BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pertemuan Ke-6 : Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Pertemuan Ke-6 : Algoritma Euclid TUJUAN MATERI ILLUSTRASI Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Tujuan Pembelajaran TUJUAN Mahasiswa dapat memahami konsep Algoritma Euclid dan menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Kita akan mencari fpb(90, 78) dengan tanpa mendaftar faktor- faktornya. TUJUAN Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada 90 dan 78 90 = 1 . 78 + 12 0 ≤ r < 78 MATERI Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada 78 dan 12 ILLUSTRASI 78 = 6 . 12 + 6 0 ≤ r < 12 Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada 12 dan 6 LATIHAN 12 = 2 . 6 0 ≤ r < 6 Kita dapat memperoleh bahwa fpb(90, 78) = 6 SELESAI Lakukan langkah di atas pada bilangan 756 dan 528

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Lemma : Jika a = qb + r, maka fpb(a, b) = fpb(b, r). TUJUAN Pembuktian Misalkan fpb(a, b) = d. Adb fpb(b, r) = d (a) Karena fpb(a, b) = d, maka d|a dan d| b. Dari sini kita memperoleh d | a dan d|qb. Sehingga d|(a – qb) atau d|r Dengan demikian, d|b dan d|r (1) MATERI ILUSTRASI (b) Misalkan c|b dan c|r. Dari sini kita memperoleh c|qb. Sehingga c|(qb + r) atau c|a. Karena fpb(a, b) = d, maka untuk c|a dan c|b akan diperoleh c ≤ d. Jadi, jika c|b dan c|r maka c ≤ d (2) LATIHAN SELESAI Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa fpb(b, r) = d = fpb(a, b)

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Kita akan mencari fpb(a, b) dengan tanpa mendaftar faktor- faktornya. TUJUAN Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada a dan b a = q1 . b + r1 0 ≤ r1 < b MATERI Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada b dan r1 b = q2 .r1 + r2 0 ≤ r2 < r1 ILLUSTRASI Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada r1 dan r2 r1 = q3 .r2 + r3 0 ≤ r3 < r2 LATIHAN Langkah n+1: Terapkan Algoritma Pembagian pada rn dan rn-1 rn-1 = q3 .rn 0 ≤ rn+1 < rn SELESAI fpb(a, b) = fpb(b, r1) = . . . = fpb(rn-1 , rn ) = fpb(rn , 0) = rn

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Ilustrasi 1 : Carilah bilangan bulat x dan y sehingga fpb(90, 78) = 90x + 78y TUJUAN Pembahasan 90 = 1 . 78 + 12 78 = 6 . 12 + 6 12 = 2 . 6 MATERI ILLUSTRASI fpb(90, 78) = 6 = 78 – 6 . 12 = 78 – 6. (90 – 1.78) LATIHAN = 7.78 – 6.90 = 90 (–6) + 78(7) SELESAI Jadi, nilai x = -6 dan y = 7

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Illustrasi 2: Carilah fpb(1769, 2378). Kemudian carilah bilangan bulat x dan y sehingga fpb(1769, 2378) = 1769x + 2378y TUJUAN MATERI Pembahasan 2378 = 1 . 1769 + 609 29 = 551 – 9.58 1769 = 2 . 609 + 551 = 551 – 9.(609 – 1.551) 609 = 1 . 551 + 58 = 10.551 – 9.609 551 = 9 . 58 + 29 = 10.(1769 – 2.609) – 9.609 58 = 2 . 29 = 10.1769 – 29.609 Jadi, fpb (1769, 2378) = 29 = 10.1769 – 29.(2378 – 1.1769) = 1769(39) + 2378(–29) Jadi nilai x = 39 dan y = –29 ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan 1 POKOK BAHASAN Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol, dan k > 0. Tunjukkan bahwa fpb(ka, kb) = k fpb(a, b) 2. Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol, dan k ≠ 0. Tunjukkan bahwa fpb(ka, kb) = |k| fpb(a, b) 3. Carilah bilangan bulat x dan y sehingga a. fpb(306, 657) = 306x + 657y b. fpb(272, 1479) = 272x + 1479y c. fpb(12378, 3054) = 12378x + 3054y Misalkan fpb(a, b) = 1, buktikan pernyataan berikut ini: a. fpb(a + b, a – b) = 1 atau 2 b. fpb(2a + b, a + 2b) = 1 atau 3 c. fpb(a + b, ab) = 1 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan 2 POKOK BAHASAN 5. Misalkan a, b, c bilangan bulat yang dua diantaranya tidak sama dengan nol. Kita akan memperoleh bahwa fpb(a, b, c) = fpb(fpb(a, b), c) = fpb(a, fpb(b, c)) = fpb(fpb(a, c), b) a. Periksa kebenaran pernyataan itu untuk fpb(108, 60, 72) b. Carilah bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi fpb(198, 288, 512) = 198x + 288y + 512 Petunjuk: Misalkan d = fpb(198, 288). Carilah bilangan bulat u dan v sehingga fpb(d, 512) = du + 512v TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI Terima kasih ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI