Kebebasan Tapak

Pendahuluan

KEBEBASAN TAPAK Dalam teorema dasar kalkulus diketahui : Hal ini akan diterapkan dalam integral garis. Teorema A (Teorema Dasar Untuk Integral Garis) : Misalkan C kurva mulus sepotong-sepotong yang secara parameter diberikan oleh : Jika f dapat didifferensialkan secara kontinu pada suatu himpunan yang mengandung C, maka :

Catatan : Bila maka berpadanan dengan f(x,y) Bila maka berpadanan dengan f(x,y,z). Bukti :

Jika untuk titik-titik ujung r(a) dan r(b) pada persamaan sebelumnya ditulis sebagai A dan B, maka persamaan tersebut bisa ditulis dalam bentuk

Contoh : Misalkan diketahui adalah fungsi potensial untuk invers hukum medan kuadrat . Hitunglah : dengan C adalah sebarang potongan kurva mulus dari (0,3,0) ke (4,3,0) yang melalui titik asal Jawab :

Berarti :

Kriteria untuk Kebebasan Tapak D disebut himpunan tersambung apabila terdapat dua titik sebarang dalam D yang dapat dihubungkan oleh sepotong kurva mulus yang seluruhnya terletak dalam D. bebas tapak dalam D jika untuk sebarang dua titik A dan B dalam D, integral garis mempunyai nilai yang sama untuk setiap tapak C dalam D yang secara positif terarah dari A ke B.

Medan Vektor Konservatif dan Fungsi Potensial Medan vektor F yang didefinisikan pada daerah D adalah medan vektor konservatif jika terdapat fungsi skalar f pada D sedemikian sehingga pada setiap titik di D. Dalam hal ini fungsi skalar f disebut fungsi potensial untuk medan vektor F

Teorema B : Misalkan kontinu pada suatu himpunan tersambung terbuka D. Maka integral garis bebas tapak jikka untuk suatu fungsi skalar f, atau Bukti : PR

Teorema C : Misalkan dengan M, N,P kontinu bersama-sama dengan turunan parsial tingkat pertamanya dalam suatu himpunan tersambung terbuka D dengan tanpa lubang. Maka F adalah konservatif ( ) jikka atau Dalam hal khusus : akan konservatif jikka Bukti : PR

Contoh : Tentukan apakah konservatif. Jika demikian tentukan fungsi f nya. Jawab :

Dengan demikian kita bisa menyimpulkan dalam bebas tapak ini terdapat 3 hal yang saling ekivalen, yaitu : untuk suatu fungsi f bebas dari tapak untuk setiap tapak tertutup C Bukti: PR

Latihan Soal Find a potential function for the vector field a. b. 2. 3. Hitung integral garis berikut: a. b.

Latihan Soal 4. For which numbers a and b is F = axyi + (x2 + by)j a gradient field?