Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Fasor Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Fasor (Rangkaian Arus Bolak-Balik Sinusoidal Keadaan Mantap)

Isi Kuliah: Fasor Pernyataan Sinyal Sinus Impedansi Kaidah Rangkaian Teorema Rangkaian Metoda Analisis Sistem Satu Fasa Analisis Daya Penyediaan Daya Sistem Tiga-fasa Seimbang

Fasor Mengapa Fasor?

Di kawasan waktu bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai Sudut fasa Frekuensi sudut Amplitudo Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus-tegangan elemen-elemen adalah

Bentuk gelombang sinus sangat luas digunakan Energi listrik, dengan daya ribuan kilo watt, disalurkan menggunakan bentuk gelombang sinus. Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk gelombang sinus. Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika operasi-operasi diferensial dapat dihindarkan.

Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu sendiri, yaitu Fungsi Eksponensial Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial dan integral akan terhindarkan

Identitas Euler Hal itu dimungkinkan karena ada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu Identitas Euler Bagian nyata pernyataan kompleks ini yang digunakan untuk menyatakan sinyal sinus Ini adalah fungsi eksponensial kompleks Berikut ini kita akan melihat ulang bilangan kompleks

Pengertian Tentang Bilangan Kompleks Tinjau Persamaan: Akar persamaan adalah: Bilangan tidak nyata (imajiner) x Tak ada nilai untuk negatif

Bilangan kompleks didefinisikan sebagai dengan a dan b adalah bilangan nyata bagian nyata dari s Re(s) = a bagian imajiner dari s Im(s) = b Im (sumbu imajiner) a s = a + jb jb Re (sumbu nyata)

Representasi Grafis Bilangan Kompleks Im S = a + jb jb (sumbu nyata) (sumbu imajiner) Re Im S = a + jb  | S | jb a S = |S|cosθ + j|S|sinθ θ = tan1(b/a) Bilangan kompleks bagian nyata dari S |S|cosθ = Re (S) |S| sinθ = Im (S) bagian imaginer dari S

Contoh -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Re Im 4 3 2 1 -1 -2 -3 3 + j4 = 5cos + j5sin  5

Operasi-Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Penjumlahan Pengurangan + - Perkalian Pembagian

Contoh diketahui: maka:

Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai dengan e adalah fungsi eksponensial riil dan Ini identitas Euler Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai: dapat dituliskan sebagai: Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:

Contoh |S| = 10 sudut fasa: θ = 0,5 rad S = 10 e j0,5 S = 3 + j4 Bentuk Polar Bentuk Sudut Siku S = 3 + j4 Bentuk Sudut Siku S = 5e j 0,93 Bentuk Polar S = 3  j4 Bentuk Sudut Siku S = 5e  j 0,93 Bentuk Polar

Kompleks Konjugat Re Im Re Im S = a + jb S* = p + jq S* = a  jb Bilangan kompleks S mempunyai konjugat S* Konjugat dari S = a + jb adalah S* = a - jb Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)} = V Fasor Sinyal Sinus di kawasan waktu : Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleks A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)} = V v = Re(V) = Re ( A e j t e j θ ) sehingga dapat ditulis dalam bentuk: Re dan e j tidak ditulis lagi Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai  bernilai sama maka ejt bernilai tetap sehingga tak perlu selalu dituliskan dan sinyal sinus V = A e j θ dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks : Inilah yang disebut Fasor hanya amplitudo A dan sudut fasa θ yang diperhatikan karena  diketahui sama untuk seluruh sistem

Penulisan dan Penggambaran Fasor Karena hanya amplitudo dan sudut fasa saja yang diperhatikan maka V |A|  Im Re a jb

Penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor Contoh menjadi: Pada frekuensi  = 500 menjadi: Pada frekuensi  = 1000

Fasor Negatif dan Fasor Konjugat  Im Re A A*  a jb  a jb maka negatif dari A adalah dan konjugat dari A adalah

Operasi-Operasi Fasor Jika diketahui : maka : Perkalian Pembagian Penjumlahan dan Pengurangan

Contoh Diketahui: maka : Re I3 -4 -3 Im 216,9o 5

Impedansi

Impedansi di Kawasan Fasor Impedansi suatu elemen rangkaian di kawasan fasor adalah perbandingan antara fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebut fasor tegangan fasor arus impedansi Catatan: Ada pengertian impedansi di kawasan s yang akan kita pelajari kemudian

