SISTEM PERSAMAAN LINIER SMA/MA KELAS X Presented by : Hario Wijayanto (A 410 080 251) Rizal Adipta Iman (A 410 080 256) Dony Priyatno (A 410 080 267) Hardhina Aprillia (A 410 080 273)

SK :. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan SK : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel KD : Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel

TUJUAN PEMBELAJARAN Mengenal dan memahami SPLDV Menentukan penyelesaian SPLDV dengan Grafik, Substitusi dan Eliminasi Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah sehari-hari yang melibatkan SPLDV

Problematika 1 Anne ingin membeli 10 buku dan 2 pensil, dengan harga 1 buku senilai Rp. 3.000,00 dan 2 pensil Rp. 1.200,00. berapa uang yang harus di bayar oleh Anne untuk membeli 10 buku dan 2 pensil tersebut! Misal: buku = x Pensil = y Biaya : 10x + 2y 10.(3000) + 2.(1200) = 32.400 Jadi uang yang harus dibayar senilai Rp. 32.400,00

2 Rizal membeli 5 kambing dan 2 unta untuk korban di hari raya idul adha seharga Rp. 25.000.000,00. sedangkan Haryo membeli 4 kambing dan 2 unta yang keduanya dari jenis yang sama dengan yang di beli Rizal seharga Rp. 24.000.000,00. Jadi berapa harga yang harus di bayar untuk membeli 1 kambing dan 1 unta tersebut!

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINIER Variabel Konstanta Bentuk Umum Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV) Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) a₁ x + b₁ y = c₁ a₂ x + b₂ y = c₂ dengan a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ , c ₁ , c ₂ ∈ R ax + by + c = 0 Konstanta Koefisien

PENGERTIAN Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linear dua variable, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan hanya memiliki satu penyelesaian. Berikut ini adalah beberapa contoh SPLDV : 1. x + y = 3 dan 2x – 3y = 1 2. 5x + 2y = 5 dan x = 4y – 21 3. x = 3 dan x + 2y – 15 = 0 4. x = y + 6 dan 2x – 7y = -8 5. 5x + 4y + 7 = 0 dan -3x – 2y = 4

Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV Grafik Substitusí Eliminasi

Misal Untuk x = 1 dan y = 2 atau ditulis (1,2) , maka: Problematika Mari kita coba menentukan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 3 dan 2x – 3y =1 Jawab : Misal Untuk x = 1 dan y = 2 atau ditulis (1,2) , maka: x + y =3 1 + 2 = 3 3 = 3 2 x – 3 y = 1 2.(1) – 3.(2) = -4 -4 ≠ 1 (Memenuhi) Karena untuk x = 1 dan y = 2 atau (1,2) tidak memenuhi persamaan 2x – 3y = 1 , maka (1,2) bukan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan 2x - 3y = 1 (Tidak memenuhi)

Misal Untuk x = 2 dan y = 1 atau ditulis (2,1) , maka: Jawab : Misal Untuk x = 2 dan y = 1 atau ditulis (2,1) , maka: x + y =3 2 + 1 = 3 3 = 3 2 x – 3 y = 1 2.(2) – 3.(1) = 1 1 = 1 (Memenuhi) Karena untuk x = 2 dan y = 1 atau (2,1) memenuhi persamaan 2x – 3y = 1 , maka (2,1) merupakan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan 2x - 3y = 1 (Memenuhi)

METODE GRAFIK Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Menentukan titik pada bidang cartesius 2. Menggambar garis dari kedua titik pada bidang cartesius 3. Koordinat titik potong dari kedua garis merupakan himpunan penyelesaian Catatan : Jika kedua garis tidak berpotongan (sejajar) , maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian. CONTOH

Tentukan HP dari sistem persamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x – 3y – 6 = 0 Jawab : 2x + 3y = 12 Titik potong dengan sumbu x , y = 0 2x + 3.(0 )= 12 2x = 12 x = 6 Titik potong dengan sumbu y, x = 0 2.0 + 3y = 12 3y = 12 y = 4 diperoleh titik (6,0) diperoleh titik (0,4)

4x – 3y – 6 = 0 Titik potong dengan sumbu x , y =0 4x – 3y = 6 4x – 3.0 = 6 4x = 6 x = 6/4 x = 1½ Titik potong dengan sumbu y, x = 0 4.0 – 3y = 6 – 3y = 6 y = -2 ↔ 4x – 3y = 6 diperoleh titik (1½,0 ) diperoleh titik (0, -2 )

2X + 3y =12 4x – 3y -6 = 0 Jadi HP = {3,2} x 6 1 ½ y 4 -2 1 7 6 5 4 3 6 1 ½ y 4 -2 1 7 6 5 4 3 2 -2 -1 -6 -5 -4 -3 -7 Y 2X + 3y =12 4x – 3y -6 = 0 (3, 2) X Jadi HP = {3,2}

Tentukan himpunan penyelasaian dari sistem persamaan x + y – 2 = 0 dan y = 6 - x Jawab : Grafik dari x + y - 2 = 0 adalah garis yang melalui titik (2,0) dan (0,2) Grafik dari y = 6 – x adalah garis yang melelui titik (6,0) dan (0,6) x + y – 2 = 0 y = 6 - x x 2 6 y

x 2 6 y 1 7 6 5 4 3 2 -2 -1 -6 -5 -4 -3 -7 Y X

Metode Substitusí Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : I. Menyatakan variable dalam variable lain, misal menyatakan x dalam y atau sebaliknya. II. Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain III. Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu persamaan.

