Bab 4 Lingkaran 6 April 2017

Peta Konsep Pada Lingkaran Persamaan Lingkaran Kedudukan Titik terhadap Lingkaran Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran Pusat O (0,0) Pusat P (a,b) Bentuk Umum Memotong Dua Titik Tidak Memotong Pada Di Dalam Di Luar Di Satu Titik= Menyinggung Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Singgung Bergradien m Melalui Titik Di luar Lingkaran 6 April 2017

Prasyarat 1. Gambarlah sebuah lingkaran. Dari gambar yang kalian buat, jelaskan apa yang dimaksud dengan busur lingkaran, titik pusat, jari-jari, tali busur, diameter, sudut pusat, sudut keliling, tembereng, dan garis singgung lingkaran. Tunjukkan dengan gambar. 2. Tentukan luas dan keliling lingkaran yang mempunyai panjang jari-jari 21 cm. 3. Buatlah garis dan persamaan x + y = 5 pada bidang Cartesius. Berbentuk apakah garis itu? 6 April 2017

A. Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang datar) yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran. Titik C adalah titik pusat. Jarak titik-titik itu ke pusat lingkaran dinamakan jari-jari lingkaran. C P Q R S 6 April 2017

1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari r Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di O dan berjari-jari r maka: x2 + y2 = r2 L = {(x, y) | x2 + y2 = r2} 6 April 2017

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik P(6, 8). Jawab: Lingkaran berpusat di O(0, 0). Titik P(6, 8), berarti x = 6 dan y = 8. Akibatnya, r2 = 62 + 82 = 100. Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100. 6 April 2017

{(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2} 2. Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a, b) dan Berjari-jari r Persamaan lingkaran berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r adalah Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di P dan berjari-jari r maka: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 {(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2} 6 April 2017

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(4, 6) dan menyinggung garis x = 2. Jawab: Pusat P(4, 6) dan menyinggung garis x = 2. Jadi, jari-jari lingkaran adalah 4 – 2 = 2. (x – 4)2 + (y – 6)2 = 22 (x – 4)2 + (y – 6)2 = 4 6 April 2017

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran x2 + y2 + 2Ax+ 2By + C = 0 Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 mempunyai pusat P(–A, –B) dan jari-jari 6 April 2017

Contoh: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0. Jawab: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0. 2A = –6 A = –3 2B = –4 B = –2 C = –3 P(–A, –B) = P(–(–3), –(–2)) = P(3, 2) 6 April 2017

B. Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran Kedudukan Titik terhadap Lingkaran a. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran Berpusat di O(0, 0) Titik A dan P di dalam lingkaran. Titik C dan R di luar lingkaran. Titik B dan Q pada lingkaran. Kedudukan tersebut ditentukan berdasar ketentuan berikut. 6 April 2017

Titik A(p, q) terletak di dalam lingkaran berpusat O(0, 0) jika x2 + y2 < r2. Titik A(p, q) terletak pada lingkaran berpusat O(0, 0) jika x2 + y2 = r2. Titik A(p, q) terletak di luar lingkaran berpusat O(0, 0) jika x2 + y2 > r2. 6 April 2017

b. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Berpusat di P(a, b) Titik A(p, q) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) jika (x – a)2 + (y – b)2 < r2. Titik A(p, q) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) jika (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Titik A(p, q) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) jika (x – a)2 + (y – b)2 > r2. Y L’ P(a, b) b L X a 6 April 2017

Tentukan kedudukan titik Contoh: Tentukan kedudukan titik a. K(2, 3) terhadap lingkaran L : x2 + y2 = 25; b. K(4, 5) terhadap lingkaran L : (x – 1)2 + (x – 3)2 = 9. Jawab: Titik K(2, 3); Lingkaran L berpusat di O(0, 0). 22 + 32 = 13 < 25 Titik K terletak di dalam lingkaran L. Titik K(4, 5); Lingkaran L berpusat di P(1, 3). (4 – 1)2 + (5 – 3)2 = 13 > 9 Titik K di luar lingkaran L. 6 April 2017

2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran Misal persamaan lingkaran L = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan garis g : y = mx + n. Substitusi persamaan g ke L memperoleh bentuk ax2 + bx + c = 0, dengan diskriminan. Kedudukan garis ditentukan nilai D. Jika D < 0, garis g tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran L. Jika D = 0, garis g menyinggung lingkaran L. Jika D > 0, garis g memotong di dua titik pada lingkaran L. D = b2 – 4ac 6 April 2017

