bidang P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 Jika koefisien : a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, maka ada 2 kemungkinan yaitu : 1. Bidang berhimpit bila d1 = d2, 2. Bidang sejajar apabila d1≠d2,

Jika koefisien tidak mempunyai nilai yang sama, maka kedua bidang pasti berpotongan. Vektor normal bidang P1 adalah N1(a1,b1,c1). Vektor normal bidang P2 adalah N2(a2,b2,c2). Dengan perkalian titik kedua vektor normal tersebut dapat diperoleh sudut antara 2 bidang, yaitu :

Contoh : Tentukan sudut yang dibentuk oleh bidang-bidang dengan persamaan berikut ini : P1 : 2x –3y + 2z –4 = 0 P2 : x + y + z –3 = 0 Jawab : Vektor normal P1: (2, –3,2) dan P2: (1,1,1).

Jarak titik terhadap garis Tidak seperti menghitung jarak titik terhadap garis pada dimensi dua, karena persamaan garisnya berbeda. Oleh karena itu, diperlukan bantuan satu titik (Q) yang terletak pada garis g1 sedemikian sehingga jika dihubungkan dengan titik yang diketahui(P) akan saling tegak lurus Jadi jarak P terhadap g1 = jarak antara dua titik P dan Q (PQ)

Contoh : Tentukan jarak titik (2,3,-1) ke garis g1 dengan persamaan x = 2t-1; y = t-3; z = t. Jawab : Misalkan titik Q pada garis g1 dengan koordinat (2t-1, t-3, t), maka :

Jadi :

Vektor kode dan modul aritmatika Kode yang familier : Morse Era digital : semua data dikirim secara elektronik dengan jumlah banyak, cepat dan akurat. Vektor digunakan untuk mendeteksi kesalahan pada pengiriman data, bahkan juga dapat membetulkan kesalahan. Komputer dirancang untuk mengolah data dengan angka 0 dan 1 (binary) Sistem titik dan garis

Kode Biner Data angka 0 dan 1 dapat diartikan sebagai: Mati/hidup, tutup/buka, salah/benar atau tidak/ya. Hukum penjumlahan dan perkalian biner : 1 : ganjil dan 0 : genap. Hukum di atas merupakan jumlah dan kali bilangan genap dan ganjil

Kumpulan bilangan {0,1} ditulis : Z2 Vektor dalam Contoh : (0,0), (0,1), (1,0) dan (1,1) Berapakah jumlah vektor : ? Contoh soal : Vektor U=[1,1,0,1,0] dan V=[0,1,1,1,0] merupakan dua vektor biner dengan panjang 5. Tentukan U.V ! Jawab : U.V= 1.0 + 1.1 + 0.1 + 1.1 + 0.0 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 0 modul 2 bilangan Vektor biner dengan panjang n

Pesan dalam bentuk kata, simbul ataupun angka dikirimkan sebagai vektor biner. Kode biner Encoding : proses merubah pesan ke dalam vektor kode Decoding : proses merubah vektor kode ke dalam pesan Kumpulan vektor biner dengan panjang yang sama.

Kode deteksi kesalahan Pesan sebagai kumpulan vektor kode biner dikirim melalui saluran seperti pemancar radio, telepon, fiber optik atau CD. Dalam pengiriman ada kemungkinan terjadi kesalahan pembacaan akibat adanya jalur yang sibuk, interferensi, kotor atau rusak. Beberapa angka 0 berubah menjadi 1 atau sebaliknya. Bagaimana caranya mengatasi masalah ini ?

Contoh : sebagai kode biner untuk mengirim pesan : naik, turun, kiri dan kanan. Ditabelkan sebagai berikut : Jika tidak terjadi kesalahan, maka proses decoding : trivial Misalkan terjadi kesalahan tunggal seperti pesan turun dengan kode[0,1] komponen 0 berubah jadi 1, sehingga diterimanya [1,1] yang berarti kanan. Dalam praktek, tidak mungkin terjadi banyak kesalahan. Digunakan 4 vektor biner dalam

Untuk mencegah kesalahan tunggal, penulisan pesan menggunakan kode dalam Jika terjadi kesalahan tunggal seperti pesan turun dengan kode[0,1,1], 1 komponen berubah, sehingga diterimanya [1,1,1] atau [0,0,1] atau [0,1,0], maka tidak ada yang cocok dengan vektor yang tersedia. Inilah yang disebut dengan kode deteksi kesalahan. yang ditabelkan berikut ini

Penggunaan kode deteksi kesalahan harus memiliki kesamaan dengan kode awalnya (parity check code) yaitu dengan menambahkan komponen ekstra yang disebut angka pengecek (check digit) sehingga setiap vektor mempunyai kesamaan ( jumlah total angka 1) adalah genap. Contoh : Vektor biner [1,0,0,1,0,1] jumlah angka 1 ganjil, ditambah dengan angka pengecek 1 agar jumlahnya genap, sehingga vektor berubah menjadi [1,0,0,1,0,1,1] Jika terjadi kesalahan pada komponen ke 3 sehingga vektor yang diterima [1,0,1,1,0,1,1] dengan jumlah angka 1 menjadi ganjil. Bagaimana caranya untuk menormalkan kembali ?

Anggap pesan sebagai vektor biner : b =[b1, b2, ……… Anggap pesan sebagai vektor biner : b =[b1, b2, ……….,bn] dalam Vektor kode pengecek : v =[b1, b2, ….,bn, d] dalam dengan d adalah bilangan pengecek yang dipilih : b1+ b2 +……….+ bn + d = 0 dalam Z2 Atau bentuk yang sama : 1 . v = 0 1 = [1,1…….1] vektor semua komponen 1 Jika vektor yang diterima adalah v’ dan 1. v’ = 1, maka dipastikan terjadi kesalahan check vector

Modul Aritmatika : Vektor dengan komponen kumpulan bilangan terbatas (0,1,2, ………k) untuk k≥2, langkah yang harus ditempuh adalah pengembangan dari biner. modul 3 bilangan = {0, 1, 2} Z3

Contoh : Hitung 2 + 2 + 1 + 2 dalam Z3 Jawab : Jumlahkan 2 + 2 + 1 + 2 = 7, selanjutnya dibagi 3 , tentunya ada sisa 1. Jadi : 2 + 2 + 1 + 2 = 1 dalam Z3 Cara yang lebih baik adalah dikerjakan dengan bentuk perhitungan dalam Z3 2 + 2 + 1 + 2 = (2 + 2) + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = (1 + 1) + 2 = 2 + 2 = 1 Atau (2 + 2) + (1 + 2) = 1 + 0 = 1 Cara 1. Cara 2.

Secara umum : Zm = (0,1,2, ……..,m-1) : modul integer m : vektor susunan m bilangan dengan panjang n Kode yang menggunakan vektor susunan m bilangan disebut kode bilangan m vektor bilangan 3 panjang 5 Bila u = [2, 2, 0, 1, 2] dan v = [1, 2, 2, 2, 1], maka: u . v = 2.1 + 2.2 + 0.2 + 1.2 + 2.1 = 2 + 1 + 0 + 2 + 2 = 1 Contoh :

Universal Product Code (UPC) Merupakan kode asosiasi dengan kode batang yang ditemukan pada bermacam-macam barang produksi. Batangan hitam putih dibaca dengan sinar laser, merupakan susunan 10 bilangan vektor. u = [u1, u2, ……..u11, d] dengan panjang 12. Sebelas angka pertama merupakan komponen vektor menyatakan informasi pabrik dan produksinya. Komponen terakhir d adalah angka pengecek sehingga c.u = 0 dalam Z10. Vektor pengecek c = [3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1] Hasil akhir diperoleh : 3(u1 + u3 + u5 + u7 + u9 + u11)+(u2 + u4 + u6 + u8 + u10)+d= 0

Angka pengecek d harus 6 agar supaya hasil perhitung-an = 0 dalam Z10 Contoh UPC disamping, bisa ditentukan bahwa angka pengeceknya adalah 6 dalam perhitungan Z10 dengan cara : 7 4 9 2 7 0 2 0 9 4 6 c.u = 3.0 +7 + 3.4 + 9 + 3.2 + 7 + 3.0 + 2 + 3.0 + 9 +3.4 +d = 3(0+4+2+0+0+4) + (7+9+7+2+9) + d = 3(0) + 4 + d = 4 + d Angka pengecek d harus 6 agar supaya hasil perhitung-an = 0 dalam Z10 c.u merupakan kelipatan 10.

Kode nomor buku internasional(ISBN) Merupakan kode angka pengecek yang juga telah digunakan di seluruh dunia. Vektor kode merupakan vektor dalam . Sembilan angka pertama merupakan komponen yang menyatakan informasi negara, penerbit dan buku. Komponen kesepuluh adalah angka pengecek. ISBN buku Calculus: Concepts and Contexts by James Steward adalah 0-534-34450-X. Ini tercatat sebagai vektor b =[0,5,3,4,3,4,4,5,0,X] dengan angka pengecek adalah huruf X. Vektor pengecek ISBN adalah vektor : c = [10, 9, 8,7,6,5,4,3,2,1]

Diperlukan hasil c . b = 0 dalam Z11. c . b = 10.0+9.5+8.3+7.4+6.3+5.4+4.4+3.5+2.0+d Semua perhitungan dibuat ke bentuk kelipatan Z11 (contoh 9.5 = 1, karena 45 jika dibagi 11 akan sisa 1) Maka : c . b = 0 + 1 + 2+ 6 + 7 + 9 + 5 + 4 + 0 + d = 1 + d c.u merupakan kelipatan 11, maka d = 10. Karena dalam ISBN setiap komponennya adalah angka tunggal, maka untuk angka 10 diganti dengan bilangan Romawi X.

Sistem Codabar (ATM atau kartu kredit) Kode angka pengecek berjumlah 16. Lima belas angka pertama merupakan informasi dari bank penerbit dan angka terakhir merupakan angka pengecek. Kebanyakan bank yang menggunakan sistem ini menyebutnya dengan nama : Codabar. Misalkan angka yang tercetak pada kartu Kredit adalah : 5412 3456 7890 4327 Vektor x = [5,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,4,3,2,d] dalam . Vektor pengecek c = [2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1]. Diperlukan hasil c.x = 0 dalam Z10

Misalkan h adalah jumlah angka ganjil yang lebih besar dari 4. Dalam contoh ini angka tersebut adalah 5, 5, 7 dan 9, sehingga h = 4. Sehingga diperoleh : c.x + h=0 dalam Z10 Maka : c.x + h = (2.5+4+2.1+2+2.3+4+2.5+6+2.7+8+2.9+0+2.4+3+2.2+d)+4 = 2(5+1+3+5+7+9+4+2)+(4+2+4+6+8+0+3+d)+4 = 2(6) + 7 + d + 4 = 3 + d Jadi agar hasil akhir = 0 dalam Z10, maka d = 7

Soal Latihan : 1. Tentukan proyeksi vektor v ke vektor u berikut ini : a. b. 2. Tentukan persamaan garis g yang melalui titik A(-1,1) dan titik B(1,2)

3. Cari jarak dari titik B =(1,0,2) ke bidang P yang mempunyai persamaan x + y – z =1 4. a. Cari angka pengecek dari UPC berikut ini : [0,5,9,4,6,4,7,0,0,2,7,d] b. Cari angka pengecek dari ISBN berikut ini: [0,3,8,7,9,7,9,9,3,d]