Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 6 April 2017

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Peta Konsep Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers mempelajari Operasi Fungsi Komposisi Fungsi Invers Fungsi membahas membahas membahas Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Sifat-Sifat Sifat-Sifat Invers Fungsi Komposisi Fungsi Komposisi Fungsi Invers 6 April 2017

Prasyarat 1. Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya. 2. Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, dan range? 3. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukan a. domain dan range fungsi itu; b. f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t2). 6 April 2017

A. Fungsi dan Jenis-Jenisnya 1. Pengertian Fungsi Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dalam hal ini setiap x  A dipasangkan dengan tepat satu y  B. Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, dan f menyatakan fungsi dari A ke B, dengan aturan seperti diagram berikut. Daerah asal (domain) dari f adalah A = {a, b, c, d}. Daerah kawan (kodomain) dari f adalah B = {1, 2, 3, 4}. Daerah hasil (range) dari f adalah {2, 3}. 6 April 2017

2. Sifat-Sifat Fungsi a. Fungsi Surjektif Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika Rf = B. Gambar di bawah ini merupakan fungsi surjektif karena setiap kodomain mempunyai pasangan atau Rf = B. 6 April 2017

b. Fungsi Injektif Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika a1, a2  A dan a1 ≠ a2 maka berlaku f(a1) ≠ f(a2). Gambar di bawah ini menunjukkan fungsi injektif karena setiap anggota domain fungsi berbeda mempunyai peta yang berbeda pula. 6 April 2017

c. Fungsi Bijektif Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif. Gambar di atas merupakan fungsi surjektif karena range fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau Rf = B. 6 April 2017

Tentukan jenis fungsi f : R → R (R adalah himpunan Contoh: Tentukan jenis fungsi f : R → R (R adalah himpunan bilangan real) yang didefinisikandengan f(x) = 2x. Jawab: Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapat satu pasangan bilangan real, yaitu 2a. Demikian pula untuk setiap anggota kodomain mendapat pasangan bilangan real dari domain. Artinya, setiap bilangan real 2a, pasti akan ditemukan bilangan real a (dalam domain). Jadi, fungsi tersebut bersifat injektif dan surjektif (atau bijektif). 6 April 2017

B. Operasi Aljabar Pada Fungsi Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x). Jika Df domain fungsi f dan Dg domain fungsi g, Df ∩ Dg ≠  maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut. 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2. (f – g)(x) = f(x) – g(x) 3. (f × g)(x) = f(x) × g(x) 4. 6 April 2017

Contoh: Diketahui f(x) = x2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5 Contoh: Diketahui f(x) = x2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. Tentukan g(x). Jawab: (f + g)(x) = f(x) + g(x)  x2 + 5 = (x2 + 3x – 1) + g(x)  g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)  g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1  g(x) = –3x + 6 6 April 2017

C. Fungsi Komposisi 1. Pengertian Fungsi Komposisi Misalkan diberikan fungsi f: R → R dan g: R → R. Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x + 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2. Untuk x = 1 → f(1) = 1 + 1 x = 2 → f(2) = 2 + 1 x = t → f(t) = t + 1 Jika x diganti g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + 1. 6 April 2017

Fungsi f(g(x)) di tulis (f o g)(x). Fungsi f o g dibaca “f bundaran g”. Misalkan fungsi f : A → B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B → C dengan g(b) = c. Komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca: g bundaran f) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan berikut. (g o f)(a) = g(f(a)) 6 April 2017

f o g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)} Contoh: Diketahui f = {(6, –2), (8, –1), (10, 0), (12, 1)}; g = {(–2, 8), (–1, 10), (0, 12), (1, 6)}. Tunjukkan hubungan f o g dan g o f dalam diagram. Tentukan f o g dan nilai (g o f )(10). Jawab: f o g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)} Dengan memperhatikan diagram, diperoleh (g o f)(10) = 12. 6 April 2017

2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan Misalkan diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan pasangan berurutan berikut. f = {(0, p), (1, q), (2, 5), (3, 5)} g = {(p, 1), (s, 2), (t, 7), (u, 0)} Mari kita selidiki komposisi fungsi f o g dan g o f. (b) (a) 6 April 2017

 Komposisi fungsi f o g berarti pemetaan pertama fungsi g dilanjutkan pemetaan kedua fungsi f. Berdasarkan diagram (a) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan (f o g ) = {(p, q), (s, r), (u, p)}.  Komposisi fungsi (g o f) berarti pemetaan pertama fungsi f dilanjutkan pemetaan kedua fungsi g. Berdasarkan diagram (b) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan g o f = {(0, 1), (3, 2)}.  Syarat agar fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi (f o g) adalah apabila range fungsi g merupakan himpunan dari domain f atau Rg  Df. 6 April 2017

b. (g o f)(x) = g(f(x)) 3. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi Misalkan diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut. f(x) = 5x – 4 g(x) = 2x + 8 h(x) = x2 Fungsi komposisi f o g dan g o f adalah sebagai berikut. a. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 8) = 5(2x + 8) – 4 = 10x + 36 b. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(5x – 4) = 2(5x – 4) + 8 = 10x 6 April 2017

