Counting

Combinatorics dan Counting Kombinatorika Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek Bagian penting dari Matematika Diskrit Enumerasi Penghitungan obyek dengan sifat tertentu Bagian penting dari Kombinatorika

Beberapa Permasalahan dalam Counting “Password dalam suatu sistem komputer terdiri dari 6, 7, atau 8 karakter. Setiap karakter adalah digit bilangan desimal atau huruf dalam alfabet. Setiap pasword harus memuat paling sedikit satu digit bilangan desimal. Ada berapa banyak password yang berbeda?” “Berapa banyak cara yang mungkin dilakukan dalam memilih 11 pemain dalam suatu tim sepak bola yang memiliki 20 pemain?” Selain itu, counting adalah dasar dalam menghitung peluang dari kejadian-kejadian diskrit. (“Berapakah peluang untuk dapat memenangkan suatu lotere?”)

Dasar-dasar Counting Aturan perkalian Aturan penjumlahan Prinsip inklusi-eksklusi Diagram pohon

Aturan penjumlahan Jika suatu pekerjaan dapat dilaksanakan dengan n1 cara dan pekerjaan kedua dengan n2 cara; serta jika kedua tugas ini tidak dapat dilakukan dalam waktu yang bersamaan, maka terdapat n1 + n2 cara untuk melakukan salah satu pekerjaan tersebut. Contoh: Departemen Matematika akan menghadiahkan sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau seorang dosen. Ada berapa cara memberi hadiah, jika terdapat 532 mahasiswa dan 54 dosen? Terdapat 532 + 54 = 586 cara.

Generalisasi aturan penjumlahan Jika terdapat pekerjaan-pekerjaan T1, T2, …, Tm yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, dan tidak ada dua di antara pekerjaan-pekerjaan tersebut yang dapat dilakukan dalam waktu yang bersamaan, maka terdapat n1 + n2 + … + nm cara untuk melakukan salah satu dari tugas-tugas tersebut. Contoh: Seorang mahasiswa dapat memilih satu tugas proyek Matematika Diskrit dari tiga buah daftar, yang masing-masing berisikan 9, 21, dan 17 proyek. Ada berapa tugas proyek yang dapat dipilih?

Aturan perkalian dan generalisasinya Misalkan suatu prosedur dapat dibagi menjadi dua pekerjaan yang berurutan. Jika terdapat n1 cara untuk melakukan tugas pertama dan n2 cara untuk melakukan tugas kedua setelah tugas pertama selesai dilakukan, maka terdapat n1  n2 cara untuk melakukan prosedur tersebut. Generalisasi aturan perkalian Jika suatu prosedur terdiri dari barisan tugas-tugas T1, T2, …, Tm yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, secara berurutan, maka terdapat n1  n2  …  nm cara untuk melaksanakan prosedur tersebut.

Aturan perkalian dan generalisasinya (2) Contoh: Berapa banyak plat nomor kendaraan yang berbeda yang memuat tepat satu huruf, tiga digit bilangan desimal, dan dua huruf? Solusi: Terdapat 26 kemungkinan untuk memilih huruf pertama, 10 kemungkinan untuk menentukan digit pertama, 10 untuk digit kedua, dan 10 untuk digit ketiga, kemudian 26 kemungkinan untuk memilih huruf kedua dan 26 untuk huruf ketiga. Jadi, terdapat 26  10  10  10  26  26 = 17576000 plat nomor kendaraan yang berbeda.

Contoh soal Ada berapa fungsi dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota? Ada berapa fungsi satu-satu dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota? Gunakan aturan perkalian untuk menunjukkan bahwa banyaknya subhimpunan yang berbeda dari suatu himpunan hingga S adalah 2|S|.

Prinsip Dasar Counting Aturan penjumlahan dan perkalian juga dapat direpresentasikan dalam istilah himpunan. Aturan penjumlahan Misalkan A1, A2, …, Am himpunan yang saling lepas. Maka banyaknya cara untuk memilih anggota dari gabungan A1  A2  …  Am adalah jumlah dari banyaknya anggota setiap himpunan. |A1  A2  …  Am | = |A1| + |A2| + … + |Am|. Aturan perkalian Misalkan A1, A2, …, Am himpunan hingga. Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari hasil kali Cartesian A1  A2  …  Am dilakukan dengan memilih satu anggota dari A1, satu anggota dari A2, …, dan satu anggota dari Am. |A1  A2  …  Am | = |A1|  |A2|  …  |Am|.

Soal 1 Setiap pengguna suatu sistem komputer memiliki sebuah password, yang terdiri dari 6 sampai 8 karakter, dengan setiap karakter adalah huruf kapital atau digit bilangan desimal. Jika setiap password harus memuat minimal satu digit bilangan desiamal, ada berapa banyak password yang mungkin?

Soal 2 Menghitung Internet Address Dalam Internet Protocol versi 4 (IPv4), suatu address adalah string yang terdiri dari 32 bit. Dimulai dengan network number (netid), dan diikuti oleh host number (hostid). Terdapat 3 bentuk address: kelas A, B, dan C dan 2 tambahan (kelas D dan E) dengan aturan: Ada berapa IPv4 address yang berbeda untuk komputer di internet? Bit number 1 2 3 4 8 16 24 31 Kelas A netid hostid Kelas B Kelas C Kelas D Multicast address Kelas E Address

Prinsip Inklusi-Eksklusi Berapa banyak string biner dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00? Pekerjaan 1: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1. Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1), dua cara untuk memilih bit ketiga (0 or 1), . dua cara untuk memilih bit kedelapan (0 or 1). Aturan perkalian: Pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan 127 = 128 cara.

Prinsip Inklusi-Eksklusi Pekerjaan 2: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang berakhir dengan 00. Terdapat dua cara untuk memilih bit pertama (0 or 1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1), . dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1), satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dan satu cara untuk memilih bit kedelapan(0). Aturan perkalian: Pekerjaan 2 dapat dilakukan dalam 26.1.1 = 64 cara.

Prinsip Inklusi-Eksklusi Karena terdapat 128 cara untuk melakukan Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan Pekerjaan 2, apakah ini berarti bahwa terdapat 192 string biner dengan yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00? Tidak, karena di sini Pekerjaan 1 dan Pekerjaan 2 dapat dilakukan pada waktu yang bersamaan. Ketika kita melaksanakan Pekerjaan 1 dan membuat string yang dimulai dengan 1, beberapa dari string tersebut diakhiri dengan 00. Jadi, kita kadangkala melakukan Pekerjaan 1 dan 2 pada saat yang bersamaan, sehingga aturan penjumlahan tidak berlaku.

Prinsip Inklusi-Eksklusi Jika kita ingin menggunakan aturan penjumlahan, dalam kasus ini, kita harus mengurangkan kasus-kasus di mana Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang bersamaan. Ada berapa kasus, yaitu, ada berapa banyak string yang dimulai dengan 1 dan diakhiri dengan 00? Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua, …, bit keenam (0 atau 1), dan satu cara untuk bit ketujuh dan kedelapan (0). Aturan perkalian: Dalam 25 = 32 kasus, Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang sama.

Prinsip Inklusi-Eksklusi Karena terdapat 128 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 2, dan dalam 32 dari kasus-kasus tersebut Pekerjaan 1 dan 2 diselesaikan pada saat yang bersamaan, maka terdapat 128 + 64 – 32 = 160 cara untuk melakukan salah satu di antara kedua Tugas tersebut. Dalam teori bilangan, ini berkorespondensi dengan himpunan A1 dan A2 yang tidak saling lepas. Maka: |A1  A2| = |A1| + |A2| - |A1  A2| Ini disebut prinsip inklusi-eksklusi.

Diagram Pohon Ada berapa string biner dengan panjang empat yang tidak memiliki dua 1 secara berurutan? bit ke-1 bit ke-2 bit ke-3 bit ke-4 1 1 1 1 1 1 1 Jadi, terdapat 8 string.