Resistor iR + vR  Kawasan waktu Kawasan fasor resistansi resistor di kawasan waktu bernilai sama dengan impedansinya di kawasan fasor Impedansi

Induktor + iL vL  Kawasan waktu Kawasan fasor hubungan diferensial hubungan linier Impedansi

Kapasitor + vC  ` iC Kawasan waktu Kawasan fasor hubungan diferensial hubungan linier Impedansi

Impedansi dan Admitansi Impedansi: Z Admitansi: Y = 1 / Z Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier. Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial.

Impedansi Secara Umum Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep yang berbeda. Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus Impedansi adalah pernyataan elemen.

Kaidah Rangkaian

Hubungan Seri R + VR  I + VL  jL + VC  R j/C + VR  I

Kaidah Pembagi Tegangan j/C jL + VL  + VC  I

Kaidah Pembagi Arus Itotal I3 R jL j/C I1 I2

Diagram Fasor

Arus dan Tegangan pada Induktor Misalkan L = 0,5 H , iL(t) = 0,4cos(1000t) A Di kawasan waktu: 100 iL(t) vL(t) VA detik Re Im VL Arus 90o di belakang tegangan IL Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

Arus dan Tegangan pada Kapasitor Misalkan C = 50 pF , iC(t) = 0,5cos(106 t) mA Re Im Di kawasan waktu: 10 iC(t) V mA vC(t) IC arus 90o mendahului tegangan VC detik Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

Beban Kapasitif Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t +10o) V i(t) = 5cos(314t + 40o) A arus mendahului tegangan Re Im V I

Beban Induktif Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t + 20o) V i(t) = 5cos(314t  40o) A I V Re Im arus tertinggal dari tegangan

Beban RLC Seri, kapasitif 100 +  20F 50mH vs(t) = 250 cos500t V Transformasi rangkaian ke kawasan fasor 100 j100 j25 Vs= 2500oV +  I V Re Im Beban RLC seri ini bersifat kapasitif |ZC| > |ZL| arus mendahului tegangan Jika kita kembali ke kawasan waktu i(t) = 2 cos(500t + 36,87o) A

Fasor Tegangan Tiap Elemen 100 j100 j25 Vs= 2500oV +  VL = jXL I VR = RI Vs Re Im VC = jXC I I Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff

Beban RLC seri, induktif 100 j25 j100 Vs= 2500oV +  I V Re Im Pada beban kapasitif |ZL| > |ZC| arus tertinggal dari tegangan

Beban RLC Paralel 100 j25 j100 Vs= 2500oV +  I I V Re Im

Teorema Rangkaian

Prinsip Proporsionalitas Y = fasor keluaran, X = fasor masukan, K = konstanta proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks

Prinsip Superpossi Prinsip Superposisi selalu berlaku di kawasan waktu dan berlaku di kawasan fasor bila frekuensi sama

Contoh 20cos4t V 8 3cos4t A io 3H 200o _ 8  j6 Io1 j12 8 30o + _ 8 3cos4t A io 3H 200o + _ 8  j6 Io1 j12 8 30o  j6 Io2 j12

Teorema Thévenin A ZT VT +  B RT A B vT +  Kawasan waktu Kawasan fasor

Contoh Rangkaian Ekivalen Thévenin +  j100 10 100 0,190o A 2045o V ` A B +  VT ZT A B

Metoda Analisis

Metoda Keluaran Satu Satuan + vx  +  14cos2t V 12 A B C D 9 3 ix 3/2 H 1/6 F 1/18 F j9 j3 +  140 V 12 A B C D 9 3 Ix j3 I1 I2 I3 I4

Metoda Superposisi 20cos4t V + _ 9 3cos2t A io 3H 200o + _ 9  j6 Io1 j12 9 30o  j12 Io2 j6 Karena sumber berbeda frekuensi maka fasor Io1 dan Io2 tidak dapat langsung dijumlahkan. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian dijumlahkan

Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin +  18cos2t V i 6 2 1H A B 2H 1/8 F +  180o V 6 2 A B j4 j2 j4 I +  180o V 6 2 A B j4 +  VT I A B j4 ZT j2

Metoda Reduksi Rangkaian   i1 = 0.1cos100t A v = 10sin100t V 200F 1H 50 ix? A B Sumber tegangan dan sumber arus berfrekuensi sama,  = 100. Tetapi sumber tegangan dinyatakan dalam sinus, sumber arus dalam cosinus. Ubah kedalam bentuk standar, yaitu bentuk cosinus melalui kesamaan sinx = cos(x90) A B   I1 = 0.10o A V= 1090oV j50 j100 50 Ix sumber tegangan tersambung seri dengan resistor 50  paralel dengan induktor j100  Iy A I2 j50 j100 50 I1 = 0.10o A Simpul B hilang. Arus Iy yang sekarang mengalir melalui resistor 50, bukanlah arus Ix yang dicari; Iy kali 50 adalah tegangan simpul A, bukan tegangan simpul B tempat Ix keluar Iy j50 j100 50 I1  I2

Metoda Tegangan Simpul   I1 = 0,10o A V= 1090oV j50 j100 50 Ix=? A B

Metoda Arus Mesh   I = 0,10o A V=1090oV j50 50 A B I1 I2 I3

Analisis Daya

Tinjauan Daya di Kawasan Waktu pb Nilai rata-rata = 0 Nilai rata-rata = VrmsIrmscos Komponen ini memberikan alih energi netto; disebut daya nyata: P Komponen ini tidak memberikan alih energi netto; disebut daya reaktif: Q

Tinjauan Daya di Kawasan Fasor Tegangan, arus, di kawasan fasor: besaran kompleks Daya Kompleks : Re Im jQ  P Segitiga daya

Faktor Daya dan Segitiga Daya V I (lagging) I* Re Im  S =VI* jQ P Re Im  Faktor daya lagging  jQ P Re Im  S =VI* V I (leading) I* Re Im  Faktor daya leading

Daya Kompleks dan Impedansi Beban

Contoh seksi sumber beban A B I

Alih Daya Dalam rangkaian linier dengan arus bolak-balik keadaan mantap, jumlah daya kompleks yang diberikan oleh sumber bebas, sama dengan jumlah daya kompleks yang diserap oleh elemen-elemen dalam rangkaian

Contoh 50   I1 = 0,10o A V=1090oV j50 j100 I3 B A C I2 I4 I5 Berapa daya yang diberikan oleh masing-masing sumber dan berapa diserap R = 50  ?

Dengan Cara Penyesuaian Impedansi Alih Daya Maksimum Dengan Cara Penyesuaian Impedansi +  VT ZT = RT + jXT ZB = RB + jXB A B

Contoh B +  50 j100 j50 A 100o V 25 + j 75

Dengan Cara Sisipan Transformator Alih Daya Maksimum Dengan Cara Sisipan Transformator impedansi yang terlihat di sisi primer ZB +  ZT VT N1 N2

Contoh Tidak ada peningkatan alih daya ke beban. Seandainya diusahakan +  50 j100 j50 A B 100o V 25 + j 60 Dari contoh sebelumnya: Seandainya diusahakan Tidak ada peningkatan alih daya ke beban.

Rangkuman Mengenai Fasor Fasor adalah pernyataan sinyal sinus yang fungsi waktu ke dalam besaran kompleks, melalui relasi Euler. Dengan menyatakan sinyal sinus tidak lagi sebagai fungsi waktu, maka pernyataan elemen elemen rangkaian harus disesuaikan. Dengan sinyal sinus sebagai fungsi t elemen-elemen rangkaian adalah R, L, C. Dengan sinyal sinus sebagai fasor elemen-elemen rangkaian menjadi impedansi elemen R, jL, 1/jC. Impedansi bukanlah besaran fisis melainkan suatu konsep dalam analisis. Besaran fisisnya tetaplah R = l/A, dan C = A/d Dengan menyatakan sinyal sinus dalam fasor dan elemen-elemen dalam inpedansinya, maka hubungan arus-tegangan pada elemen menjadi hubungan fasor arus - fasor tegangan pada impedansi elemen. Hubungan fasor arus dan fasor tegangan pada impedansi elemen merupakan hubungan linier.

