BAB 4. SISTEM PERSAMAAN LINEAR Definisi: [Persamaan linear] Suatu persamaan dalam n variabel x1, x2, …, xn dikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk di mana c1, c2, …, cn dan k adalah konstanta real. Definisi: [Sistem persamaan linear] Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk di mana aij dan bi , i = 1, 2, .., n ; j = 1, 2,…, m adalah konstanta real, sedangkan xi, i = 1, 2, .., n merupakan variabel atau peubah. Catatan: SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: AX = B di mana

Catatan: 1. A disebut matriks koefisien 2. (A|B) disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng 3. Jika B = 0, SPL disebut SPL homogen 4. Jika B  0, SPL disebut SPL takhomogen Contoh: 1. Periksa apakah persamaan di bawah ini linear ataukah tidak. a. 2x1 + x2 – x3 = 0 b. x1 + x2 x3 + x4 = 0 c. sin x1 + x2 + 3 x3 = 2 b. x1 + x2 - 2x3 = x4 +1 2. Tuliskan SPL berikut kedalam bentuk perkalian matriks dan matriks yang diperbesar. 3. Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut.

4.2 KEKONSISTENAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Definisi: [Penyelesaian SPL] Penyelesaian atau solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s1, s2, …, sn) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s1, s2, …, sn) berkorespondensi secara berurutan dengan (x1, x2, …, xn). Penyelesaian SPL tidak ada tunggal banyaknya takhingga Illustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut ada tiga yaitu: y y y x x x Tidak ada penyelesaian Penyelesaian tunggal Banyak penyelesaian

Definisi: [Kekonsistenan SPL] Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang-kurangnya memiliki satu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak mempunyai penyelesaian. Teorema: [Kekonsistenan SPL] Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo mn, konsisten jika dan hanya jika p(A) = p(A|B). Jika SPL konsisten dan 1. p(A) = n, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. 2. p(A) < n, maka SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Catatan: 1. SPL homogen AX = 0 selalu konsisten, karena X = 0 adalah penyelesaian SPL tersebut. 2. X = 0 dinamakan penyelesaian trivial 3. Penyelesaian X  0 (bila ada) dinamakan penyelesaian tak trivial. Teorema: [Kekonsistenan SPL homogen] Sistem persamaan linear homogen AX = 0, dengan A matriks berordo mn selalu konsisten. 1. Jika m < n, maka SPL homogen tersebut mempunyai banyak penyelesaian. 2. Jika m = n dan det(A)  0, maka SPL homogen tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.

Contoh: 1. Tentukan kekonsistenan SPL berikut. 2. Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten. 3. Tentukan nilai-nilai α yang membuat SPL berikut: a. tak mempunyai penyelesaian b. mempunyai penyelesaian tunggal c. mempunyai banyak penyelesaian. 4. Tentukan nilai-nilai k yang membuat SPL berikut: a. tak mempunyai penyelesaian b. mempunyai penyelesaian tunggal c. mempunyai banyak penyelesaian.

4.3 MENENTUKAN PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Metode Eliminasi Gauss Matriks invers Cramer 4.3.1 Metode Eliminasi Gauss Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A berordo mn. Konsep dasar: 1. Jika (A|B)  (C|D), maka penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (A|B) dan penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (C|D) adalah sama. 2. Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C|D) seperti pada gambar: (a) C matriks segitiga atas (b) C mirip matriks segitiga atas maka SPL AX = B mempunyai penyelesaian dan penyelesaiannya dapat ditentukan sbb:

a. Kasus: C matriks segitiga atas  Nilai  Nilai variabel xn-1, xn-2, …, x2, x1 diperoleh berturut-turut melalui substitusi mundur pada SPL CX = D.  SPL mempunyai penyelesaian tunggal. b. Kasus: C mirip matriks segitiga atas  Nilai xn merupakan fungsi dari k variabel sebelumnya, yaitu xn-1, xn-2, …, xn-k.  Nilai variabel xk-1, xk-2, …, x2, x1 diperoleh berturut- turut melalui substitusi mundur pada SPL CX = D.  SPL mempunyai banyak penyelesaian. 3. Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C|D) seperti pada gambar: (c) maka SPL AX = B tidak mempunyai penyelesaian.

1. Tulis matriks yang diperbesar (A|B). Prosedur: 1. Tulis matriks yang diperbesar (A|B). 2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga (A|B)  (C|D), di mana (C|D) merupakan matriks seperti pada gambar (a),(b), atau (c). 3. Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (c), maka SPL tidak mempunyai penyelesaian. 4. Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (a) atau (b), lakukan substitusi mundur pada SPL CX = D. 5. Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPL AX = B. Contoh: Tentukan penyelesaian SPL berikut. 4.3.2 Metode Matriks Invers Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A matriks taksingular (det(A)  0). Konsep dasar 1. Karena A taksingular, maka A-1 ada. 2. AX = B  A-1AX = A-1B  X = A-1B

3. Karena A-1 tunggal maka penyelesaian SPL yaitu X = A-1B tunggal. Prosedur: 1. Tentukan A-1. 2. Tentukan penyelesaian SPL, yaitu X = A-1B. 4.3.3 Metode Cramer Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A matriks taksingular (det(A)  0). Teorema [Metode Cramer] Misalkan A adalah matriks segi berordo n dengan det(A)  0. Maka SPL AX = B mempunyai penyelesaian tunggal dan di mana Ai adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan matriks B. Contoh: Tentukan penyelesaian SPL berikut dengan menggunakan metode matriks invers dan metode Cramer.

4.4 PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Model Matematika SPL Masalah Penyelesaian Contoh: 1. Seorang petani yang sukses mempunyai 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C, yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebun A diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untuk memanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2 mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan 10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orang kuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut. Tentukan luas masing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebut termanfaatkan seluruhnya. 2. Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistri- busikan barang dari 2 gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkan gudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang. Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yang masing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkos pengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kota D sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan dari kota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutan barang- barang tersebut sebesar Rp 90.000,00. Tentukan banyaknya barang yang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi.