BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Pertemuan Ke-11 : Kriteria Keterbagian TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Tujuan Pembelajaran TUJUAN Mahasiswa dapat memahami konsep kriteria keterbagian dan menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Sistem Bilangan POKOK BAHASAN a. Sistem Bilangan dengan basis 10 (desimal) TUJUAN Sistem bilangan dengan basis (dasar) 10 artinya menyajikan bilangan berdasarkan pengelompokan yang terdiri atas 10 buah. MATERI  sepuluhan + 7 buah. Notasi : 67 ILLUSTRASI LATIHAN Dalam sistem desimal, bilangan N = 34256 dapat disajikan dengan N = 3.104 + 4.103 + 2.102 + 5.101 + 6 SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Sistem Bilangan POKOK BAHASAN b. Sistem bilangan dalam basis tertentu Bilangan bulat N = (anan-1. . .a2a1a0)b dalam basis b dapat disajikan dengan N =. an bn + an-1 bn-1 + . . . + a2 b2 + a1b + a0 dengan b > 1 dan 0  ak < b. TUJUAN MATERI Contoh 1 Nyatakan bilangan bulat 105 dalam basis 2, dan sebaliknya tentukan bilangan bulat yang dalam sistem biner (1001111)2. ILUSTRASI LATIHAN Jawab: 105 = (1101001)2 SELESAI (1001111)2 = 79

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kriteria Keterbagian POKOK BAHASAN a. Kriteria keterbagian dengan bilangan 2 TUJUAN Bilangan bulat N = (anan-1. . .a2a1a0) dalam sistem desimal disajikan sebagai berikut N =. an 10n + an-110n-1 + . . . + a2102 + a110 + a0 dengan 0  ak < 10. MATERI Karena 2 | 10k untuk setiap bilangan asli k, N dapat ditulis N = 2q + a0  a0 = N – 2q ILLUSTRASI 2 | N  a0 = 2(p – q) LATIHAN  2 | N  2 | a0 (2 membagi angka satuannya) b. Apa kriteria keterbagian dengan bilangan 4 ? SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kriteria Keterbagian POKOK BAHASAN c. Kriteria keterbagian dengan bilangan 9 TUJUAN N =. an 10n + an-110n-1 + . . . + a2102 + a110 + a0 Karena 10 ≡ 1 (mod 9) maka 10k ≡ 1 (mod 9) Perhatikan: an 10k ≡ an (mod 9) MATERI an-1 10k-1 ≡ an-1 (mod 9) . a1 10 ≡ a1 (mod 9) a0 ≡ a0 (mod 9) ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI Jadi, N ≡ (an+ an-1+ . . . + a1 + a0) (mod 9) sehingga 9 | N  9 | (an+ an-1+ . . . + a1 + a0)

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kriteria Keterbagian POKOK BAHASAN d. Kriteria keterbagian dengan bilangan 11 TUJUAN N =. an 10n + an-110n-1 + . . . + a2102 + a110 + a0 Karena 10 ≡ –1 (mod 9) maka 10k ≡ (–1)k (mod 9) Perhatikan: an 10k ≡ an (mod 9) misalkan n genap MATERI an-1 10k-1 ≡ –an-1 (mod 9) . a1 10 ≡ –a1 (mod 9) a0 ≡ a0 (mod 9) ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI Jadi, N ≡ (an – an-1+ . . . – a1 + a0) (mod 9) sehingga 9 | N  9 | (an – an-1+ . . . – a1 + a0)

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Illustrasi 1: Periksa apakah bilangan N = 1.571.724 habis dibagi dengan 9 atau 11 ? POKOK BAHASAN Illustrasi 2: Tanpa melakukan proses pembagian, tentukan angka a dalam perkalian dua bilangan  512 . 1a53125 = 1.000.000.000 TUJUAN MATERI Illustrasi 3: Jika bilangan dengan 18 angka A36 405 489 812 706 44B habis dibagi dengan 99, carilah semua nilai yang mungkin dari pasangan terurut (A, B). ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (1) POKOK BAHASAN 1. Nyatakan bilangan bulat di bawah ini ke dalam basis yang diberikan a. 326 = (……….)4 b. 654 = (……….)5 2143 = (………)8 2. Nyatakan bilangan dalam basis yang diberikan ke dalam bilangan dengan basis tertentu a. (324)5 = (………)3 b. (1231)4 = (………)6 c. (11021)3 = (……....)7 Tentukan bilangan dalam basis yang diberikan dari hasil perhitungan di bawah ini: a. (12013)4 + (31121)4 = (………..)4 (32141)5 – (11314)5 = (………..)5 c. (231)6 x (123)6 = (………..)6 (11021)3 + (2103)4 = (………..)5 5. Tanpa melakukan pembagian, tentukan apakah bilangan 176.521.221 dan 49.235.678 dapat dibagi dengan 9 atau 11. TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (2) POKOK BAHASAN 6. Kerjakan dengan modulo 9 atau 11 untuk mencari angka-angka yang tidak muncul pada perhitungan di bawah ini. a. 51840 . 273581 = 1418243x040 b. 2x99561 = [3(523 + x)]2 c. 2784x = x . 5569 7. Carilah sisa pembagiannya apabila bilangan 122333444455555666666777777788888888999999999 dibagi dengan 9. 8. Untuk sembarang bilangan bulat a, tunjukkan bahwa angka terakhir dari a2 – a + 7 adalah salah satu dari angka-angka 3, 7 atau 9. 9. Carilah sisanya apabila 44444444 dibagi dengan 9. 10. Dengan mengasumsikan bahwa 495 membagi 273x49y5, tentukan angka-angka x dan y. 11. Tentukan angka terakhir dari bilangan 7999. [Petunjuk: Gunakan modulo 10] TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (3) POKOK BAHASAN 12. Tentukan angka satuan dari 172013. 13. Misalkan diberikan bilangan bulat positif N. Misalkan M adalah bilangan bulat yang dibentuk dengan cara menyusun sebaliknya dari susunan angka-angka dalam N (sebagai contoh, jika N = 6923, maka M = 3296). Periksalah bahwa bilangan N – M dapat dibagi dengan 9. Bilangan palindrome adalah bilangan yang dibaca baik dari depan maupun dari belakang adalah sama (sebagai contoh, 373 dan 521125 adalah bilangan palindrom). Buktikan bahwa setiap bilangan palindrome yang banyak angka-angkanya genap dapat dibagi dengan 11. TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI Terima kasih ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI