0leh: Drs. Markaban, M.Si Widyaiswara PPPPTK Matematika RELASI DAN FUNGSI disampaikan pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK Jenjang Dasar DI PPPPTK Matematika YOGYAKARTA Presentasi Pembelajaran Matematika 0leh: Drs. Markaban, M.Si Widyaiswara PPPPTK Matematika

Makanan/MinumanHarga RELASI DAN FUNGSI Contoh Relasi Perhatikan Daftar Harga di sebuah Warung Di bawah ini adalah nomor telepon penting dicatat dari buku telepon Makanan/MinumanHarga Bakso Rp 2.500,00 Soto Rp 2.500,00 Kerupuk Rp 200,00 Teh Panas Rp 750,00 Es Teh Rp 1.000,00 Hubungan Interlokal 100 Hubungan Internasional 101 Informasi Waktu 103 Penerangan Lokal 108 Informasi Tagihan 109 Polisi 110 Dinas Kebakaran 113 Gangguan Telepon 117

relasinya adalah “harganya” Makanan/ Minuman Harga Bakso Rp 2.500,00 Soto Rp 2.500,00 Kerupuk Rp 200,00 Teh Panas Rp 750,00 Es Teh Rp 1.000,00 Jenis Makanan/ Minuman Harga  Bakso Rp 2.500,00  Soto  Rp 200,00 Kerupuk  Teh Panas Rp 750,00  Es Teh Rp 1.000,00 relasinya adalah “harganya”

Relasinya: “harga untuk” JIKA “ARAHNYA” DIBALIK Jenis Makanan/ Minuman Harga  Soto Kerupuk Teh Panas Es Teh Rp 200,00 Rp 750,00 Rp 1.000,00  Bakso Rp 2.500,00 Relasinya: “harga untuk”

relasinya adalah “harganya” SALING INVERS Jenis Makanan/ Minuman Soto Kerupuk Teh Panas Es Teh Harga Rp 200,00 Rp 750,00 Rp 1.000,00  Bakso Rp 2.500,00 relasinya adalah “harganya” SALING INVERS FUNGSI Jenis Makanan/ Minuman Harga  Soto Kerupuk Teh Panas Es Teh Rp 200,00 Rp 750,00 Rp 1.000,00  Bakso Rp 2.500,00 Relasinya: “harga untuk” BUKAN FUNGSI

Perhatikan anak panahnya Jenis Makanan/ Minuman Soto Kerupuk Teh Panas Es Teh Harga Rp 200,00 Rp 750,00 Rp 1.000,00  Bakso Rp 2.500,00 relasinya adalah “harganya” B A 2  1 Perhatikan anak panahnya 4  2 6  3  4 8 relasinya adalah “dua kali dari” x 2 1 4 2 6 3 8 4 f(x) f(x)  2  4 6 8 rumus pemetaannya f(x) = x

Perhatikan fungsi f berikut: Fungsi kita bayangkan sebagai suatu mesin yang digambarkan: f:x  5 x x Masukan Funggsi f f(x) Keluaran  5 2 x 10 5 x=f(x) 10 50

Perhatikan tumpukan gelas berikut CONTOH FUNGSI Perhatikan tumpukan gelas berikut 36_  30_ Tinggi tumpukan gelas  24_  18_  12_  12 cm 18 cm 24 cm 30 cm 36 cm  1  2  3  4  5 Banyak gelas

Contoh Fungsi Kuadrat

Pengertian Fungsi : Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan elemen pada B . . A B f

Beberapa cara penyajian fungsi : Dalam diagram panah f : D  K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya, un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n Dalam diagram Kartesius Dalam bentuk aturan-aturan atau kata-kata Dalam bentuk aljabar Dalam bentuk persamaan Penyajian parametrik Penyajian pasangan berurutan Dalam bentuk tabel

Contoh : grafik fungsi Grafik sebuah fungsi : f: x  f(x) = x2 Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}. 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2. – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2. Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu titik saja. Y (–2,4) (2,4) (–1,1) (1,1) X O (0,0)