Contoh: Tentukan kedudukan garis y = 2x terhadap lingkaran x2 + y2 = 25. Jawab: Substitusi y = 2x ke persamaan x2 + y2 = 25 sehingga diperoleh x2 + (2x)2 = 25 5x2 – 25 = 0 D = 02 – 4(5)(–25) = 500 > 0. 5(x - )(x + ) = 0 x1 = − dan x2 = . Substitusikan x1 dan x2 ke y = 2x sehingga diperoleh titik potongnya, yaitu (− , −2 ) dan ( , 2 ). 6 April 2017

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik R(x1, y1) seperti pada gambar adalah x1x + y1y = r2 6 April 2017

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 di titik Q(x1, y1) seperti pada gambar di atas adalah (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 6 April 2017

Contoh 1: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 di titik A(1, ). Jawab: Titik A(1, ) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 4 (tunjukkan). Dengan menggunakan rumus x1x + y1y = r2, diperoleh 1(x) + y = 4 x + y – 4 = 0 Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah x + y – 4 = 0. 6 April 2017

Contoh 2: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 di titik B(–1, 2). Jawab: (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 (–1 – 1)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4 (–2)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4 –2(x – 1) = 4 –2x = 2 x = –1 Jadi, garis singgung yang dimaksud adalah x = –1. 6 April 2017

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 Agar mudah diingat! Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2. x1x + y1y = r2 Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2. (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2+ 2Ax + 2By + C = 0. x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0 6 April 2017

2. Garis Singgung Lingkaran jika diketahui Gradiennya Misal persamaan ling-karan L : x2 + y2 = r2 dan garis singgungnya y = mx + n. Nilai n ditentukan dengan langkah-langkah berikut. Langkah 1: Substitusikan y = mx + n ke persamaan x2 + y2 = r2 Persamaan kuadrat hasil substitusi variabel x, yaitu (1 + m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0. 6 April 2017

Langkah 2: Tentukan nilai diskriminan D Langkah 2: Tentukan nilai diskriminan D. D = 0 (karena garis menyinggung lingkarannya). D = –4(n2 – r2 – m 2r2) = 0 sehingga diperoleh Langkah 3: Dengan menyubstitusikan nilai n1 dan n2 diperoleh persamaan garis singgung . Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah sebagai berikut. 6 April 2017

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 dengan gradien 3. Jawab: r = m = 3. Jadi, persamaan garis singgungnya ada 2, yaitu 1. 2. 6 April 2017

3. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Persamaan garis singgung yang melalui titik C di luar lingkaran seperti pada gambar adalah y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1. 6 April 2017

Langkah-langkahnya: Langkah 1: Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Langkah 2: Tentukan nilai diskriminan D dari persamaan yang diperoleh pada Langkah 1. Karena persamaan garis singgung, syaratnya D = 0. Dengan demikian, akan diperoleh nilai m. Langkah 3: Substitusikan kedua nilai m ke persamaan y= mx – mx1 + y1 sehingga diperoleh dua persamaan garis singgung yang dimaksud. 6 April 2017

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang ditarik dari titik (10, 0) di luar lingkaran. Jawab: Gradien m melalui titik (10, 0) di luar lingkaran. y = mx – mx1 + y1 y = mx – m(10) + 0 y = mx – 10m. Langkah 1: Substitusikan y = mx – 10m ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 x2 + (mx – 10m)2 = 25 x2 + (m2x2 – 20m2x + 100m2) – 25 = 0 (1 + m2)x2 – 20m2x + (100m2 – 25) = 0 6 April 2017

Nilai diskriminan D = b2 – 4ac = (–20m2)2 – 4(1 + m2)(100m2 – 25) Langkah 2: Nilai diskriminan D = b2 – 4ac = (–20m2)2 – 4(1 + m2)(100m2 – 25) = 400m4 – 400m2+ 100 – 400m4 + 100m2 = –300m2 + 100 D = 0 –300m2 + 100 = 0 300m2 = 100 6 April 2017

Langkah 3: Substitusikan m1 dan m2 ke y = mx – 10m Langkah 3: Substitusikan m1 dan m2 ke y = mx – 10m. Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah dan 6 April 2017

Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah y – y1 = m(x – x1), dengan Persamaan garis singgung lingkaran berpusat O(0, 0), jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah y – y1 = m(x – x1), dengan 6 April 2017

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 yang melalui titik (8, 0). Jawab: Diketahui a = 1, b = 2, r = 2, x1 = 8, dan y1 = 0. Kita tentukan gradien (m) terlebih dahulu. 6 April 2017

Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah y – y1 = m(x – x1) y – 0 = 0(x – 8) y = 0 dan 6 April 2017