Rangkuman (lanjutan) Dengan menyatakan arus dan tegangan menjadi fasor arus dan fasor tegangan yang merupakan besaran kompleks maka daya juga menjadi daya kompleks yang didefinisikan sebagai S = V I*. Besaran-besaran kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks sehingga kita mempunyai digram fasor untuk arus dan tegangan serta segitiga daya untuk daya. Hukum-hukum rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, serta metoda analisis yang berlaku di kawasan waktu, dapat diterapkan pada rangkaian impedansi yang tidak lain adalah transformasi rangkaian ke kawasan fasor. Sesuai dengan asal-muasal konsep fasor, maka analisis fasor dapat diterapkan hanya untuk sinyal sinus keadaan mantap.

Penyediaan Daya

Transformator Dalam penyaluran daya listrik banyak digunakan transformator berkapasitas besar dan juga bertegangan tinggi. Dengan transformator tegangan tinggi, penyaluran daya listrik dapat dilakukan dalam jarak jauh dan susut daya pada jaringan dapat ditekan. Di jaringan distribusi listrik banyak digunakan transformator penurun tegangan, dari tegangan menengah 20 kV menjadi 380 V untuk distribusi ke rumah-rumah dan kantor-kantor pada tegangan 220 V. Transformator daya tersebut pada umumnya merupakan transformator tiga fasa; namun kita akan melihat transformator satu fasa lebih dulu

Transformator Dua Belitan Tak Berbeban + E2  N2 N1 If  V1 E1 Belitan primer: Belitan sekunder: I2 = 0 Jika Fasor E1 sefasa dengan E2 karena diinduksikan oleh fluksi yang sama.

dan IC (sefasa dengan E1) yang mengatasi rugi-rugi inti. + E2  N2 N1 If  V1 E1 Arus magnetisasi yang membangkitkan  Resistansi belitan primer E1=E2 I  Ic If If R1 V1 Arus magnetisasi If dapat dipandang sebagai terdiri dari I (90o dibelakang E1) yang menimbulkan  dan IC (sefasa dengan E1) yang mengatasi rugi-rugi inti. Diagram fasor dengan mengambil rasio transformasi a=1, sedangkan E1 sefasa E2

Fluksi Bocor di Belitan Primer  V1 l1 If  E1=E2 I  Ic If IfR1 V1 l jIfXl Representasi fluksi bocor di belitan primer ada fluksi bocor di belitan primer

Transformator Berbeban  V1 l1 I1  V2 l2 I2 RB   V2 I2 I’2 If I1 I2R2 jI2X2 E2 E1 I1R1 jI1X1 V1 beban resistif , a > 1

Rangkaian Ekivalen Transformator  If B jX2 R1 jX1 I1 I2 V1 E1 V2=aV2 jXc Rc Ic I Z R2  If B jX2 R1 jX1 I1 I2 V1 E1 V2=aV2 I2 , R2 , dan X2 adalah arus, resistansi, dan reaktansi sekunder yang dilihat dari sisi primer

Rangkaian Ekivalen yang Disederhanakan Arus magnetisasi hanya sekitar 2 sampai 5 persen dari arus beban penuh Jika If diabaikan terhadap I1 kesalahan yang terjadi dapat dianggap cukup kecil  B jXe =j(X1+ X2) Re = R1+R2 I1=I2 V1 V2 I2 I2Re jI2Xe V2 V1

Contoh Impedansi saluran diabaikan Penyediaan Daya 10 kW f.d. 0,8 lagging 8 kW f.d. 0,75 lagging 380 V rms Penyediaan Daya Impedansi saluran diabaikan Faktor daya total tidak cukup baik

Perbaikan Faktor Daya Perbaikan faktor daya dilakukan pada beban induktif dengan menambahkan kapasitor yang diparalel dengan beban, sehingga daya reaktif yang harus diberikan oleh sumber menurun tetapi daya rata-rata yang diperlukan beban tetap dipenuhi Im Re jQ beban (induktif) jQ kapasitor kVA beban tanpa kapasitor |S| |S1| kapasitor paralel dengan beban kVA beban dengan kapasitor P beban Daya yang harus diberikan oleh sumber kepada beban turun dari |S| menjadi |S1|.

