PENDUGAAN DAN SELANG KEPERCAYAAN Mennofatria Boer

Statistika Inferensia Statistika Inferensia adalah cabang ilmu statistika yang menggunakan contoh statistik untuk mengkaji atau memberikan kesimpulan (inferensia) terhadap parameter populasi Aplikasi Inferensia Statistika: Pendugaan Parameter Pengujian Hipothesis

Pendugaan Titik BATASAN: Suatu pendugaan titik adalah suatu nilai dugaan tunggal terhadap parameter populasi. Pendugaan titik terbaik untuk rata-rata populasi  adalah rata-rata contoh .

Teladan Pendugaan Titik Sebuah contoh acak harga tiket pesawat (US$) untuk sekali berangkat dari Jakarta ke Bali adalah sebagai berikut: 99 102 105 105 104 95 100 114 108 103 94 105 101 109 103 98 96 98 104 87 101 106 103 90 107 98 101 107 105 94 111 104 87 117 101 Tentukan pendugaan titik rata-rata populasi . Rata-rata contoh: Pendugaan titik tiket pesawat sekali berangkat dari Jakarta ke Bali adalah $101.77.

Pendugaan Selang • • Pendugaan Titik: 101.77 Suatu Pendugaan Selang adalah suatu selang atau kisaran nilai yang digunakan untuk menduga parameter populasi ( ) • 101.77 Tingkat/Taraf Kepercayaan, c adalah peluang diperolehnya pendugaan selang yang mengandung parameter populasi

Sebaran Rata-rata Contoh Jika ukuran contoh sedikitnya 30, sebaran penarikan contoh untuk mengikuti sebaran normal. Sebaran Penarikan Contoh untuk c = 0.95 z 0.95 0.025 -1.96 1.96 c = 90%, z.90= 1.645 c = 99%, z.99 =1.575 95% dari seluruh rata-rata contoh akan memiliki nilai baku antara z = -1.96 dan z = 1. 96

Galat (Error) Maksimum Pendugaan BATASAN: Untuk tingkat kepercayaan, c, galat maksimum pendugaan E adalah jarak terjauh yang mungkin antara pendugaan titik dan nilai parameter yang diduga Untuk n  30, simpangan baku contoh, s dapat digunakan untuk . Tentukan E, galat maksimum pendugaan harga tiket pesawat sekali berangkat dari Jakarta ke Bali untuk tingkat kepercayaan 95% dengan s = 6.69 Dengan zc=1.96, s = 6.69 dan n = 35, Hitung galat pendugaan untuk c = .90 dan c= .95. Bandingkan lebar selang yang diperoleh pada berbagai taraf atau tingkat kepercayaan tersebut. Kita percaya 95% bahwa galat maksimum pendugaan adalah $2.22

Zc Zc = Nilai Z yang menyebabkan peluang di sebelah kanannya sama dengan Atau, karena sifat simetri, nilai negatif Z yang menyebabkan peluang di sebelah kiri sama dengan Zc -Zc Peluang c  = 1 - c

Populasi, contoh, rata-rata  = rata-rata populasi (diduga oleh ) = rata-rata contoh = rata-rata dari sebaran rata-rata 2 = ragam populasi  = simpangan baku populasi s2 = ragam contoh s = simpangan baku contoh = galat baku rata-rata = (diduga oleh s2 dan s)

Selang Kepercayaan untuk µ Batasan: Selang kepercayaan c untuk rata-rata populasi adalah: Tentukan selang kepercayaan 95% harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali. Rata-rata contoh = 101.77 dan E = 2.22 Batas Kiri Batas Kanan • 101.77 ( ) 99.55 103.99 Dengan kepercayaan 95%, kita dapat mengatakan bahwa rata-rata harga tiket sekali jualan dari Jakarta ke Bali adalah antara $99.55 dan $103.99

Ukuran Contoh Untuk tingkat kepercayaan c dan galat pendugaan maksimum, E, ukuran contoh minimum n yang diperlukan untuk menduga , rata-rata populasi adalah: Kita ingin menduga rata-rata harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali. Berapa banyak tiket yang harus dilibatkan dalam contoh jika kita ingin yakin 95% bahwa rata-rata contoh hanya berjarak $2 dari rata-rata populasi? Ulangi masalah yang sama dengan beberapa nilai E yang berbeda kemudian bandiungkan. Apa pengaruh meningkatkan E terhadap ukuran contoh n? Ini berarti sedikitnya diperlukan 43 tiket dalam contoh. Oleh karena sudah ada 35 diperlukan 8 tiket lagi.