Beberapa Fungsi Khusus 1). Fungsi Konstan 2). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b  x < b + 1, b bilangan bulat, xR} Misal, jika 2  x < 1 maka [[x] = 2 6). Fungsi Linear 7). Fungsi Kuadrat 8). Fungsi Turunan

Jenis Fungsi 1. Injektif ( Satu-satu) Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu dan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2). 2. Surjektif (Onto) Fungsi f: AB maka apabila f(A)  B dikenal fungsi into. Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto 3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Apabila f: A B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka “f adalah fungsi yang bijektif”

Fungsi Linear Pengalaman Belajar Sebidang tanah dengan harga perolehan Rp. 50.000.000,00 diperkirakan mengalami tingkat kenaikan konstan Rp. 200.000,00 per tahun dalam kurun waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan harga tanah pada akhir tahun ke-5 !

Fungsi Linear dan Garis Lurus Persamaan fungsi linear f: x  f(x)=mx + n, m  0 adalah y = mx + n Persamaan garis melalui (x1,y1) dengan gradien atau koefisien arah m adalah y – y1 = m(x – x1 ) . Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah : Persamaan garis dapat dinyatakan dalam bentuk implisit: Ax + By + C = 0

Fungsi Kuadrat Pak Budi mempunyai sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang dengan kelilingnya 20 meter. Tentukan : a). Luas tanah tersebut apabila panjangnya 6 meter. b). Ukuran persegi panjang agar luasnya 21 m2 c). Luas maksimum persegi panjang tersebut beserta ukurannya

Bentuk umum fungsi kuadrat f: xax2+bx+c dengan a,b, c  R dan a  0 Persamaannya dapat dijabarkan: y = ax2 + bx + c Maka Puncak Parabola P( , )

Contoh: Grafik sebuah fungsi kuadrat berpuncak di titik (1, –8) dan memotong sumbu X positif berabsis 3. Tentukan persamaan grafik fungsi tersebut?

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X (ii) X (iii) X X X X a < 0 D = 0 a < 0 D < 0 a < 0 D > 0 (iv) (v) (vi) Grafik Fungsi Kuadrat

FUNGSI EKSPONEN, DOMAIN BILANGAN BULAT Grafik f: x  f(x) = 2x untuk x bulat dalam [0, 5] adalah: X O Y f(x) =2X X – 3 – 2 – 1 1 2 3 ... n – 3  –2  – 1  0  1  2  3  ... n  2– 3 (5,32) 2– 3 2–2 2– 2 2– 1 2– 1 20 20 21 21 22 22 23 23 (4,16) ... ... 2n 2n (3,8) D = domain K = kodomain (2,4) Fungsi eksponen f: x  f(x) = 2x merupakan fungsi bijektif (1,2) (0,1)

FUNGSI EKSPONEN Perkembangan amuba merupakan fungsi eksponen, dan domainnya adalah himpunan bilangan cacah. Apakah domain fungsi eksponen hanya himpunan bilangan cacah, atau bulat, atau himpunan bilangan real? Perubahan panas, perubahan sifat logam karena pendinginan dari waktu ke waktu ternyata juga terkait dengan fungsi eksponen, sedangkan waktu berjalan secara kontinyu, bukan diskrit. Ini mengindikasikan bahwa domain fungsi eksponensial dapat berupa himpunan bilangan real PERHATIKAN YANG BERIKUT INI