Contoh C diinginkan 380 V rms 50 Hz 10 kW f.d. 0,8 lagging -jQ12C jQ12 S12C P12

Diagram Satu Garis

Contoh | V | = 380 V rms 0,2 + j2  Vs beban 1 beban 2 10 kW 8 kW cos  = 1 beban 2 8 kW 0,2 + j2  Vs | V | = 380 V rms Contoh

Sistem Tiga Fasa Seimbang

Sumber Satu Fasa dan Tiga Fasa vs(t) 1/jC R jL u s Vs  Sebuah kumparan dipengaruhi oleh medan magnet yang berputar dengan kecepatan perputaran konstan Tegangan imbas yang muncul di kumparan memberikan sumber tegangan bolak-balik, sebesar Vs B A C N VAN VBN VCN  u s vs(t) Tiga kumparan dengan posisi yang berbeda 120o satu sama lain berada dalam medan magnet yang berputar dengan kecepatan perputaran konstan Tegangan imbas di masing-masing kumparan memberikan sumber tegangan bolak-balik. Dengan hubungan tertentu dari tiga kumparan tersebut diperoleh sumber tegangan tiga fasa

Referensi Sinyal  A, B, C : titik fasa VAN , VBN ,VCN C VCN +  N A Dalam pekerjaan analisis rangkaian kita memerlukan referensi sinyal. Oleh karena itu tegangan bolak balik kita gambarkan dengan tetap menyertakan referensi sinyal Untuk sumber tiga fasa, referensi sinyal tegangan adalah sebagai berikut A, B, C : titik fasa VAN , VBN ,VCN besar tegangan fasa ke netral dituliskan pula sebagai Vfn atau Vf B A C N VAN VBN VCN  + +  besar tegangan antar fasa adalah VAB , VBC ,VCA dituliskan pula sebagai Vff N : titik netral  Simbol sumber tiga fasa:

Diagram Fasor Sumber Tiga Fasa Im Re Diagram fasor tegangan VCN B A C N VAN VBN VCN  + +  120o 120o VAN VBN Sumber terhubung Y VAN = |VAN|  0o VBN = |VAN|  -120o VCN = |VAN|  -240o Keadaan Seimbang |VAN| = |VBN| = |VCN|

Sumber Tiga Fasa dan Saluran ke Beban C B A N VAN VBN VCN  + +  VBC VCA IC Tegangan fasa-netral VAB IA Saluran ke beban IB Sumber Tiga Fasa Terhubung Y Tegangan fasa-fasa Arus saluran

Hubungan Fasor-Fasor Tegangan VAN VBN VCN VAB VBC VCA Re Im 30o Tegangan Fasa-netral 120o VBN Tegangan fasa-fasa: Dalam keadaan seimbang:

Arus Saluran dan Arus Fasa B A C N VAN VBN VCN  + +  Beban terhubung Y Beban terhubung Δ Sumber terhubung Y Arus saluran IA IC IB Arus fasa Arus di penghantar netral dalam keadaan seimbang bernilai nol

Beban Tiga Fasa

Beban Terhubung Y Keadaan seimbang referensi IB B Z IA N A IN C IC Im VBN VCN VAN Re Im  IB IC referensi Keadaan seimbang

Contoh IB B Z IA Vff = 380 V (rms) N A IN C IC Z = 4 + j 3 VAN referensi N A B C Z IA IC IB IN VBN VCN VAN Re Im IA  IB IC

Beban Terhubung  IB IA IC B C A IBC ICA IAB Z Re Im VBC VCA VAB ICA 

Contoh Z = 4 + j 3 Vff = 380 V (rms) VAN referensi IB IAB B IA IBC A IC IAB IBC ICA Z = 4 + j 3 Vff = 380 V (rms) VAN referensi IAB VBN VCN VAN IBC ICA Re Im VAB

Analisis Daya Pada Sistem 3 Fasa Pada dasarnya analisis daya pada sistem tiga fasa tidak berbeda dengan sistem satu fasa

Contoh Y 50 kVA f.d. 0,9 lagging VLL = 480 V Is = ? RB = ? XB = ?

Contoh |Ssumber| = ? Vsumber= ?  b e a n VS VB Z = 2 + j20  IS IB 100 kW 4800 V rms cos = 0,8 lag |Ssumber| = ? Vsumber= ?

Kuliah Terbuka Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor (Rangkaian Arus Bolak-Balik Sinusoidal Keadaan Mantap) Sudaryatno Sudirham