Bilangan Kompleks

Definisi bagian nyata (real part) dari z Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan bagian nyata (real part) dari z bagian khayal (imaginary part) dari z kita tuliskan Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.

Bilangan Nyata Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata yang hanya dapat di angankan seperti . Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya. Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata, | | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5

tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif Tinjaulahsuatu fungsi tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu bilangan imajiner (khayal)

dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya Kita dapat memandang j sebagai sebuah operator; artinya jika j beroperasi pada bilangan nyata 5 misalnya, kita mendapatkan bilangan imajiner j5 dan jika beroperasi pada bilangan nyata b kita mendapatkan bilangan imajiner jb Sumbu tegak tegak lurus pada sumbu-nyata untuk memosisikan bilangan imajiner; sumbu ini disebut sumbu imajiner bidang sekarang dibatasi oleh sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im); dan disebut bidang kompleks setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x,,y) dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya

Pernyataan Bilangan Kompleks satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan bilangan kompleks bagian nyata bagian imajiner Re Im disebut modulus jb  a  disebut argumen

CONTOH Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai Sudut dengan sumbu nyata adalah Pernyataan z1 dapat kita tuliskan

CONTOH Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai Pernyataan ini dapat kita tuliskan

Kesamaan Bilangan Kompleks merupakan nilai mutlak Modulus Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai  yang sama akan tetapi dengan sudut  yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai  sama akan tetapi memiliki  yang berbeda. Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik  maupun  yang sama besar. Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..

Negatif dari Bilangan Kompleks Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya Jika maka Re Im a jb

CONTOH Jika maka Sudut dengan sumbu nyata z1 dapat dinyatakan sebagai

Konjugat Bilangan Kompleks Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z* yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z. Re Im 

CONTOH: Jika maka Sudut dengan sumbu nyata z dapat dinyatakan sebagai Re Im Sudut dengan sumbu nyata z dapat dinyatakan sebagai

CONTOH: Re Im Jika maka Re Im Jika maka

Operasi-Operasi Aljabar

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner. Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

CONTOH: Diketahui

Perkalian Bilangan Kompleks Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen Jika Perhatikan:

CONTOH: CONTOH:

Pembagian Bilangan Kompleks Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1 CONTOH:

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

Fungsi Eksponensial Kompleks Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata Jika z adalah bilangan kompleks fungsi eksponensial kompleks didefinisikan Melalui identitas Euler fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan

Bentuk Polar Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah Im CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5 Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya z = 0,5 rad Re Im Bentuk sudut sikunya adalah:

CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4 Modulus Argumen Representasi polar z = 5e j0,93 Re Im

CONTOH: Misalkan Modulus Argumen tidak bernilai tunggal Di sini kita harus memilih  =  rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata 2 Re Im

CONTOH: Misalkan Modulus Argumen komponen imajiner 0 komponen nyata 2 . Misalkan Modulus Argumen komponen imajiner 0 komponen nyata 2 Representasi polar adalah Re Im

Manfaat Bentuk Polar

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian. CONTOH: Misalkan z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4

argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya Konjugat Kompleks argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya Re Im Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut

CONTOH: Misalkan

Course Ware Bilangan Kompleks Sudaryatno Sudirham