Pertemuan 4– Analisis Post Optimal Riset Operasional - dewiyani

PENGANTAR Setelah solusi optimal ditemukan, sebaiknya tidak berhenti untuk menganalisis model yang telah dibuat,agar didapat informasi lain yang lebih berguna. Analisis yang diperlukan agar didapat informasi lain, dinamakan Analisis Post Optimal Terdapat 2 macam Analisis Post Optimal, yaitu Analisis Dualitas, Analisis Sensitivitas.

Analisis Dualitas Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpertasikan bentuk dual dari model. Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model LP yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai sumber yang biasanya berfungsi sebagai batasan model. Setiap model LP mempunyai 2 bentuk, yaitu primal dan dual. Bentuk primal adalah bentuk asli, sedang bentuk dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari bentuk primal. Bentuk dual berguna untuk melihat alternatif permasalahan dari sisi yang berbeda. Jika dalam suatu permasalahan, bentuk primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba, maka bentuk dualnya akan menghasilkan informasi mengenai nilai dari sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Kegunaan utama dari model dual adalah untuk mendapatkan informasi tentang sumber daya yang terdapat dalam model. Analisis model dual diperlukan karena terkadang pengambil keputusan tidak hanya menaruh perhatian pada laba/rugi, namun juga pada penggunaan sumber daya. Jika Fungsi tujuan primal adalah model maksimasi, yang mempunyai bentuk pertidaksamaan dengan tanda , maka bentuk dualnya merupakan suatu model minimasasi dengan pertidaksamaan yang mempunyai tanda , dan sebaliknya.

Hubungan antara primal-dual Variabel dual Y1,Y2,Y3 berhubungan dengan batasan model primal, dimana untuk setiap batasan dalam primal, terdapat satu variabel dual. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan dalam model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Koefisien batasan model primal merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidak samaan pada model dual. Pada bentuk standard, model maksimalisasi primal memiliki batasan  , sedangkan model minimasi dual memiliki batasan  .

Contoh 1

Bentuk Primal Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2 Fungsi batasan : 2x1 + 4x2  40 18x1 + 18x2  216 24 x1 + 12x2  240 x1,x2  0 Bentuk Dual Fungsi tujuan : Meminimalkan W= 40 y1+216 y2+240 y3 2 y1+18y2+ 24y3  160 4y1 +18y2 + 12y3  200 y1,y2,y3  0

Contoh 2: Bentuk Primal Fungsi tujuan : Meminimalkan Z = 6x1 + 3x2 Fungsi batasan : 2x1 +4x2  16 4x1 + 3x2  24 x1,x2 0 Bentuk Dual Fungsi tujuan : Memaksimalkan W = 16y1 +24y2 Fungsi batasan : 2y1 + 4y2  6 4y1 + 3y2  3 y1,y2 0

Menginterpretasikan model primal (Lihat Contoh 1) Solusi optimal dari model primalnya adalah sbb : Jumlah produk A yang diproduksi adalah x1 = 4 Jumlah produk B yang diproduksi adalah x2 = 8 Sisa luas gudang adalah S3 = 48 m2

Nilai baris cj-zj di bawah kolom S1 adalah -20 Nilai baris cj-zj di bawah kolom S1 adalah -20. Nilai ini menunjukkan harga bayangan (shadow prizes=nilai marginal) dari batasan ke 1 (tenaga kerja). Ini berarti jika tenaga kerja ditambah 1 jam akan menambah laba sebesar $20 Nilai baris cj-zj di bawah kolom S2 adalah -20/3. Nilai ini menunjukkan harga bayangan (shadow prizes) dari batasan ke 2 (bahan baku) Laba yang diperoleh adalah sebesar $2240 Untuk batasan ke 3 (luas gudang) pada tabel optimal terlihat bahwa nilai S3 pada baris cj-zj bernilai nol, artinya bahwa gudang memiliki shadow prizes sebesar nol, yang berarti tidak akan ada pembayaran tambahan untuk 1 m2 luas gudang.

Menginterpretasikan model dual Solusi optimal dari model dual adalah: Nilai marjinal dari sumber daya ke 2 (bahan baku) adalah 20/3 Nilai marjinal dari sumber daya ke 1 (tenaga kerja) adalah 20 Nilai total minimal untuk sumber adalah 2240

Dari batasan dual yang pertama, yaitu 2y1+18y2+24y3  160 laba per produk A. Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk A, paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk A. Dari batasan dual yang kedua, yaitu 4y1+18y2+12y3  200 laba per produk B. Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk B, paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk B. Fungsi tujuan untuk model dual adalah meminimalkan Z = 40y1+216y2+240y3, ini berarti nilai total sumber- sumber daya (jam tenaga kerja, bahan baku, gudang) adalah sebesar : 40.20 + 216 .20/3 + 240.0 = 2240. Artinya, nilai total minimal untuk kebutuhan sumber adalah 2240.

Analisis Sensitivitas Pada masalah sebelumnya, selalu diasumsikan bahwa parameter dari model ( diantaranya, koefisien fungsi tujuan, nilai kuantitas dari pertidaksamaan fungsi batasan, dan koefisien batasan ), selalu dianggap pasti, pdhl dalam kenyataannya tidak selalu demikian, karena kadang bisa berubah, untuk itu biasanya si pembuat keputusan ingin mengetahui dampak yang terjadi pada solusi model, jika parameternya diubah. Analisis terhadap perubahan parameter dan dampaknya terhadap solusi optimal model disebut Analisis Sensitivitas. Akan dibicarakan analisis dari dampak perubahan pada koefisien fungsi tujuan dan nilai kuantitas dari pertidaksamaan fungsi batasan.

Analisis dari dampak perubahan koefisien fungsi tujuan Perhatikan contoh 1 : Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2 Fungsi batasan : 2x1 + 4x2  40 18x1 + 18x2  216 24 x1 + 12x2  240 x1,x2  0 Pertanyaan : a. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 170, berapa laba yang didapat ? b. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 220, berapa laba yang didapat ? c. Berapa range pada perubahan koefisien fungsi tujuan dapat dilakukan, tanpa mempengaruhi solusi optimalnya?

Jawab: Laba optimal berubah menjadi $2280 a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada fungsi tujuan, tidak perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat diubah langsung pada tabel optimalnya saja, yaitu dengan cara : Laba optimal berubah menjadi $2280

b. Jika laba A terus dinaikkan menjadi $220, maka yang akan terjadi adalah : Dari tabel optimal terlihat jika laba dinaikkan menjadi $220, maka keadaan optimal tidak terpenuhi lagi, karena pada baris cj-zj terdapat nilai positif. Untuk itu, pada soal c, akan diselidiki seberapa jauh (range) perubahan yang dapat dilakukan agar keadaan tetap optimal

ii. -20/3-∆/9< 0, atau ∆ > -60 c. Andaikan perubahan (penambahan/pengurangan) sebesar ∆, maka laba untuk produk A menjadi 160 +∆, sehingga tabel optimal menjadi : Agar solusi tetap optimal, maka nilai dari cj-zj harus tetap negatif, sehingga syarat agar solusi tetap optimal adalah: i. -20+∆/2 < 0 atau ∆ < 40 ii. -20/3-∆/9< 0, atau ∆ > -60

Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, atau ∆ = c1-160 Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, atau ∆ = c1-160. Dengan mensubstitusikan nilai c1-160 pada ∆, akan diperoleh : i. ∆ < 40 , c1-160 < 40, c1 < 200 ii. ∆ > -60, c1-160 > -60, c1 >100 Sehingga nilai range c1 agar solusi tetap optimal adalah : 100 < c1 < 200 Coba selidiki range untuk laba produk B !!!!

Analisis dari dampak perubahan pada nilai kuantitas batasan Perhatikan contoh 1 : Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2 Fungsi batasan : 2x1 + 4x2  40 jam tenaga kerja 18x1 + 18x2  216 kg bahan baku 24 x1 + 12x2  240 m2 luas gudang x1,x2  0 Pertanyaan : a. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 35, berapa laba yang didapat ? b. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 30, berapa laba yang didapat ? c. Berapa range pada perubahan nilai kanan fungsi batasan dapat dilakukan, tanpa mempengaruhi solusi optimalnya?

a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada nilai kanan fungsi batasan, tidak perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat diubah langsung pada tabel optimalnya saja, yaitu dengan cara : Dari tabel optimal dapat dilihat, jika jumlah jam tenaga kerja diturunkan menjadi 35, maka laba juga akan turun menjadi $ 2140.

b. Jika jam tenaga kerja diturunkan lagi menjadi 30, maka : Karena nilai kuantitas menjadi negatif, maka tdk memenuhi syarat sebagai simpleks.

Agar syarat simpleks tetap berlaku, maka harus memenuhi: c. Andaikan perubahan (penambahan/pengurangan) pada nilai kanan fungsi batasan menjadi 40 +∆, maka tabel optimal menjadi : Agar syarat simpleks tetap berlaku, maka harus memenuhi: i. 8 + ∆/2  0, atau ∆  -16 ii. 4 - ∆/2  0, atau ∆  8 iii. 48 + 6∆  0, atau ∆  -8

iii. ∆  -8, atau q1 – 40  -8, atau q1  32 Sehingga : 32  q1 48 Karena q1 = 40 + ∆, atau ∆ = q1 – 40, maka jika disubstitusikan menjadi : i. ∆  -16, atau q1 – 40  -16, atau q1  24 ii. ∆  8, atau q1 – 40  8, atau q1  48 iii. ∆  -8, atau q1 – 40  -8, atau q1  32 Sehingga : 32  q1 48 Bagaimana untuk nilai kanan batasan kedua???