TEORI ANTRIAN

KOMPONEN : FASILITAS PELAYANAN / SERVER ANTRIAN POPULASI O O SERVER

KARAKTERISTIK SISTEM ANTRIAN : KAPASITAS PELAYANAN ATURAN PELAYANAN ATURAN ANTRIAN

λ = RATA² KEDATANGAN DEFINISI : μ = RATE PELAYANAN Pn = PROBABILITAS BHW DI DLM SISTEM TDPT n PELANGGAN ρ = λ / μ = FAKTOR UTILITAS L = RATA² BANYAKNYA PELANGGAN DLM SISTEM Lq = RATA² BANYAKNYA PELANGGAN YG ANTRI W = RATA² LAMA PELANGGAN DLM SISTEM Wq = RATA² LAMA PELANGGAN ANTRI

NOTASI SISTEM ANTRIAN : A / B / C / D / E / F KETERANGAN : A : DISTRIBUSI WAKTU ANTAR KEDTG. PELANGGAN KE DLM SISTEM μ ~ - WAKTU ANTAR KEDTG. BERDIST. EXPONENSIAL - BANYAKNYA PELANGGAN YG. DTG. PER SATUAN WAKTU BERDIST. POISSON G ~ - WAKTU ANTAR KEDTG. BERDIST. SELAIN EXPONENSIAL D ~ - WAKTU ANTAR KEDTG. ADL. KONSTAN B : DISTR. WAKTU PELAYANAN ~ μ, G, D C : BANYAKNYA SERVER DLM SISTEM ~ 1, 2, 3, …, n D : KAPASITAS SISTEM [ YG. ANTRI + YG DILAYANI ] → …. ~ E : BANYAKNYA POPULASI → …. ~ F : SISTEM ANTRIAN ~ First Come First Server

Diagram Transisi State : Sistem antrian dpt digbrkan dlm diagram transisi state sbb : ( State : banyaknya pelanggan dlm antrian ) 1. Sistem Antrian : μ / μ / 1 1 2 3 λ μ

Rate masuk ( µ.P1) = Rate keluar ( .P0 ) 1. Sistem Antrian : μ / μ / 1 Faktor utilitasnya :  =  / µ Dlm keadaan Steady State : Rate masuk ( µ.P1) = Rate keluar ( .P0 ) → P1 = (  / µ ) P0 =  . P0 Dimana : P0 = 1 -  , bila  < 1 → ada kemungkinan sist kosong P0 = 0 , bila   1 → sist selalu penuh L =  n Pn → L =  / ( µ -  ) =  . W  W = 1 / ( µ -  ) ~ n = 0

2. Sistem Antrian : μ / μ / S 1 2 λ μ 2μ 3μ S-1 S S + 1 λ sμ S + 2 1 2 λ μ 2μ 3μ S-1 S S + 1 λ sμ S + 2 ( S-1 )μ

Pm = m / ( m ! µm ) P0 → untuk m ≤ s 2. Sistem Antrian : μ / μ / S Faktor utilitasnya :  =  / ( S . µ ) Didptkan rumus : Pm = m / ( m ! µm ) P0 → untuk m ≤ s Pm = m / ( Sm-s S ! µm ) P0 → untuk m ≥ s Keterangan : Agar sistem tetap stabil, maka disyaratkan  < 1

Adalah sistem antrian dengan : Pelanggan dtg mnrt proses Poisson 3. Sistem Antrian : μ / G / 1 Adalah sistem antrian dengan : Pelanggan dtg mnrt proses Poisson Waktu pelayanan tiap pelanggan berdist. Sembarang Jumlah server adlh 1 Dpt dirumuskan : Lq = ( 2 2 + P2 ) / { 2 ( 1 -  ) Wq = Lq /  W = Wq + 1/µ L =  . W Ket. : 2 = Variance dr waktu pelayanan 1/µ = Mean dr waktu pelayanan

4. Sistem Antrian : μ / μ / 1 / N Balance Equation → Leaving Rate = Entering Rate Untuk n = 0 → .P0 = µ.P1 → P1 = (  / µ ) P0 Bila 1 < n < n – 1, mk .Pn + µ.Pn = .Pn – 1 + µ.Pn - 1 Dmn untuk n = N → µ.Pn = .Pn – 1 Pn = (  / µ )2 P0 Maka untuk 1 ≤ n ≤ N → n [ ( 1- ) / (1-N+1 ) ] λ n-1 n n + 1 μ 1 λ μ

PROSEDUR PENYELESAIAN SISTEM ANTRIAN TULISKAN NOTASI SISTYEM ANTRIAN GAMBARKAN DIAGRAM TRANSISI STATE FORMULASIKAN MASALAH a. CARI Pn b. CARI L =  n Pn c. CARI W = L /  d. CARI Wq = W – 1/µ e. CARI Lq =  . Wq SOLUSI ¯ ¯

Contoh : Suatu kantor pos cabang dilayani oleh satu orang. Orang datang ke kantor pos ini rata-rata 10 org/jam. Lamanya pelayanan rata-rata 3 menit/org. a. Brp prob bhw petugas tidak sibuk b. Hitung rata2 banyaknya pelanggan di kantor pos tsb pd suatu saat c. Brp lama pelanggan hrs berada di kantor pos sampai keperluannya selesai Asumsi  dan µ berdist. exponensial

Sistem antrian M/M/1  = 10/jam 1/µ = 3 menit µ = 60/3 = 20/jam  = /µ = 10/20 = 1/2 λ λ λ 1 2 μ μ μ Po = 1 -  = 1 – ½ = ½ L =  / (1 -  ) = 1 pelanggan W = L/ = 1/10 jam = 6 menit atau W = 1/ (µ - ) = 1/ (20 – 10) = 1/10 jam = 6 menit

Suatu perusahaan pertambangan lepas pantai mempunyai 4 generator sejenis. Apabila rusak, maka generator dikirim ke bengkelnya yg ada di Surabaya. Bengkel punya 2 tenaga reparasi, yg bekerja independen. Waktu reparasi berdist. Exponensial dg mean ½ bln. Selang waktu antar kerusakan rata2 = 1 bln. Generator yg sudah baik akan dipakai sampai rusak. Dik :  = 1 genrtr/bln 1/µ = ½ bln/generator µ = 1/ (1/2) = 2 genrtr/bln

Sistem antrian : M/M/2/4/4 4 3 2 1 1 2 4 3 2 4 4 4

Po + P1 + P2 + P3 + P4 = 1 Po ( 1+ 2 + 3/2 + ¾ + 3/16 ) = 1 Po = 16/87 P2 = 24/87 P4 = 3/87 P1 = 32/87 P3 = 12/87 Rata2 banyak generator rusak = rata banyak pelanggan dlm sistem ( L ). L =  n Pn = 0 Po + 1 P1 + 2 P2 + 3P3 + 4 P4 = 0 + 32/87 + 48/87 + 36/87 + 12/87 = 128/87 Rata2 lama generator rusak sampai selesai diperbaiki = Rata2 lama pelanggan dlm sistem (W)  = 4Po + 3P1 + 2P2 +1P3 + 0Po = 4 . 16/87 + 3 . 32/87 ....... = 220/87

W = L/ = (128/87) : (220/87) = 0,6 bulan Bila generator tdk rusak, perusahaan akan menghemat $ 1000. Bila rusak ongkos reparasi $ 200. Gaji tenaga bengkel $ 300 per bulan. Hitung, apakah dengan mempunyai 4 generator tersebut perusahaan dpt menghemat atau malah rugi. Jumlah generator tdk rusak = 4 – (128/87) = 2,5 Penghematan = 2,5 x $ 1000 = $ 2500 Untuk reparasi = 1,5 x $ 200 = $ 300 Gaji tkg reprs = 2 x $ 300 = $ 600 Sehingga perusahaan masih dapat menghemat = $ (2500 – 900) = $ 1600