UKURAN PEMUSATAN Rata-rata, Median, Modus Oleh: ENDANG LISTYANI

Perhatikan pengelompokan data sampel berikut Data tunggal : Data dalam tabel dist frek Data dalam tabel distribusi frekuensi Skor Frekuensi x1 x2 . xk f1 f2 fk  Skor Frekuensi a1 - b1 a2 - b2 . ak - bk f1 f2 fk 

Ukuran Pemusatan adalah ukuran yang menunjukan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. (Rata-rata, Median, Modus)

Ukuran Bentuk (Measure of Shape) Kurva negatif Kurva positif

Rata-rata = 67,3, Mo = 45,2 Me = (Mo + 2 )/3 = (45,2 + 134,6)/3 = 59,9

Rata-rata Rata-rata hitung Rata-rata harmonis sering digunakan untuk merata-ratakan kecepatan untuk beberapa jarak tempuh yang sama Rata-rata geometrik digunakan untuk merata-ratakan data yang rasio suku-suku berurutannya kira-kira tetap. Sering terjadi pada data yang berupa laju perubahan, rasio, indeks ekonomi, ukuran-ukuran populasi untuk periode waktu yang berurutan. Rata-rata terboboti digunakan untuk merata-ratakan k buah nilai dengan menganggap bahwa sebagian lebih penting dari lainnya. Rata-rata gabungan

Rata-rata Hitung (rata-rata) Data tunggal: x1 , x2. ....... , xn a. data populasi rata-rata populasi  μ = b. data sampel rata-rata sampel 

Data dalam tabel distribusi frekuensi xi fi fixi x1 x2 . xk f1 f2 fk f1x1 f2x2 fkxk  Rata-rata

tanda kelas Data dalam tabel distribusi frekuensi Rata-rata Skor fi xi . ak - bk f1 f2 fk x1 x2 xk f1x1 f2x2 fkxk  Rata-rata tanda kelas

Hitunglah nilai rata-rata dari data berikut fi xi fixi c i f ic i 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 4 3 11 21 33 15 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 = x* 85,5 95,5 -2 -1 1  90 x*= titik tengah yang dipilih p= panjang/lebar kelas

Jika lebar kelas sama untuk setiap kelas interval Nilai fi xi fixi ci fici 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 4 3 11 21 33 15 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5* 85,5 95,5 142 136,5 610,5 1375,5 2491,5 1282,5 286,5 -4 -3 -2 -1 1 2 -16 -9 -22 -21 6  90 6325 -47

No 6 262,073

Masalah Tentu jawabnya bukan (30+20)/2 = 25 km/jam Rony bersepeda pp dari A ke B yang berjarak 30km. Berangkat dengan kecepatan 30km/jam, pulang dengan kecepatan 20km/jam. Tentukan rata-rata kecepatan bersepeda Rony dari A ke B pp Tentu jawabnya bukan (30+20)/2 = 25 km/jam Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 1 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 1,5 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 2.5 jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 60/2,5 = 24 km/jam. Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh:

Data dalam tabel distribusi frekuensi Rata-rata Harmonis Data tunggal Data dalam tabel distribusi frekuensi

Contoh penggunaan rata-rata harmonis Seseorang menempuh perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 300km, pergi pulang. Kecepatan perjalanan dari kota A ke kota B adalah 100 km/jam, sedangkan kecepatan perjalanan dari kota B ke kota A adalah 150 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pergi-pulang? Tentu jawabnya bukan (100+150)/2 = 125 km/jam Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 3 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 2 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 5 jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 600/5 = 120 km/jam. Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh: Jadi rata-rata kecepatan yang dimaksud adalah 120 km/jam.