Tabel nilai perpangkatan bilangan 2: f(x) = 2x , x rasional Bagaimana jika x bilangan irasional? x f(x) = 2x misal: x = 2 = 1,41421356237309504880168872... 3 23 = 8 22 = ? real atau bukan real? 2 42  5,657 21,41421356237309500 < 22 < 21,41421356237309510 2 4 2,6651441426902250... < 22 < 2,6651441426902252 ... 1 22  2,828 2,665144142690225 < 22 < 2,665144142690225 2  1,414 S A M A S A M A S A M A 1 – 0,520,707 Jadi 22 = 2,665144142690225 (15 tempat desimal) –1 0,5  22 bilangan real –1  0,353  dapat ditunjukkan bahwa 2 dan secara umum bilangan positif dipangkatkan bilangan real hasilnya bilangan real –2  0,25 BILANGAN REAL BILANGAN REAL BILANGAN REAL

Grafik f(x) = 2x dan g(x) = xR X Y O 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 6 7 8 g(x) = f(x)= 2x

Sifat Kedua grafik melalui titik (0, 1) X Y O 1 2 3 –1 –3 –2 –1 4 5 6 7 8 f(x)= 2x g(x) = Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y Grafik f: x  2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x  merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif) Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai 2x dan nilai untuk berbagai nilai x real Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui. Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

Y CONTOH 1. Berapa nilai O X (4,16) 1. Berapa nilai Dari x = 3,5 tariklah garis tegak, memotong kurva di sebuah titik, misalkan titik A.  14  14  14 C C C Dari titik A, tariklah garis mendatar, memotong sumbu Y di titik B  B  B  B A A A Ordinat titik B yaitu 11,3 menyatakan nilai 2. Berapakah x, jika 2x = 14? (3,8) Dengan kata lain 2log 14 = x, x = ...? Dari (0, 14) pada sumbu Y, tariklah sebuah garis mendatar ke kanan, memotong kurva, misalnya di titik C. (2,4) Dari titik C tariklah sebuah garis sejajar sumbu Y memotong sumbu X di titik D. (1,2) (0,1) Absis titik D tersebut yaitu 3,8 merupakan nilai pangkat dari 2 yang menghasilkan 14 atau 2log 14 = 3,8 (1, ½ )  (2,1/4)   D  D  D  D  D  D O X

Naik turunnya f(x) dan g(x) g(x) = 2–x 8 f(x)= 2x 7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 2 3 X Gambar 5

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = sin x 1 amplitudo 900 1800 2700 3600 -1 900 1800 2700 3600 -1 1 pereode

Grafik y = 2 sin x Pereode 3600 2 Amlpitudo 2 1 900 1800 2700 3600 -1 Y=sin x -2

Grafik y = sin 2x pereode 1 -1 900 1800 2700 3600 amplitudo 450 1350 2250 3150 Y=sin x

Grafik y = cos x 1 amplitudo -900 00 900 1800 2700 -1 1 pereode

Grafik y = 2cos x periode 2 -900 1 -1 00 900 1800 2700 amplitudo Y=cos x -2

Penerapan Fungsi Penerapan Fungsi dalam Ekonomi Fungsi Permintaan Fungsi penawaran Keseimbangan pasar Analisis Pulang Pokok Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari

Analisis Pulang Pokok  Pendapatan Keuntungan Titik pulang pokok Biaya tetap Kerugian Jumlah penjualan Biaya variabel Keuntungan Titik pulang pokok  Pendapatan Biaya total

Soal Seorang siswa akan membuat kotak tanpa tutup dengan sehelai karton yang berukuran 20 cm x 30 cm dengan cara menggunting keempat sudutnya. Tentukan panjang sisi yang digunting pada sudut karton tersebut agar luas alasnya sebesar 200 cm2 2. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh seorang pengrajin tas kulit sebesar Rp.2.250.000,00 sedang biaya variabelnya Rp. 5.000,00. Jika tas tersebut di pasar laku Rp. 12.500,00 per unit, tentukan banyaknya tas yang harus terjual agar pengrajin tas memperoleh keuntungan Rp. 1.500.000,00 3. Jika permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - x, sedangkan penawarannya P = 3 + ½ x dan pemerintah bermaksud mengenakan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual. Berapa besar pajak per unit yang harus ditetapkan agar penerimaan pajak atas barang tersebut maksimum ?