PENGANTAR PROGRAM LINIER & SOLUSI GRAFIK Pertemuan 2

Pengantar Program Linier (PL) Dari contoh-contoh yang telah disampaikan pada Pertemuan I, terlihat bahwa terdapat suatu pola tertentu dalam memodelkan suatu masalah Program Linier (PL). Untuk menyelesaikan masalah PL, selalu ditentukan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi batasan.

Bentuk umum dari model PL Fungsi tujuan : Memaksimumkan (Meminimumkan) Fungsi batasan : untuk semua i = 1, 2, …, m semua Xj > 0 Keterangan : Xj = Variabel keputusan/kegiatan j, di mana j = 1, 2, …., n Z = nilai dari fungsi tujuan Cj = parameter per unit kegiatan bi = jumlah sumber daya i (i = 1, 2, …, m), aij = banyaknya sumber daya i yang dikonsumsi oleh kegiatan j

Istilah-Istilah dalam Program Linier Solution : jawaban akhir dari suatu masalah PL. Feasible solution : penyelesaian yang memenuhi (tidak melanggar) batasan-batasan yang ada. No-feasible solution : tidak ada penyelesaian yang feasible (tidak ada penyelesaian yang memenuhi batasan-batasan yang ada). Optimal solution : feasible solution yang mempunyai nilai tujuan yang optimal atau terbaik. Multiple optimal solution : terdapat beberapa alternatif solusi optimal dalam satu masalah. No- optimal solution : terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai jawaban atau penyelesaian optimal.

Setelah membuat model matematis dari masalah program linier, maka langkah berikutnya adalah pemecahan model untuk pengambilan keputusan, yaitu dengan menggunakan : Metode grafik Metode simpleks

Metode Grafik Masalah program linier yang dapat diselesaikan dengan metode grafik hanya terbatas pada masalah yang mempunyai 2 variabel keputusan, karena dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik. Model dengan 3 variabel keputusan akan memerlukan penggambaran dalam 3 dimensi grafik, di mana prosesnya akan sangat sulit. Sedangkan model dengan 4 atau lebih variabel keputusan tidak dapat dibuat grafik sama sekali.

Tahapan Yang Dilakukan Dalam Metode Grafik Menentukan fungsi tujuan dan fungsi batasan dalam bentuk matematis. Gambarkan masing-masing garis fungsi batasan pada dua dimensi grafik (sistem sumbu koordinat). Tentukan daerah feasible-nya, yaitu himpunan semua titik yang memenuhi batasan. Tentukan penyelesaian feasible-nya, yaitu satu titik pada daerah feasible yang mengakibatkan harga Z optimal.

Contoh 1: Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 5 X2 Fungsi batasan : X1 + 2 X2 < 40 4 X1 + 3 X2 < 120 X1 , X2 > 0

Dengan melihat perpotongan yang ada, maka terdapat 3 alternatif harga X1 dan X2 yaitu : SOLUSI 20 Z = (4).(0) + (5).(20) = 100 30 Z = (4).(30) + (5).( 0) = 120 24 8 Z = (4).(24) + (5).(8) = 136 Dari hasil di atas terlihat bahwa nilai maksimum dari Z adalah 136. Sehingga solusi optimal adalah X1 = 24 , X2 = 8 , dan Z = 136.

Contoh 2 : Fungsi tujuan : Min Z = 6 X1 + 3 X2 Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 > 16 X1 + 3 X2 < 24 X1 , X2 > 0

Contoh 3 : Fungsi tujuan : Maks Z = 5 X1 + X2 Fungsi batasan :

Solusi Metode Grafik Untuk Kasus Khusus : Solusi Optimal Banyak Fungsi tujuan : Maks Z = 3 X1 + 2 X2 Fungsi batasan : 6 X1 + 4 X2 < 240 X1 + X2 < 50 X1 , X2 > 0

Tanpa Solusi Feasible Fungsi tujuan : Maks Z = 3 X1 + 2 X2 Fungsi batasan : 6 X1 + 4 X2 < 240 X1 + X2 < 50 X1 > 30 X2 > 20 X1 , X2 > 0

Solusi Tidak Terbatas Fungsi tujuan : Maks Z = 2 X1 - X2 Fungsi batasan : X1 - X2 < 1 2 X1 + X2 > 6 X1 , X2 > 0