BAB 6. FUNGSI DAN MODEL 6.1 FUNGSI Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain. Contoh: 1. Populasi manusia P bergantung pada waktu t 2. Biaya pengiriman surat B bergantung pada berat w. 3. Luas lingkaran L bergantung pada panjang jari-jari r Definisi: [Fungsi] Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f adalah suatu aturan yang memadankan setiap elemen x  A dengan tepat satu elemen y = f(x)  B. f x y = f(x) A B Notasi: f : A →B Catatan: 1. Dalam kalkulus biasanya A, B   2. Aturan pemadanan fungsi: y = f(x) x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x

Df = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: 3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y  B | y = f(x), x  Df } 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x  Df , y = f(x)) } y y = f(x) y Wf x Df x Contoh: Sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1 Uji garis tegak Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali. y y fungsi bukan fungsi x x

Contoh: Sketsa grafik pesamaan berikut. Menggunakan uji garis tegak periksa apakah grafik tersebut merupakan grafik suatu fungsi Penyajian fungsi Secara verbal : dengan uraian kata-kata. Secara numerik : dengan tabel Secara visual : dengan grafik Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah) 0 < w  1 1.000 1< w  2 1.250 2 < w  3 1.500 3 < w  4 1.750 4 < w  5 2.000

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. 3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. B Rupiah 2.000 1.500 1.000 w 1 2 3 4 5 Ons 4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. Latihan: berikan contoh fungsi yang disajikan secara: a. verbal b. numerik c. visual d. aljabar

 Aturan fungsi: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta 6.2 JENIS-JENIS FUNGSI 1. Fungsi linear  Aturan fungsi: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y  Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf =   Grafik: y y = ax + b b x 2. Polinom  Aturan fungsi: y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0 an, …, a1, a0 konstanta, (an  0), n = derajat polinom  Daerah asal: Df =   Grafik: Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c, D = b2 - 4ac y y y y = P(x) x x c c c x y = P(x) y = P(x) a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D < 0

 Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. y y y y = P(x) y = P(x) y = P(x) c c c x x x a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0  Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4 3. Fungsi pangkat  Aturan fungsi: y = f(x) = xn , n    Daerah asal: Df =   Grafik: y y y y = x y = x2 y = x3 x x x 4. Fungsi akar  Aturan fungsi:  Daerah asal dan daerah hasil: Df = [0,), Wf = [0,), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil

 Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut  Grafik: y y x x  Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut 5. Fungsi kebalikan  Aturan fungsi:  Daerah asal dan daerah hasil: Df =  - {0}, Wf =  - {0}  Grafik: y x 6. Fungsi rasional  Aturan fungsi: P dan Q adalah fungsi polinom  Daerah asal: Df =  - { x | Q(x) = 0 }

 Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut 7. Fungsi aljabar  Definisi: [Fungsi aljabar] Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.  Contoh:  Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar. 8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus  Aturan fungsi: y = f(x) = sin x, x dalam radian  Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]

 Aturan fungsi: y = f(x) = cos x, x dalam radian  Grafik: y y = sin x 1 x -2 -  2 -1 8.2 Fungsi cosinus  Aturan fungsi: y = f(x) = cos x, x dalam radian  Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]  Grafik: y 1 y = cos x x -2 -  2 -1 8.3 Fungsi tangen  Aturan fungsi:  Daerah asal dan daerah hasil: Df =  - {/2 + n | n  } Wf = 

8.4 Fungsi trigonometri lainnya  Aturan fungsi:  Grafik: y = tan x 1 x -2 -  2 -1 8.4 Fungsi trigonometri lainnya  Aturan fungsi: 8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1  sin x  1 b. -1  cos x  1 c. sin x = sin (x + 2) d. cos x = cos (x + 2) e. tan x = tan (x + )

 Aturan fungsi: y = f(x) = ax, a > 0 9. Fungsi eksponensial  Aturan fungsi: y = f(x) = ax, a > 0  Daerah asal dan daerah hasil: Df =  , Wf = (0,)  Grafik: y y y = ax , a > 1 y = ax , 0 < a < 1 1 1 x x 1 1 10. Fungsi logaritma  Aturan fungsi: y = f(x) = loga x, a > 0  Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0,) , Wf =   Grafik: y y y = loga x, a > 1 1 y = loga x, 0 < a < 1 1 x 1 x 1

 Definisi: [Fungsi transenden] Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.  Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. 12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)  Definisi: [Fungsi yang terdefinisi secara sepotong- sepotong] Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.  Contoh: y y = |x| 1 x 1

3. Definisikan untuk setiap bilangan real x: y y = f(x) x 1 2 3. Definisikan untuk setiap bilangan real x: x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. y y = f(x) 3 2 f(x) = x = 1 x 1 2 3 4  Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 13. Fungsi genap dan fungsi ganjil  Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y y = f(x) f(x) x -x x

Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.  Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.  Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. y y = f(x) f(x) -x x x -f(x)  Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.  Contoh: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2 14. Fungsi naik dan fungsi turun  Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

6.3 FUNGSI BARU DARI FUNGSI LAMA y y y = f(x) f(x2) f(x1) y = f(x) f(x1) f(x2) x x x1 x2 x1 x2 Fungsi f naik Fungsi f turun  Contoh: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. a. f(x) = x2 I = [0,) b. f(x) = sin x I = [,2] 6.3 FUNGSI BARU DARI FUNGSI LAMA Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian & pembagian 3. Komposisi fungsi Transformasi fungsi  Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0. Untuk memperoleh grafik: 1. y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas

 Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c) , geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri y y = f(x) + c y = f(x+c) y = f(x) y = f(x-c) c c c y = f(x) - c c x  Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c.

Untuk memperoleh grafik: y y y = 2 cos x 2 2 y = cos x y = cos x 1 1 y = ½ cos x y = cos 2x x x  2  2 -1 -1 y = cos ½ x -2 -2  Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) thd sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) thd sumbu-y y y y = f(x) y = f(-x) y = f(x) f(x) f(x) x x x -x x y = -f(x) -f(x)  Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1 3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x

Operasi aljabar fungsi  Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df  Dg. 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df  Dg. 3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df  Dg. 4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df  Dg.} – {x | g(x)= 0}  Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika Komposisi fungsi  Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f  g didefinisikan sebagai berikut: (f  g)(x) = f(g(x)) di mana Df  g = {x  Dg | g(x)  Df } Dg g Wg Df f Wf a g(a) x g(x) f(g(x)) f  g

 Contoh: Tentukan f  g, g  f dan f  f beserta daerah asalnya, jika 6.4 MODEL MATEMATIKA Model matematika: adalah uraian secara matematika (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang perilakunya di masa depan. Proses pemodelan: Rumuskan Permasalahan dunia nyata Model matematika Uji Pecahkan Prakiraan dunia nyata Kesimpulan matematika Tafsirkan

Contoh:  Rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfer, diukur dalam ppm (parts per million) di Mauna Loa Observatori dari 1972 s/d 1990 ditunjukkan oleh tabel berikut. Tahun Tingkat CO2 (ppm) 1972 327,3 1974 330,0 1976 332,0 1978 335,3 1980 338,5 1982 341,0 1984 344,3 1986 347,0 1988 351,3 1990 354,0 Grafik rata-rata tingkat CO2 C 350 340 330 t 1975 1980 1985 1990  Data hampir menyerupai garis lurus model linear  Metode kuadrat terkecil persamaan garis C = 1,496667 t – 2624,826667  Perkiraan tingkat CO2 pada tahun 2005: C(2005) = (1,496667)(2005) – 2624,826667  375,99 ppm