GRAPHICAL SOLUTION OF LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS

Graphing Linear Inequalities Grafik pertidaksamaan linier adalah suatu region / area yang dibatasi oleh suatu garis batas. Area ini merupakan Solution region dari sebuah pertidaksamaan linier,garis batas juga termasuk solution region. Solution region atau disebut sebagai feasible region atau feasible space.

x + 2y ≥ 4 Garis batas adalah. x + 2y = 4 Jika x=0, maka y=2 x + 2y ≥ 4 Garis batas adalah x + 2y = 4 Jika x=0, maka y=2  (0,2) Jika y=0, maka x=4  (4,0) Hubungkan kedua titik, dan titik-titik sepanjang garis tersebut merupakan batas solution region

Contoh titik-titik yang memenuhi solution region dan tidak

Graphing Systems of Linear Inequalities 1 2 Garis batas digambarkan : dari titik (0,2.5) [yang merupakan perpotongan dengan sumbu y] dan titik (1.67,0) [yang merupakan perpotongan dengan sumbu x]

Kemudian kedua pertidaksamaan berikutnya membatasi solution region di atas pada nilai-nilai x dan y positif. Sehingga menjadi : solution region is bounded.

Finding the Extreme Points / Corner Points of a Solution Region Region segitiga pada gambar adalah intersection dari 3 region. Region tersebut adalah solution region dari sistem pertidaksamaan linier. Dari grafik, tampak corner points pada atau dekat (0,0), (0,6) dan (2,2). Benarkah?

Corner 1 didapatkan dari 2 buah garis batas : - x + y = 0 x = 0 Jumlahkan persamaan pertama dan kedua sehingga diperoleh y = 0. Jadi koordinat nya adalah (0,0) Corner 2 didapatkan dari 2 buah garis batas : 2x + y = 6 x = 0  koordinat (0,6) Corner 3 didapatkan dari 2 buah garis batas : - x + y = 0  koordinat (2,2)

Contoh kasus : Seorang mahasiswa yang bekerja paruh waktu untuk membiayai kuliah. Seringkali pekerjaan memberikan kompensasi yang berbeda-beda per jam nya. Andaikan seorang mahasiswa mendapatkan USD 10.50 per jam untuk mengantar pizza dan USD 8.00 per jam untuk bekerja di lab komputer kampus. Jika dia hanya memiliki waktu 30 jam per minggu untuk bekerja dan harus mendapatkan uang sedikitnya USD 252 selama periode tsb, berapa jam dia harus bekerja untuk masing2 pekerjaan tersebut? Jawab : Misalkan c = jumlah jam kerja di lab komputer dan p = jumlah jam kerja mengantar pizza

c+p ≤ 30 p ≤ -c+30 8c+10.5 p ≥ 252 p ≥ -16/21 c +24 p ≥ 0 , c ≥ 0 Corner points : (0,24),(0,30),(25.2 , 4.8) (Corner point yang terakhir diperoleh dengan menghitung intersection dari 2 garis batas)

Berikut perolehan penghasilan pada corner points

PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut: Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Langkah-langkah: 1. Tentukan variabel X1=kain sutera X2=kain wol 2. Fungsi tujuan Zmax= 40X1 + 30X2 3. Fungsi kendala / batasan 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera) 2X2 ≤ 30 (benang wol) 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja) 4. Membuat grafik 1. 2X1 + 3X2=60 X1=0, X2 =60/3 = 20 X2=0, X1= 60/2 = 30 2. 2X2 ≤ 30 X2=15 3. 2X1 + X2 ≤ 40 X1=0, X2 = 40 X2=0, X1= 40/2 = 20

Cara mendapatkan solusi optimal dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim. Titik A X1=0, X2=0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0 Titik B X1=20, X2=0 Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800 Titik C Mencari titik potong (1) dan (3) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + X2 = 40 2X2 =20  X2=10 Masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3 . 10 = 60 2X1 + 30 = 60 2X1 = 30  X1 = 15 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 Titik D 2X2 = 30 X2 = 15 masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3 . 15 = 60 2X1 + 45 = 60 2X1 = 15  X1 = 7,5 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750 Titik E X1 = 0 Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450 Kesimpulan : untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900 juta. optimal

Latihan 1 Maksimalkan : z = 3x1 + x2 Kendala : 1. x2 ≤ 5 2. x1 + x2 ≤ 10 3. –x1 +x2 ≥ -2 x1, x2 ≥ 0

Latihan 2 Minimalkan : z = x1 + x2 Kendala : 1. 3x1 + x2 ≥ 6 2. x2 ≥ 3 The feasible region is unbounded

Latihan 3 Maksimalkan : z = x1 + 2x2 Kendala : 1. -x1 + x2 ≤ 2 Multiple Optimal Solutions {(x1,x2) | 4/3 ≤ x1 ≤ 6 dan 1 ≤ x2 ≤ 10/3 dan x1 + x2 = 8}

Latihan 4 Maksimalkan : z = 3x1 + x2 Kendala : 1. x1 + x2 ≥ 4 No optimal solution

Latihan 5 Kendala : 1. -x1 + x2 ≥ 4 2. -x1 + 2x2 ≤ -4 x1, x2 ≥ 0 No feasible solution

If the solution to a linear programming problem exists, it will occur at a corner point. If two adjacent corner points are optimal solutions, then all points on the line segment between them are also optimal solutions. Linear programming problems with bounded feasible regions will always have optimal solutions. Linear programming problems with unbounded feasible regions may or may not have optimal solutions.