(f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x2 + 1; Dari hasil di atas tampak bahwa f o g ≠ g o f sehingga fungsi komposisi tidak bersifat komutatif, tetapi fungsi komposisi berlaku sifat asosiatif. Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan real dengan f(x) = 2x2 + 1 dan I(x) = x. Perhatikan: (f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x2 + 1; (I o f)(x) = I(f(x)) = I(2x2 + 1) = 2x2 + 1 = f(x). Terlihat bahwa (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). Jadi, I(x) = x merupakan fungsi identitas dalam fungsi komposisi. 6 April 2017

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi: a Sifat-Sifat Komposisi Fungsi: a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x). c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). 6 April 2017

4. Menentukan Fungsi yang Diketahui Fungsi Komposisinya Contoh: Diketahui fungsi (f o g)(x) = –15x + 5 dan fungsi f(x) = 3x + 2. Tentukan fungsi g. Jawab: Karena (f o g)(x) = f(g(x)), berarti f(g(x)) = –15x + 5 3(g(x)) + 2 = –15x + 5 g(x) = g(x) = –5x + 1 Jadi, g(x) = –5x + 1. 6 April 2017

D. Fungsi Invers 1. Pengertian Invers Suatu Fungsi Definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut. Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan f = {(x, y) | x Є A, y Є B} maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B → A, dengan f-1 = {(y, x) | y Є B, x Є A} Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A jika dan hanya jika f bijektif atau A dan B korespondensi satu-satu. 6 April 2017

Contoh: Diketahui fungsi f : A → B dengan A = {1, 3, 5}, dan B = {2, 4, 6, 8}, dan f dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah fungsi. Jawab: f-1 : B → A , yaitu f-1 = {(2, 1), (6, 3), (8, 5)}. Invers fungsi f adalah relasi biasa (bukan fungsi) karena ada sebuah anggota B yang tidak dipetakan ke A, yaitu 4. 6 April 2017

2. Menentukan Invers Suatu Fungsi Misal f-1 adalah invers f maka x = f-1(y). Rumus x = f-1(y) dapat diperoleh dengan langkah berikut. a. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi x = g(y). Karena x = f-1(y) maka diperoleh bentuk f-1(y) = g(y). b. Setelah memperoleh bentuk f-1(y) = g(y), gantilah variabel y dengan variabel x sehingga akan diperoleh f-1(x) yang sudah dalam variabel x. 6 April 2017

Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi f(x) = 5x + 2. Jawab: Contoh: Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi f(x) = 5x + 2. Jawab: y = f(x) y = 5x + 2 5x = y – 2 x f -1(y) 6 April 2017

3. Komposisi Suatu Fungsi dengan Inversnya Untuk mengetahui tentang hubungan invers dengan komposisi fungsi perhatikan uraian berikut. Misal f(x) = x + 5. Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu y = f(x)  y = x + 5  x = y – 5  f-1(y) = y – 5 Jadi, f-1(x) = x – 5. 6 April 2017

Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f-1 berikut Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f-1 berikut. 1) (f o f-1)(x) = f(f-1(x)) = f(x – 5) = (x – 5) + 5 = x 2) (f-1 o f)(x) = f-1(f(x)) = f(x + 5) = (x + 5) – 5 = x Dengan demikian, diperoleh (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x. Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya (atau sebaliknya) akan menghasilkan fungsi identitas sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x = I(x) 6 April 2017

4. Domain, Kodomain, Dari Grafik Fungsi dan Inversnya Contoh: Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. a. Carilah f-1(x). b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers. Jawab: a. f(x) = 2x + 6 Misalkan y = f(x). Dengan demikian, y = 2x + 6 2x = y – 6 x = y −3 f -1(y) = y − 3 6 April 2017

b. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau ditulis Df = {x | x  R}. Domain dari f-1(x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah semua bilangan anggota himpunan bilangan real. Jika digambarkan dalam bidang Cartesius, tampak seperti gambar berikut. 6 April 2017

Grafik f-1(x) diperoleh dari hasil pencerminan grafik f(x) terhadap sumbu y = x. 6 April 2017

E. Invers Fungsi Komposisi Invers dari fungsi komposisi f o g adalah (f o g) -1(x) = (g -1 o f -1)(x) Demikian sebaliknya, invers fungsi komposisi g o f adalah (g o f )-1 (x) = (f -1 o g-1)(x) 6 April 2017

Contoh: