Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul Kuliah 8 5. KOMBINATORIAL Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Pekerjaan Rumah (PR6) No.1: No.2: Tentukan PBT(216,88) dan nyatakanlah PBT tersebut sebagai kombinasi linier 216 dan 88. No.2: Diberikan sebuah kode ISBN-13: 978-0385510455. Periksalah apakah kode tersebut sahih atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji dari ISBN tersebut.

Solusi Pekerjaan Rumah (PR6) No.1: Menggunakan cara enumerasi: Faktor pembagi 216: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36,54,72,108. Faktor pembagi 88: 1,2,4,8,11,22,44. Faktor pembagi bersama dari 216 dan 88 adalah 1, 2, 4, 8. PBT(45,36) = 8. Menggunakan Algoritma Euclidean: 216 = 882 + 40 88 = 402 + 8 40 = 85 + 0 n = 0  m = 8 adalah PBT(216,88) = 8.

Solusi Pekerjaan Rumah (PR6) No.1: Terapkan Algoritma Euclidean untuk memperoleh PBT(216,88) = 8 sbb: 216 = 288 + 40 (1) 88 = 240 + 8 (2) 40 = 58 + 0 (3) Susun (2) menjadi 8 = 88 – 240 (4) Susun (1) menjadi 40 = 216 – 288 (5) Masukkan (5) ke (4) menjadi 8 = 88 – 2(216 – 288) = 88 – 2216 + 488 = 588 – 2216 Jadi, PBT(216, 88) = 8 = –2216 + 588

Solusi Pekerjaan Rumah (PR6) No.2: Kode ISBN-13: 978-0385510455. Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:   91 + 73 + 81 + 03 + 31 + 83 + 51 + 53 + 11 + 03 + 41 + 53 = 105 Jadi, karakter ujinya adalah 105 + x13  0 (mod 10) x13 = 5 Sedangkan karakter uji dari ISBN di atas adalah 5. Maka, kode ISBN di atas adalah s a h i h.

Sebuah password dapat disusun dengan panjang 6 sampai 8 karakter Sebuah password dapat disusun dengan panjang 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat? abcdef abcdeg a123bc … resnick halliday zzzzzzzz

Definisi Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunan yang ada.

Aturan Dasar Aturan Perkalian (Rule of Product) Percobaan 1: p cara Percobaan 2: q cara   Percobaan 1 dan percobaan 2: p  q cara Aturan Penjumlahan (Rule of Sum)   Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q cara

Aturan Dasar Contoh: Solusi: Contoh: Solusi: Seorang ketua kelas VI SDN 01 Cikarang akan dipilih dari 35 murid pria dan 15 murid wanita. Berapa banyak cara memilih ketua kelas? Solusi: Terdapat 35 + 15 = 50 cara. Contoh: Untuk pawai pakaian tradisional dalam rangka HUT RI ke-64, dipilih 2 orang wakil dari kelas VI SDN 01 Cikarang. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tersebut? Solusi: Terdapat 35  15 = 525 cara.

Perluasan Aturan Dasar Misalkan terdapat n percobaan, dan tiap-tiap percobaan ke-i dapat dilakukan dengan pi cara. Maka: Aturan Perkalian (Rule of Product) Untuk n percobaan tersebut dapat diperoleh hasil dengan p1  p2  …  pn cara. Aturan Penjumlahan (Rule of Sum) Untuk n percobaan tersebut dapat diperoleh hasil dengan p1 + p2 + … + pn cara.

Perluasan Aturan Dasar Contoh: Bit biner hanya tersusun atas 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika: (a) Panjang string 5 bit. (b) Panjang string 8 bit (= 1 byte). Solusi: (a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah. (b) 28 = 256 buah.

Perluasan Aturan Dasar Contoh: Berapa jumlah bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang: (a) Semua angkanya berbeda? (b) Boleh ada angka yang berulang? Solusi: (a) Posisi satuan: 5 kemungkinan angka ( 1,3,5,7,9 ). Posisi ribuan: 8 kemungkinan angka ( terambil 1, tidak 0 ). Posisi ratusan: 8 kemungkinan angka ( sudah terambil 2 ). Posisi puluhan: 7 kemungkinan angka ( sudah terambil 3 ). Banyak bilangan ganjil adalah 5887 = 2240 buah. (b) Posisi satuan: 5 kemungkinan angka ( 1,3,5,7,9 ). Posisi ribuan: 9 kemungkinan angka ( 1-9, tidak boleh 0 ). Posisi ratusan: 10 kemungkinan angka ( 0-9 ). Posisi puluhan:10 kemungkinan angka ( 0-9 ). Banyak bilangan ganjil adalah 591010 = 4500 buah.

Perluasan Aturan Dasar Contoh: Password dari suatu sistem komputer memiliki panjang 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf (A-Z) atau angka (0-9); huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat? Solusi: Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter. Jumlah kemungkinan password dengan panjang 6 karakter: 363636363636 = 366 = 2.176.782.336 Jumlah kemungkinan password dengan panjang 7 karakter: 36363636363636 = 367 = 78.364.164.096 Jumlah kemungkinan password dengan panjang 8 karakter: 3636363636363636 = 368 = 2.821.109.907.456 Jumlah seluruh password (sesuai aturan penjumlahan) adalah 2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.853.888 buah.

Prinsip Inklusi-Eksklusi Contoh: Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’ atau diakhiri dengan ‘11’? Solusi: Misalkan A = Himpunan byte yang dimulai dengan ’11’, B = Himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’. Maka A  B = Himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan ‘11’, A  B = Himpunan byte yang berawal atau berakhir dengan ‘11’. A = 26 = 64, B = 26 = 64, A  B = 24 = 16. A  B = A + B – A  B = 64 + 64 – 16 = 112.

Permutasi Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?

Permutasi b p m p b m p b p m m b p b m Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 b p m p b m p b p m m b p b m Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah 321 = 3! = 6.

Permutasi Definisi: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan obyek-obyek. Permutasi merupakan bentuk khusus dari Aturan Perkalian. Misalkan terdapat n buah obyek, maka Urutan pertama dipilih dari n obyek, Urutan kedua dipilih dari n – 1 obyek, Urutan ketiga dipilih dari n – 2 obyek, … Urutan terakhir dipilih dari 1 obyek yang tersisa. Menurut Aturan Perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1)(n – 2)…21 = n!

Permutasi Contoh: Solusi: Contoh: Solusi: Berapa banyak susunan huruf yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Solusi: Cara 1: 54321 = 120 susunan. Cara 2: P(5,5) = 5! = 120 susunan. Contoh: Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Solusi: P(25,25) = 25! ≈ 1.551  1025 cara.

Permutasi r dari n Solusi: Terdapat 6 buah bola yang berbeda warna dan 3 buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? Solusi: Kotak 1 dapat diisi salah satu dari 6 bola (terdapat 6 pilihan). Kotak 2 dapat diisi salah satu dari 5 bola (terdapat 5 pilihan). Kotak 3 dapat diisi salah satu dari 4 bola (terdapat 4 pilihan). Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = 654 = 120.

Permutasi r dari n Bila terdapat n buah bola yang berbeda warna dan r buah kotak (r  n), maka Kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola  (terdapat n pilihan), Kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 1) bola  (terdapat n – 1 pilihan), Kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 2) bola  (terdapat n – 2) pilihan, … Kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n – (r – 1)) bola  (terdapat n – r + 1 pilihan), Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah: n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1)).

Definisi Permutasi Permutasi r dari n obyek yang berbeda adalah jumlah kemungkinan urutan r obyek yang dipilih dari n obyek, dengan r  n.

Permutasi Contoh: Solusi: Berapakah jumlah kemungkinan membentuk angka ratusan dari 5 angka 1, 2, 3, 4, dan 5, jika: (a) Tidak boleh ada pengulangan angka? (b) Boleh ada pengulangan angka? Solusi: (a) Dengan Aturan Perkalian: 543 = 60 buah. Dengan Rumus Permutasi P(5,3) = 5!/(5 – 3)! = 60. (b) Dengan Aturan Perkalian: 555 = 53 = 125. Tidak dapat diselesaikan dengan Rumus Permutasi.

Permutasi Contoh: Solusi: Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, yang terdiri atas 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka berbeda pula. Berapa jumlah kode buku yang dapat dibuat menurut aturan ini? Solusi: P(26,4)  P(10,3) = 26!/(26 – 4)!  10!/(10 – 3)! = 26252423  1098 = 258.336.000

Kombinasi Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan.

mbp = mpb = bmp = bpm = pmb = pbm Kombinasi Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 b p m p b m p b p m m b p b m mbp = mpb = bmp = bpm = pmb = pbm Pada permutasi, urutan kemunculan diabaikan. Jumlah kombinasi berbeda dari penempatan 3 bola ke dalam 3 kotak adalah 1 = P(3,3)/3!

Kombinasi Jumlah cara untuk memilih 3 bola untuk dimasukkan ke 3 kotak, tanpa memperhitungkan urutan adalah 20 = P(6,3)/3! (Periksa dengan cara enumerasi!) Untuk pengambilan 3 bola dengan warna berbeda, dihitung 1 kombinasi saja.

Definisi Kombinasi Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola berwarna ke dalam n buah kotak, tanpa memperhatikan urutan pengambilan bola, adalah dapat pula dituliskan dengan Kombinasi r obyek dari n obyek, atau C(n,r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r obyek yang diambil dari n obyek.

Interpretasi Kombinasi C(n,r) adalah banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r anggota yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n anggota. Misalkan A = { 1,2,3,4 }. Himpunan bagian dengan 3 anggota adalah { 1,2,3 } = { 1,3,2 } = { 2,1,3 } = { 2,3,1 } = { 3,1,2 } = { 3,2,1 } { 1,2,4 } = { 1,4,2 } = { 2,1,4 } = { 2,4,1 } = { 4,1,2 } = { 4,2,1 } { 1,3,4 } = { 1,4,3 } = { 3,1,4 } = { 3,4,1 } = { 4,1,3 } = { 4,3,1 } { 2,3,4 } = { 2,4,3 } = { 3,2,4 } = { 3,4,2 } = { 4,2,3 } = { 4,3,2 } Terdapat 4 himpunan bagian yang berbeda, atau

Kombinasi Contoh: Solusi: Berapa banyak cara untuk membentuk sebuah panitia khusus (pansus) yang beranggotakan 5 orang dari Komisi IV DPR RI yang beranggotakan 25 orang? Solusi: Sebuah pansus adalah sebuah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam pansus kedudukannya sama. C(25,5) = 25!/((25 – 5)!5!) = 2524232221/(54321) = 53.130

Kombinasi Contoh: Di antara 10 orang mahasiswa IT angkatan 2009, akan dibentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang. Encep dan Florina menghitung-hitung peluang mereka untuk terpilih. Berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan tersebut sedemikian sehingga: (a) Encep selalu termasuk di dalamnya. (b) Encep tidak termasuk di dalamnya. (c) Encep selalu termasuk di dalamnya, tetapi Florina tidak. (d) Florina selalu termasuk di dalamnya, tetapi Encep tidak. (e) Encep dan Florina termasuk di dalamnya. (f) Setidaknya salah satu dari Encep atau Florina termasuk di dalamnya.

Kombinasi Solusi: (a) Encep selalu termasuk di dalamnya. (b) Encep tidak termasuk di dalamnya. (c) Encep selalu termasuk di dalamnya, tetapi Florina tidak.

Kombinasi Solusi: (d) Florina selalu termasuk di dalamnya, tetapi Encep tidak. Sama dengan jawaban (c) (e) Encep dan Florina termasuk di dalamnya. (f) Setidaknya salah satu dari Encep atau Florina termasuk di dalamnya. Encep terpilih, Florina tidak Florina terpilih, Encep tidak Keduanya terpilih

Kombinasi Solusi: (f) Setidaknya salah satu dari Encep atau Florina termasuk di dalamnya. Soal (f) ini dapat pula dipecahkan dengan mempergunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi. Misalkan X = Jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan Encep, Y = Jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan Florina, X  Y = Jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan Encep dan Florina. Maka X= C(9,4) = 126 Y= C(9,4) = 126 XY= C(8,3) = 56 XY= X+Y–XY = 126 + 126 – 56 = 196.

Pekerjaan Rumah (PR7) Seorang ketua dan seorang bendahara dari Himpunan Mahasiswa IT, Extension Class, PU, akan dipilih dari 50 orang anggotanya. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih ketua dan bendahara, apabila: (a) Tidak ada pembatasan khusus. (b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua. (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali. (d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama.

Homework 8 New Nomor registrasi kendaraan di Jakarta dan sekitarnya mulai menggunakan akhiran 3 huruf sejak akhir 2008 (untuk sepeda motor bahkan sejak 2004). Hal ini disebabkan oleh peningkatan jumlah kendaraan bermotor di wilayah ini. (a) Sebelumnya, berapa jumlah nomor registrasi kendaraan yang tersedia (saat hanya digunakan akhiran 2 huruf)? (b) Sekarang, berapa jumlah nomor registrasi kendaraan yang tersedia (saat telah digunakan akhiran 3 huruf). Petunjuk: Anggap tidak ada pembatasan tertentu dalam menyusun nomor dan huruf.