Sebaran t Jika sebaran sebuah peubah acak x adalah normal dan n < 30, maka sebaran penarikan contoh dari adalah sebaran t dengan derajat bebas n-1. Sebaran penarikan contoh dari t n=13 db=12 c=90% .90 Diskusikan derajat bebas. Tentukan nilai kritis untuk berbagai ukuran contoh. Tunjukkan sebaran t yang lain dan untuk n lebih dari 30 sebaran t akan sangat mirip dengan sebaran normal. .05 -1.782 1.782 Nilai kritis t adalah 1.782. Dengan demikian, 90% rata-rata contoh dengan n = 13 akan terletak antara t = -1.782 dan t = 1.782

t vs normal Jika ragam populasi (2) diketahui maka rata-rata akan mengikuti sebaran normal Jika ragam contoh (s2) digunakan untuk menduga 2, maka rata-rata contoh akan mengikuti sebaran t dengan derajat bebas n-1 (tn-1) Untuk derajat bebas yang besar (> 30) t akan sangat dekat dengan sebaran normal derajat bebas = db = 

Selang Kepercayaan-contoh kecil Galat Pendugaan Maksimum: Dari suatu contoh acak berukuran 13 orang dewasa, rata-rata sampah yang dibuang per orang per hari adalah 4.3 kg dengan simpangan baku 0.3 kg. Andaikan peubah tersebut menyebar normal, sajikan selang kepercayaan 90% untuk . 1. Pendugaan titik adalah kg 2. Galat pendugaan maksimum adalah Batas kiri Batas kanan ( ) • 4.15 4.3 4.45 4.15 <  < 4.45 Pada kepercayaan 90%, kita dapat menyatakan bahwa rata-rata buangan per orang per hari adalah antara 4.15 dan 4.45 kg.

Selang Kepercayaan untuk Proporsi Populasi Pendugaan titik untuk p, proporsi populasi suatu kejadian tertentu adalah proporsi kejadian yang sama pada contoh: adalah pendugaan titik kejadian tandingannya, sedemikian sehingga Jika np  5 dan nq  5 , sebaran penarikan contoh untuk adalah normal. Galat pendugaan maksimum E untuk selang kepercayaan c adalah Selang kepercayaan c untuk proporsi populasi, p adalah:

Selang Kepercayaan untuk p Dalam suatu kajian terhadap 1907 kali serangan ikan hiu ternyata 449 diantaranya terjadi saat melakukan kegiatan surfing. Sajikan selang kepercayaan 99% bagi proporsi serangan saat kegiatan surfing. 1. Pendugaan titik untuk p adalah 2. 1907(.235) 5 dan 1907(.765) 5, sehingga sebaran penarikan contoh dapat didekati dengan sebaran normal. 3. Teknik yang digunakan sama seperti halnya pada selang kepercayaan untuk rata-rata populasi. ( ) • .235 .21 .26 0.21 < p < 0.26 Pada tingkat kepercayaan 99% kita dapat menyatakan bahwa proporsi serangan ikan hiu saat surfing adalah antara 21% dan 26%.

Ukuran Contoh Minimum Jika dugaan awal untuk p dan q diketahui maka ukuran contoh minimum yang harus diambil untuk menduga p untuk mendapatkan tingkat kepercayaan c dengan galat pendugaan maksimum E adalah: Nilai maksimum pq terjadi untuk p = 0.5 dan q = 0.5. Tunjukkan bahwa maksimum terjadi pada 0.5 melalui bantuan kalkulus bahwa f(p) = p(1-p) = p - p2 akan maksimum jika 1 - 2p = 0. Jika dugaan awal tidak tersedia, gunakan 0.5 masing-masing untuk

Teladan: Ukuran Contoh minimum Jika kita ingin menduga proporsi serangan ikan hiu yang berkaitan dengan kegiatan surfing pada tingkat kepercayaan 99% dan galat pendugaan maksimum yang diperbolehkan hanya 2% dari proporsi populasi, maka ukuran contoh minimum yang harus diambil adalah: Tanpa pengetahuan dugaan awal untuk p, digunakan 0.5 = Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 4415 kasus serangan. Jika diketahui ada dugaan awal untuk p = 0.235 Diskusikan kelebihan penggunaan dugaan awal ketimbang pq maksimum. = Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 2981 kasus serangan.

Sebaran Khi Kuadrat Pendugaan titik bagi 2 adalah s2 dan pendugaan titik bagi  adalah s. Jika ukuran contoh adalah n, gunakan sebaran khi kuadrat 2 dengan derajat bebas n-1 untuk membentuk selang kepercayaan c. .95 6.908 28.845 Tentukan R2 nilai kritis kanan dan L2 nilai kritis kiri untuk c = 95% dan n = 17. Unlike the z and t distribution, chi-square is always positive and is not a symmetric curve. (It is skewed right.) Untuk ukuran contoh n = 17 maka derajat bebas adalah 16. Daerah di kanan R2 adalah (1- 0.95)/2 = 0.025 dan area di sebelah kanan L2 adalah (1+ 0.95)/2 = 0.975 L2 =6.908 R2 =28.845

Selang Kepercayaan untuk σ2 dan σ Selang kepercayaan c untuk ragam populasi adalah: Untuk menduga simpangan baku tentukan akar pada setiap batas. Sebuah contoh acak memuat informasi harga 17 komputer ($). Simpangan baku contoh adalah $150. Sajikan selang kepercayaan 95% untuk Hitung akar dari setiap batas: Kita dapat menyatakan bahwa pada tingkat kepercayaan 95%, akan terletak antara 12480.50 dan 52113.49, sedangkan akan terletak antara $117.72 and $228.28.