SISTEM PERSAMAAN LINIER [ELIMINASI GAUSS-JORDAN] TATAP MUKA 3 NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Sistem Persamaan Linier (SPL) Definisi dan Istilah Persamaan Linier Metode Menyelesaikan SPL Eliminasi Gauss-Jordan OBE Matrik Eselon Baris Matrik Eselon Baris yg direduksi Matrik yg diperbesar Menyelesaikan SPL dg Eliminasi Gauss-Jordan Kaidah Cramer Perkalian Matrik NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Definisi dan Istilah 1. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu. Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …, xn adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b dimana a1, a2, …, an, b adalah konstanta- konstanta riil. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Menyelesaikan Persamaan Linier Pemecahan persamaan linier: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Contoh: Tentukan selesaian dari persamaan- persamaan berikut: 2x + 3 = -7 2x + 3y -2 = 10 2x + 3y + 5z + 10 = 15 NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

2. Sistem Persamaan Linier Sebuah himpunan berhingga dari persamaan linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn dinamakan sebuah system persamaan linier atau sebuah system linier. Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan dalam n variable adalah: NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Menyelesaikan SPL Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn dinamakan sebuah pemecahan system tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam system tersebut. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Contoh: Perhatikan sistem persamaan linier berikut: 2x + 3y – 5z = -8 -x –y + 15z = 42 5x -2y + z = 11 Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3} NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Metode Menyelesaikan SPL Ada beberapa cara menentukan pemecahan system persamaan linier, yaitu: (1) Eliminasi Gauss (2) Eliminasi Gauss-Jordan (3) Kaidah Cramer (4) Perkalian Matrik NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yang meliputi langkah- langkah sbb: Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system; >>> NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Eliminasi Gauss Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris (row-echelon form). Mengubah matrik eselon baris ke bentuk sistem persamaan. Menyelesaikan tiap persamaan dalam sistem. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada suatu baris matriks, yaitu: Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0. Pertukarkan sebarang dua baris. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd baris yang lain. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Contoh: OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1) OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1  B2) OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1) NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Matrik Eselon Baris (Row-echelon form) Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah sebagai berikut: Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama). Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Contoh: Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris? Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Eliminasi Gauss Jordan Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu: Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system; Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form) NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain. Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang direduksi adalah sebagai berikut: Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama). Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris yang direduksi? Contoh: Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris yang direduksi? Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris yg direduksi. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga

Tugas Mandiri Silahkan dilihat blog: http://nsaila2fe.wordpress.com NURUL SAILA ~ FE Universitas Panca Marga