kita nyatakan x dalam y, diperoleh x = 4 – 2y Contoh 1: Tentukan HP dari sistem persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12 Jawab : x + 2y = 4, Substitusikan x = 4 – 2y ke persamaan 3x + 2y = 12 3 x + 2y = 12 3(4 – 2y) + 2y = 12 12 – 6y + 2y = 12 12-4y = 12 -4y = 0 y = 0 Substitusikan y = 0 ke persamaan: x = 4 – 2y x = 4 – 2y x = 4 – 2.0 x = 4 Jadi HP nya adalah {(4,0)} kita nyatakan x dalam y, diperoleh x = 4 – 2y

Contoh 2 : Tentukan HP dari sistem persamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x – 3y – 6 = 0 Jawab : 2x + 3y = 12 kita nyatakan y dalam x, diperoleh : 3y = 12 – 2x y = 4 – 3/2x Substitusikan y = 4 – 3/2x ke persamaan 4x – 3y – 6 = 0, 4x – 3 y – 6 = 0 4x – 3( 4 -3/2x ) – 6 = 0 4x – 12 + 2 x - 6 = 0 6x -18 = 0 6x = 18 x = 3 x = 3 substitusikan ke y = 4 – 3/2x y = 4 – 3/2.3 y = 4 – 2 y = 2 Jadi HP nya adalah {(3,2)}

Metode eleminasi Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : i. Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = c ii. Samakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan, melalui cara mengalikan dengan bilangan yang sesuai ( tanpa memperhatikan tanda ) iii. – Jika koefisien dari variabel bertanda sama (sama positif atau sama negatif), maka kurangkan kedua persamaan – Jika koefisien dari varibel yang dihilangkan tandanya berbeda (positif dan negatif ), maka jumlahkan kedua persamaan.

Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan Contoh 3: Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan x + y = 4 dan x – y = 2 Jawab : Mengeliminasi x x + y = 4 x – y = 2 2y = 2 y = 1 Mengeliminasi y 2x = 6 x = 3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)} ( koefisien x sudah sama, dan tandanya sama positif , maka kita kurangkan kedua persamaan ) Catatan : x – x = 0 — ( koefisien y sudah sama, dan tandanya berbeda, maka kita jumlahkan kedua persamaan ) Catatan : y + (-y) = 0 +

Contoh 4: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x = 3y + 17 dan 3x + y – 9 = 0 Jawab : Kita nyatakan persamaan dalam bentuk ax + by = c 2x – 3y = 17 3x + y = 9 Mengeliminasi x Karena koefisien x belum sama, maka kita harus buat sama 3x + y = 9 -11 y = 33 y = -3 Mengeliminasi y 11x = 44 x = 4 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(4, -3)} 6x – 9y = 51 x 3 x 2 6x + 2y = 18 — x 1 2x – 3y = 17 x 3 9x + 3y = 27 +

MODEL MATEMATIKA ---CONTOH---

Contoh 5: Made mengendarai sepeda motor dari Denpasar ke Gilimanuk dengan kecepatan rata- rata 60 km/jam. Untuk menempuh jarak kedua tempat itu jika dikehendaki lebih cepat satu jam, maka kecepatan rata- ratanya diubah menjadi 80 km/jam. Misal jarak kedua tempat itu x km, dan waktu yang diperlukan t jam Tentukan : a. Dua persamaan dalam x dan t b. Jarak kedua tempa Jawab : Dengan kecepatan rata- rata 60 km/ jam, maka : Jarak = kecepatan . waktu x = 60t Dengan kecepatan rata- rata 80 km/ jam, maka : x = 80 ( t – 1 ) x = 80t – 80 Ada dua persamaan, yaitu x = 60t dan x = 80t – 80

b. Dari sistem persamaan di atas kita selesaikan dengan substitusi 60t = 80t – 80 60t – 80t = -80 - 20t = -80 t = 4 Waktu yang diperlukan pada kecepatan 60 km/jam adalah 4 jam Jadi, jarak kedua tempat = 60 km/ jam . 4 jam = 240 km

APLIKASI PERMASALAHAN PADA SPLDV Masalah 1 ( masalah harga pensil dan buku ) Pada hari Minggu Yanita dan Reza pergi ke toko. Yanita membeli dua pensil dan dua buku dengan harga Rp 14.000,00. Sedangkan Reza membeli satu pensil dan tiga buku yang bermerek sama dengan yang dibeli Yanita , dengan harga Rp 17.000,00. Berapa harga sebuah pensil dan sebuah buku ? JAWAB

Masalah 2 ( Masalah berat jagung dan beras ) Sebuah toko menyimpan persediaan beras dan jagung yang dimasukkan dalam karung. Setiap karung beras beratnya sama dan setiap kantong jagung beratnya sama . berat dua karung beras bersama satu karung jagung adalah 172 kg. Berat 3 karung beras dan satu karung jagung 232 kg. Tentukan berat satu karung beras dan berat satu karung jagung

TERIMA KASIH SELAMAT BELAJAR