BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi dan Sifat-Sifat Dasarnya POKOK BAHASAN Pertemuan Ke-10 : Kongruensi dan Sifat-Sifat Dasarnya TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Tujuan Pembelajaran TUJUAN Mahasiswa dapat memahami konsep kongruensi dan sifat-sifat dasarnya menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pengertian Kongruensi POKOK BAHASAN Menurut Gauss, “ Jika suatu bilangan n mengukur perbedaan antara dua bilangan a dan b, maka a dan b dikatakan kongruen terhadap n”. TUJUAN Pengertian mengukur dalam pernyataan itu maksudnya adalah bahwa panjang (modulus) n dapat membagi habis perbedaan antara kedua bilangan itu. MATERI ILLUSTRASI Definisi: Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, dinotasikan dengan  a ≡ b (mod n) jika n | (a – b) LATIHAN Contoh 1: 3 ≡ 24 (mod 7), –31 ≡ 11 (mod 7) –15 ≡ –64 (mod 7) SELESAI Contoh 2: 25 ≡ 12 (mod 7) /

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pengertian Kongruensi POKOK BAHASAN Berikan contoh kongruensi dalam kehidupan sehari-hari ! Di dalam kongruensi a ≡ b (mod n) Berapakah nilai n yang menarik untuk dibicarakan ? TUJUAN MATERI Berdasarkan definisi a ≡ b (mod n) bagaiamanakah hubungan bilangan a, b dan n dengan pembagi, hasil bagi dan sisa ? ILUSTRASI Kita mengetahui bahwa –33 ≡ 9 (mod 7) –33 ≡–12 (mod 7) –33 ≡ 2 (mod 7) Manakah yang merupakan sisa pembagian dari -33 dengan 7 ? LATIHAN Salah satu masalah yang akan diselesaikan terkait kongruensi adalah tentukan sisa pembagian 532012 dibagi dengan 7 SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Sifat-Sifat Dasar Kongruensi POKOK BAHASAN Misalkan a, b, c, d, dan n > 1 adalah bilangan bulat a ≡ a (mod n) a ≡ b (mod n)  b ≡ a (mod n) a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)  a ≡ c (mod n) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  a + c ≡ b + d (mod n) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  ac ≡ bd (mod n) (5) a ≡ b (mod n)  a + c ≡ (b + c) mod n dan ac ≡ bc (mod n) (6) a ≡ b (mod n)  ak ≡ bk (mod n) untuk k  N TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Illustrasi 1 : Tentukan sisa pembagian bilangan 532012 dibagi dengan 7. POKOK BAHASAN Pembahasan TUJUAN Kita akan mencari bilangan bulat a dengan 0  a < 7 sehingga 532012 ≡ a (mod 7) MATERI Perhatikan 53 ≡ 4 (mod 7)  533 ≡ 43 (mod 7)  533 ≡ 1 (mod 7) ILLUSTRASI  (533)670 ≡ 1670 (mod 7)  532010 ≡ 1 (mod 7) LATIHAN  532010 . 532 ≡ 1 . 532 (mod 7)  532012 ≡ 532 (mod 7) SELESAI Ini artinya 532012 dibagi 7 sisanya adalah 2  532012 ≡ 2 (mod 7)

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Illustrasi 2 : Gunakan kongruensi untuk membuktikan bahwa 7 | 52n + 3 . 25n-2 POKOK BAHASAN Pembahasan TUJUAN Kita akan membuktikan bahwa 52n + 3 . 25n-2 ≡ 0 (mod 7) Perhatikan 52 ≡ 4 (mod 7) MATERI  52n ≡ 4n (mod 7) (1) Sedangkan 25 ≡ 4 (mod 7)  25(n – 1) ≡ 4(n – 1) (mod 7) ILLUSTRASI  25(n – 1) . 23 ≡ 4(n – 1) . 23 (mod 7)  25n – 2 ≡ 4(n – 1) (mod 7) LATIHAN  3. 25n – 2 ≡ 3. 4(n – 1) (mod 7) (2) Dari (1) dan (2) : 52n + 3.25n-2 ≡ 4n + 3.4n-1 (mod 7)  52n + 3.25n-2 ≡ 4. 4n-1 + 3.4n-1 (mod 7) SELESAI  52n + 3.25n-2 ≡ 7. 4n-1 (mod 7)  52n + 3.25n-2 ≡ 0 (mod 7) Ini artinya 7 | 52n + 3 . 25n-2

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (1) POKOK BAHASAN 1. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini: a. Jika a ≡ b (mod n) dan m | n, maka a ≡ b (mod m) b. Jika a ≡ b (mod n) dan c > 0 maka ca ≡ cb (mod n) c. Jika a ≡ b (mod n) dan bilangan bulat a, b, n semuanya dapat dibagi dengan d > 0 maka a/d ≡ b/d (mod n/d) Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa a2 ≡ b2 (mod n) tida perlu mengakibatkan bahwa a ≡ b (mod n) Jika a ≡ b (mod n), buktikan bahwa fpb(a, n) = fpb(b, n) 4. Carilah sisanya apabila 250 dan 4165 dibagi dengan 7 5. Carilah sisa pembagian bilangan dibagi dengan 7. 6. Berapakah sisanya apabila jumlah dari bilangan-bilangan 15 + 25 + 35 + . . . + 995 + 1005 dibagi dengan 4. TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (2) POKOK BAHASAN Buktikan bahwa 53103 + 10353 dapat dibagi dengan 39, dan bahwa 111333 + 333111 dapat dibagi dengan 7. Untuk n > 1 , gunakan teori kongruensi untuk memeriksa pernyataan pembagian di bawah ini a. 13 | 3n+2 + 42n+1 b. 27 | 25n+1 + 5n+2 c. 43 | 6n+2 + 72n+1 9. Gunakan teori kongruensi untuk memerika bahwa 89| 244 – 1 dan 97 | 248 –1 Buktikan bahwa apabila ab ≡ cd (mod n) dan b ≡ d (mod n) dengan fpb(b, n) = 1, maka a ≡ c (mod n). Jika a ≡ b (mod n1) dan a ≡ c (mod n2), buktikan bahwa b ≡ c (mod n) di mana bilangan bulat n = fpb(n1, n2) TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI Terima kasih ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI