Analisa Sistem Waktu Diskrit Yusuf Bilfaqih Jurusan Teknik Elektro

Analisa Sistem Waktu Diskrit Obyektif Mengetahui dan memahami representasi sistem waktu diskrit. Menggunakan transformasi Z untuk analisa sistem waktu diskrit Merepresentasikan sistem waktu diskrit dalam bentuk fungsi alih domain-z Memahami hubungan lokasi pole-zero dengan respons sistem Memahami efek sampling Memahami peristiwa aliasing Menganalisa kestabilan sistem waktu diskrit Analisa Sistem Waktu Diskrit

Representasi Sistem

Analisa Sistem Waktu Diskrit Representasi Sistem Persamaan Beda Persamaan State-Space Diskrit x[n+1] = Ax[n] +Bu[n] y[n] = Cx[n] + Du[n] untuk sistem SISO, A adalah matrik N x N, B adalah vektor kolom N x 1, C adalah vektor baris 1 x N, dan D adalah skalar. Diagram Simulasi Analisa Sistem Waktu Diskrit

Persamaan Beda: Definisi Perhatikan sistem waktu diskrit berikut: Sinyal input, u, merupakan sekuen, Sedangkan sinyal output, y, merupakan sekuen, Apabila sistem kausal, hubungan input-output dapat dinyatakan sebagai, Fungsi f(.) merupakan model matematis sistem P u y Analisa Sistem Waktu Diskrit

Persamaan Beda: Definisi Kita mengasumsikan bahwa: Sistem adalah linier dan time-invariant Output pada saat k hanya bergantung pada sejumlah berhingga input dan output sebelumnya. Maka kita dapat menuliskan model ini dalam bentuk “Persamaan Beda,” Bila diberikan sekuen input, u, dan kondisi awal, kita dapat menyelesaikan persamaan beda ini untuk menghitung sekuen output, y. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Transformasi Z

Transformasi Z: Definisi Transformasi Z dari sebuah sekuen y, dinotasikan dengan: yang didefinisikan oleh, dimana z merupakan bilangan kompleks. Persamaan ini hanya konvergen untuk suatu daerah pada bidang kompleks, Daerah pada bidang kompleks ini disebut sebagai “Region of Convergence.” Analisa Sistem Waktu Diskrit

Transformasi Z: Contoh Sebagai contoh, perhatikan sekuen, Plot sinyal tersebut (untuk a = 0.25 dan T = 1) diperlihatkan di bawah ini. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Transformasi Z: Contoh Dari definisi Transformasi Z, ingat untuk Ingat bahwa Region Of Convergence merupakan hal kritis yang diperlukan untuk merekonstruksi sekuen, y[k], dari transformasi Z-nya, Y[z]. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Analisa Sistem Waktu Diskrit Transformasi Z: ROC Perhatikan kedua contoh berikut ini. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Analisa Sistem Waktu Diskrit Transformasi Z: ROC Im z Re z 1/2 Analisa Sistem Waktu Diskrit

Transformasi Z: Sifat-Sifat Linieritas Jika Maka Pergeseran Waktu Analisa Sistem Waktu Diskrit

Transformasi Z: Sifat-Sifat Teorema Nilai Awal Teorema Nilai Akhir dengan asumsi x[] ada Konvolusi y[n] = h[n] * x[n]  Y[z] = H[z] X[z] Analisa Sistem Waktu Diskrit

Fungsi Alih

Analisa Sistem Waktu Diskrit Fungsi Alih: Definisi Perhatikan sistem waktu diskrit, Fungsi alih adalah Persamaan beda untuk sistem ini, U[z] Y[z] P[z] Analisa Sistem Waktu Diskrit

Analisa Sistem Waktu Diskrit Fungsi Alih: Definisi Kalikan kedua sisi dengan dan jumlahkan untuk semua k, Analisa Sistem Waktu Diskrit

Analisa Sistem Waktu Diskrit Fungsi Alih: Definisi Analisa Sistem Waktu Diskrit

Fungsi Alih: Pole-Zero P[z] merupakan perbandingan polinomial dalam . Jika , kita dapat mengalikan dengan untuk memperoleh, Akar dari polinomial pembilang, b[z] = 0, disebut sbg “Zero”. Akar dari polinomial penyebut, a[z] = 0, disebut sbg “Pole”. Polinomial penyebut disebut juga Persamaan Karakteristik. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Perhatikan sistem orde pertama, Misalkan diberi input unit pulsa, u[k], Output sistem dalam domain-z, Y[z], diberikan oleh, Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Langkah pertama adalah menghitung U[z]. Dari definisi transformasi Z dapat dengan mudah kita peroleh, Karena itu, Selanjutnya, untuk menghitung y[k], kita harus mendefinisikan transformasi Z invers dari Y[z]. Dengan kata lain, Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Terlihat bahwa b1 berlaku sebagai penyekala amplitudo. Sedangkan respons berbeda secara dramatis bergantung pada nilai a1. Bagaimana karakteristik respons untuk nilai a1 yang berbeda diillustrasikan pada gambar-gambar berikut. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Untuk Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde I Dapat kita perhatikan bahwa, Untuk , respons turun nilainya menuju nol. Untuk , respons membesar nilainya menuju tak berhingga. Jika a1 bernilai negatif respons berbolak-balik tanda. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde II Perhatikan sistem orde kedua berikut, dimana N[z-1] merupakan polinomial dgn suku z-1. Ekspansi pecahan parsial persamaan tersebut adalah dalam bentuk, Sedangkan Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde II Selanjutnya kita hitung respons pulsa sistem, Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Respons Sistem Orde II Dapat kita lihat bahwa respons sistem naik atau turun bergantung pada r, jarak pole terhadap titik asal. Apabila r < 1 maka respons turun menuju nol, sedangkan bila r > 1 maka respons akan naik. Kita juga dapat melihat bahwa komponen sin dan cos pada respons y[k] menunjukkan bahwa respon berosilasi, dan , sudut pole, menentukan frekuensi dari respons. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Lokasi pada Bidang-z Perhatikan pola pole-zero pada bidang-z yang diillustrasikan grafik berikut. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Pole-Zero: Lokasi pada Bidang-z Daerah pada bidang-z dimana suatu sinyal naik (unbounded) atau menurun (bounded) diillustrasikan pada gambar berikut. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling

Sampling: Sinyal Eksponensial Pada bagian ini kita akan melihat relasi antara pole sinyal pada bidang-s dan sinyal tersampel pada bidang-z. Perhatikan sinyal, Transformasi Laplace dari y(t) adalah, Pole terletak di . Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling: Sinyal Eksponensial Sekarang kita sampling sinyal ini dengan periode T, Transformasi Z dari y[k], Pole terletak di . Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling: Sinusoidal Teredam Sekarang perhatikan sinyal sinusoidal teredam, Dalam domain-s kita dapatkan, yang mempunyai pole-pole di . Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling: Sinusoidal Teredam Sampling y(t) dengan periode T diperoleh, dan transformasi Z-nya, Berikut akan kita lihat dimana letak pole dari Y[z]. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling: Sinusoidal Teredam Pole-pole ini diberikan oleh akar-akar polinomial, Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling: Sinusoidal Teredam Lokasi pole-zero dalam domain-z untuk sinyal tersebut diperlihatkan di bawah ini Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling: Relasi Pole Bid-s & Bid-z Kita amati, Seperti terlihat dari contoh-contoh tersebut di atas, lokasi pole dalam domain-z dari sinyal tersampel direlasikan dengan lokasi pole dalam domain-s oleh persamaan berikut, Analisa Sistem Waktu Diskrit

Sampling: Pemetaan Pole Pemetaan Lokasi pole akibat sampling Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing

Analisa Sistem Waktu Diskrit Aliasing Kita telah mengetahui bahwa sinyal dengan frekuensi 0 sampai /T radians/detik dipetakan dalam bidang lingkar satuan (unit- disc) oleh operasi sampling. Bagaimana dengan sinyal frekuensi tinggi ? Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing: Sinyal Sinusoidal Perhatikan sinyal sinusoidal, Dalam domain-s adalah, Sinyal ini mempunyai pole-pole di . Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing: Sinyal Sinusoidal Sekarang kita sampling y(t) pada periode T. Dan Pole-pole dari Y[z] terletak di . Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing: Sinyal Sinusoidal Sekarang perhatikan kasus dimana . Ini terjadi ketika kita memilih T, Ekivalennya, dalam bentuk frekuensi sampling, perlu kita perhatikan kasus Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing: Sinyal Sinusoidal Dalam kasus ini , sehingga pole-pole terletak pada sudut lebih dari 180 derajat sekitar lingkaran satuan. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing: Frekuensi Alias Kita mempunyai , berarti bahwa, dan Hal yang penting untuk dicatat bahwa terletak dalam range 0 sampai 180 derajat. Dengan kata lain pola dari pole identik dengan sinusoidal frekuensi rendah (frekuensi alias), , dimana, atau Ingat, bahwa adalah frekuensi sampling (dalam radians/detik). Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing: Frekuensi Nyquist Sebagai contoh, misalkan kita mempunyai sinyal sinusoidal 60 Hz. Jika frekuensi sampling 100 Hz, kemudian, dalam domain-z, sinyal ini sulit dibedakan dari sinyal dengan frekuensi alias, Apabila frekuensi sampling 119 Hz, maka frekuensi aliasnya, Apa yang perlu diperhatikan disini adalah bahwa bidang lingkar satuan hanya dapat merepresentasikan sinyal dengan frekuensi maksimal sampai setengah dari frekuensi sampling. Frekuensi ini ( p/T radians/detik), disebut sebagai frekuensi “Nyquist.” Analisa Sistem Waktu Diskrit

Aliasing: Filter Anti-Aliasing Untuk menghindari aliasing, kita harus menyaring sinyal menggunakan LPF sebelum men-sampling, hal ini untuk memastikan bahwa sinyal tersebut tidak mengandung komponen frekuensi lebih besar dari frekuensi Nyquist. Filter yang digunakan untuk tujuan tersebut dikenal sebagai “anti-aliasing filter.” Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas

Stabilitas BIBO: Definisi Suatu sistem linier waktu diskrit disebut stabil BIBO jika input terbatas (bounded) menghasilkan output terbatas (bounded) pula, yaitu jika:  u[k]   M   maka ,  y[k]   L   Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Kondisi Untuk sistem dengan respons impuls p[k], input u[k] dan output y[k], maka berlaku: atau Magnitudo dari output, Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Kondisi Untuk input bounded ( u[k]   M) kita dapatkan, Terlihat bahwa sistem waktu diskrit tersebut akan stabil jika respon impulsnya "absolutely summable", yaitu : atau Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Lokasi Pole-Zero Kondisi ekivalen dari syarat di atas adalah nilai karakteristik dari sistem memiliki magnitudo kurang dari satu. Ini dapat dilihat dari solusi persamaan beda untuk sistem kausal terdiri dari bentuk ukn , k = 0,1, 2, …., M, dimana  merupakan nilai akar karakteristik dari sistem. Jelas bahwa, jika    1, maka responnya menjadi tidak terbatas (unbounded) untuk semua input yang terbatas. Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Jury Test Untuk setiap polinomial, Akar-akar polinomial berada dalam unit circle jika & hanya jika, (1) F(1) > 0 (2) (- 1)n F(- 1) > 0 (3) | a0 | < an (4) | b0 | > | bn - 1 | (5) | c0 | > | cn - 2 | (4.18) . (n+1) | r0 | > | r2 | Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Jury Test Row 1 2 z0 a0 an z1 a1 an - 1 z2 a2 an - 2   zn - k an - k ak zn - 1 zn 3 4 b0 bn - 1 b1 bn - 2 b2 bn - 3 bn - k bk 5 6 c0 cn - 2 c1 cn - 3 c2 cn - 4 . 2 n - 5 2 n - 4 s0 s3 s1 s2 2 n - 3 r0 r1 r2 Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Jury Test Entry tabel tersebut dihitung menggunakan rumus berikut, . Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Jury Test Sebagai contoh, periksa kestabilan sistem dengan persamaan karakteristik berikut, Row 1 2 z0 0.35 z1 0.0775 2.6 z2 - 2.05 - 0.56 z3 z4 z5 3 4 - 0.8775 0.8325 - 2.5729 1.854 - 0.1575   5 6 0.0770 0.5151 0.7143 0.2693 7 - 0.2593 - 0.0837 - 0.3472 Analisa Sistem Waktu Diskrit

Stabilitas BIBO: Jury Test Sebagai contoh, periksa kestabilan sistem dengan persamaan karakteristik berikut, (1) F(1) = 1 + 2.6 - 0.56 - 2.05 + 0.0775 +0.35 =1.4175 > 0 (2) (- 1)5 F(- 1) = (- 1)(- 1+2.6+0.56- 2.05- 0.0775+0.35) = - 0.3825 < 0 (3) | 0.35 | < 1 (4) | - 0.8775 | > | 0.8325 | (5) | 0.0770 | < | 0.5151 | (6) | - 0.2593 | < | - 0.3472 | Syarat (2), (5) dan (6) tidak dipenuhi, maka polinomial mempunyai akar di luar unit circle. Hal ini, sebagaimana dapat dilihat dari faktorisasi polinomial tersebut terdapat akar - 2.5, yang terletak di luar unit circle Analisa Sistem Waktu Diskrit