Contoh: Jarak antara kota A dan B 60 km, dari B ke C 80 km, jalan pintas dari C ke A 100km. Ary berangkat dari A ke B dg kec 40 km/jam, dari B ke C 30 km/jam, dan dari C ke A 50 km/jam. Hitunglah rata-rata kec dari A ke C pp Data: = (3 x 600)/47 = 38,297

Rata-rata Ukur/Geometrik Data tunggal Data terkelompok Perhatikan data berikut : 8, 17, 33, 67, 136, 275, 560 Rata-rata Ukur = = 67,37

Rata-rata Ukur Suatu percobaan jenis makanan yang diberikan pada unggas tertentu memberikan kenaikan berat (dlm gram) pada minggu pertama sampai kelima berturut-turut sbb. 250, 690, 990, 1890, 3790. Tentukanlah kira-kira kenaikan berat unggas rata-rata tiap minggu = 1041,13

Rata-rata Terboboti Perhatikan kasus berikut! Penilaian mata kuliah Statistika Elementer meliputi Tugas : 10%  95 Kuis : 10%  70 Ujian Sisipan I : 25%  85 Ujian Sisipan II : 25%  80 Ujian Akhir : 30%  65 Maka nilai akhir (NA) adalah Misalkan wi bobot xi maka rata-rata terboboti adalah

Rata-rata Gabungan Bila sampel acak berukuran n1, n2, …, nk yang diambil dari k populasi dengan masing-masing mempunyai rata-rata maka rata-rata gabungannya adalah

Median Median adalah nilai yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar setelah data diurutkan dari yang kecil ke besar.

Median untuk Data tunggal ( sudah diurutkan) Bila n adalah bilangan ganjil Bila n adalah bilangan genap Rumus berikut berlaku untuk n bilangan ganjil dan genap

Median Atau (setelah data diurutkan) Median = skor ke Contoh Tentukanlah median dari 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16, 16 Data: 2, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 15, 16, 16 Me = skor ke( ) = 9

Median 2) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16, 16, 3 Data: 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 15, 16, 16 Me = skor ke ( ) = skor ke 7 + (skor ke 8 – skor ke 7) = 7 + ( 9 – 7) = 8

Data dalam tabel distribusi frekuensi 3) Data Me = 60 skor fi fkum 40 50 60 80 95 5 11 10 13 16 26 39 

Median Data dalam tabel distribusi frekuensi skor fi 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 5 11 10 13  50

Rumus Median untuk data dalam tabel distribusi frekuensi b : batas bawah kelas Median l : lebar kelas Median F : jumlah frekuensi sebelum kelas Median f : frekuensi kelas Median

MODUS Data tunggal Modus adalah nilai data yang paling sering muncul. Contoh: 3, 3, 2, 7, 2, 5, 10, 7, 4, 7 Mo = 7 Data: 5, 4, 6, 4, 6, 8, 9, 12 Mo = 4 dan 6 Data : 5, 4, 6, 7, 10, 15 Mo = tidak ada Data terkelompok Modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar

Modus Data terkelompok Skor f 30 – 39 2 40 – 49 16 50 – 59 14 60 – 69 5 70 – 79 80 – 89 3 56

Rumus Modus untuk data dalam tabel distribusi frekuensi b : batas bawah kelas Modus l : lebar kelas Modus b1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sebelumnya b2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sesudahnya

Data dalam tabel distribusi frekuensi skor fi fkum 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 40 70 30 100 60 110 140 240 300  50 100 frekuensi 0,5 10,5 20,5 30,5 40,5 50,5 240 140 Kelas Me : kelas yang memuat x[n/2] = x[300/2]= x[150]  31- 40 l : lebar kelas Me l = 40,5 – 30,5 = 10

modus Data tunggal Modus adalah nilai data yang paling sering muncul. Data terkelompok Modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar

Data dalam tabel distribusi frekuensi skor fi fkum 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 40 70 30 100 60 110 140 240 300  50 100 frekuensi 0,5 10,5 20,5 30,5 40,5 50,5 a d b c x y b2 b1

Rumus Modus untuk data dalam tabel distribusi frekuensi b : batas bawah kelas Modus l : lebar kelas Modus b1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas sebelumnya b2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas sesudahnya