MatematikaDiskrit TIF4216

PencacahanCounting

Justanintermezzo Pengelola Pantai Hanakapiai, Hawaii memperingatkan pengunjung agar tidak mendekati kawasan air, dan menegaskan peringatan tersebut dengan membuat menyusun tally- marks yang berfungsi menghitung secara diskrit jumlah korban yang nekat

SejarahPencacahan TallyMarks

Case Password with 6 character, consist of letter and number abcdef aaaade34qwer a123fr COMBINATION

Kombinatorial cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya

Rule of Sum (Kaidah Penjumlahan) Misal:Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 dan Perc. 2: p + q hasil Rule of Product (Kaidah Perkalian) Misal:Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 atau Perc. 2: p x q hasil Kaidah Dasar Menghitung

Latihan 1 Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 250 laki2 dan 150 perempuan. Dengan tanpa memperhitungkan gender, berapa cara memilih satu ketua himpunan? Solusi: = 400 cara

Latihan 2 Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 300 peminat jaringan dan 100 peminat vision. Dari setiap bidang minat akan dipilih 1 wakil untuk ikut seminar, berapa cara memilih dua orang peserta seminar? Solusi: 300 x 100 = cara

Rule of Product p 1  p 2  …  p n hasil Rule of Sum p 1 + p 2 + … + p n hasil Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Ada n percobaan, masing-masing dengan p i hasil

Latihan 3 Dari seluruh pemain Arema yang siap bertanding, terdapat 1 kiper, 3 bek, 4 gelandang dan 3 penyerang. Dengan tanpa memperhitungkan posisinya, berapa cara memilih satu kapten tim? Solusi: = 11 cara

Latihan 4 Pemain Arema yang menuntut pembayaran gaji mengirim 4 perwakilan menghadap manajemen. Di antara 3 kiper, 6 bek, 8 gelandang dan 6 penyerang, ada berapa cara mengirimkan wakil, bila tiap posisi diwakili satu orang? Solusi: 3 x 6 x 8 x 6 = 864 cara

Soal 1 Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner. Berapa banyak string yang dapat dibentuk?

Soal 2 Password pada sebuah sistem komputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; TIDAK case sensitive. Berapa banyak kombinasi password yang dapat dibuat?

Pembahasan Soal 1 Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner. Berapa banyak string yang dapat dibentuk? Solusi: 2x2x2x2x2x2x2x2 = 2 8 = 256 cara 8 digit 2 kemungkinan: 0 / 1

Prinsip InklusiEksklusi Kaidah Perkalian & Penjumlahan dalam Operasi Himpunan Kasus Berapa banyak kombinasi susunan byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’?

Prinsip Divide & Conquer INGAT ! A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’, B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’ |A| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 |B| = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 64 |A  B| = 128 ?

11****** ****** ****11 A B |A  B| = |A| +|B| - |A  B||A  B|

|A  B| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 16 |A  B| = |A| +|B| - |A  B||A  B| |A  B| = = 112

P H P igeon- ole rinciple

holes pigeons Bila terdapat n obyek yang diletakkan pada m buah tempat, dengan nilai n > m, maka: Paling tidak, satu tempat berisi lebih dari 1 obyek

GustavLejeuneDirichlet Dirichlet drawer principle Pigeon-holeprinciple 1834 (1805 – 1859)

1.Di antara tiga orang, maka pasti ada dua orang yang berjenis kelamin sama 2.Dari 32 orang, pasti ada 2 orang yang memiliki tanggal lahir yang sama. 3.Bila sebuah tim sepakbola menang 12-0, pasti ada pemain yang mencetak lebih dari satu gol Jelaskan! Case

Bentuk khusus Rule of Product Permutasi Jumlah urutan berbeda dari pengaturan obyek-obyek Terdapat tiga buah bola: Merah, Biru dan Hijau Dan tiga buah wadah berurutan: Berapa banyak urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam wadah-wadah tersebut? 123

123

x 2x 1=3!=6

P(n, n) = n x (n-1) x (n-2) x... 2 x 1 P(n, n) = n ! Permutasi r dari n elemen Permutasi n obyek P(n, r) = n x (n-1) x (n-2) x... (n-(r-1)) P(n, r) = n ! (n-r) !

Kombinasi Jumlah pengaturan obyek-obyek tanpa memperhitungkan urutan Kombinasi r dari n elemen C(n, r) = C(n, r) = = P(n, r) r ! n x (n-1) x (n-2) x... (n-(r-1)) r ! n! r ! (n- r)!

Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2010, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: a.mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; b.mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; c.mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; d.mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; e.mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; f.setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya. Soal 3