STATISTIK - I

(MEASURES OF DISPERSION) PENGUKURAN DISPERSI (MEASURES OF DISPERSION)

MENGAPA PERLU UKURAN DISPERSI. RATA – RATA DAN MEDIAN HANYA MENGGAMBARKAN SENTRAL DARI SEKELOMPOK DATA, TETAPI TIDAK MENGGAMBARKAN BAGAIMANA PENYEBARANNYA.. DUA KELOMPOK DATA DENGAN RATA-RATA SAMA, BELUM TENTU MEMILIKI PENYEBARAN YANG SAMA. OLEH KARENA ITU, HANYA DENGAN RATA-RATA KITA TIDAK DAPAT MELIHAT GAMBARAN YANG JELAS DARI KELOMPOK DATA TERSEBUT. UKURAN DISPERSI YANG KECIL MENUNJUKKAN NILAI DATA SALING BERDEKATAN (PERBEDAAN KECIL), SEDANGKAN NILAI DISPERSI YANG BESAR MENUNJUKKAN BAHWA NILAI DATA MENYEBAR (PERBEDAAN NILAI MASING-MASING DATA BESAR) UKURAN DISPERSI DIGUNAKAN UNTUK MELENGKAPI PERHITUNGAN NILAI SENTRAL

Data A terdiri dari nilai-nilai : 52 56 60 64 68 CONTOH: Data A terdiri dari nilai-nilai : 52 56 60 64 68 Data B terdiri dari nilai-nilai : 40 50 60 70 80 Rata-rata kedua kelompok data tersebut adalah sama (60) akan tetapi vasiasi nilai-nilainya terhadap nilai sentral berbeda. 40 50 60 70 80 52 56 60 64 68

ADA 2 MACAM PENGUKURAN DISPERSI Pengukuran Dispersi Absolud, digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data. Metoda pengukuran dispersi absolud ada 4: Range; Deviasi Quartile; Deviasi Rata-Rata dan Deviasi Standar. Pengukuran Dispersi Relatif, digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai- nilai observasi data lainnya. Metoda pengukuran dispersi relatif ada 2: Koefisien Variasi dan Koefisien Variaso Quartile.

RANGE: HIGHEST VALUE – LOWEST VALUE Contoh: 30; 25; 32; 35; 43; 37; 46 Highest Value = 46 Lowest Value = 25 Range: 46 – 25 = 21 INTERQUARTILE RANGE : Q3 – Q1 Contoh: 95 103 105 110 114 115 121 Q1 = 103 Q3 = 115 Interquartile Range = 115 – 103 = 12

DEVIASI QUARTILE (Dk) Q3 – Q1 Dk = 2 Contoh: 95 103 105 110 114 115 121 Q1 = 103 Q3 = 115 Dk = Q3 – Q1 = 115 – 103 = 12 Dk = 12/2 = 6 Q3 – Q1 2

DEVIASI RATA-RATA =MEAN DEVIATION Deviasi Rata-rata (Dx) = The arithmatic mean of the absolute value of the deviation from the arithmatic mean. Σ | x - x | MD = Dx = n Contoh: 103 97 101 106 103 Rata-rata = (103 + 97 + 101 + 106 + 103)/5 Rata-rata = 102 n = 5 Dx = {|103 - 102| + |97 – 102| + |101 - 102| + |106 - 102| + |103 - 102|}/5 = {1 + 5 + 1 + 4 + 1}/5 = 12/5 = 2,4.

Deviasi Rata-rata untuk data berkelompok f = frekwensi kelas ke – i x = titik tengah kelas ke I x = rata-rata n= jumlah frkwensi data i Σ f | x – x | Dx = i i i n Contoh: Nilai Ujian Frkuensi 20 – 29 1 30 – 39 2 40 – 49 4 50 – 59 2 Jumlah 9

Nilai Ujian f x f x x – x | x – x | f Jawab: Nilai Ujian f x f x x – x | x – x | f i i i i i i i 20 – 29 1 24,5 24,5 -17,8 17,8 30 – 39 2 34,5 69 -7,8 15,6 40 – 49 4 44,5 178 2,2 8,8 50 – 59 2 54,5 109 12,2 24,4 Jumlah 9 380,5 66,6 Σ f x n x = x = 380,5/9 = 42,20 Σ f | x – x | i i Dx = i=1 n n Dx = (66,6)/9 = 7,4

VARIANCE & STANDARD DEVIATION Variance (Varian): The aritmatic mean of squared deviation from the mean Standard Deviation (Deviasi Standar): The squared root of the variance 2 ∑ (x - µ) 2 Populatin Variance : (σ ) = N 2 ∑ (x - µ) Population Standard Deviation (σ) = √ N

Sample Standard Deviation (S) = √ { } n -1 2 2 2 Σ (x – x) 2 2 Σx - (Σx) /n Sample Variance (S ) = S = n - 1 n - 1 2 Σ (x – x) Sample Standard Deviation (S) = √ { } n -1 S = √ {Σx - (Σx) /n} 2  Rumus I n - 1 S = √ 1/(n-1) [ Σx - {(Σ x ) /n}] 2 2  Rumus II i i Catatan: untuk n > 100, (n – 1) dapat diganti dengan n

Hitung Varian dan Deviasi Standar dari data: 40, 50, 60, 70, 80. Contoh: Hitung Varian dan Deviasi Standar dari data: 40, 50, 60, 70, 80. Jawab: Rata-rata data = (40 + 50 + 60 + 70 + 80)/5 = 60 Varian (s ) = (1000)/ 5-1 = 250 Deviasi Standar = √250 = 15,81 Atau: Varians : = 1/(5-1){(19000 – 300)/5 = 250 Deviasi Standar: = √ 250 = 15,81. 2 2 x x - x (x - x) x 2 40 -20 400 1600 50 -10 100 2500 60 0 0 3600 70 10 100 4900 80 20 400 6400 300 1000 19000

Untuk Data Berkelompok: Σ f (x – x ) 2 i i i Variance = n - 1 Deviasi Standar = √ Σ f (x – x ) n - 1 i 2 Waktu (Menit) f 0 - < 10 2 10 - < 20 6 20 - < 30 16 30 - < 40 12 40 - < 50 7 50 - < 60 4 60 - < 70 2 70 - < 80 1 Jumlah 50 Contoh : Hitung Varians dan Deviasi Standar menggunakan rumus I & II

Waktu (Menit) f x fx x - x (x - x ) f ( x - x) 0 - < 10 2 5 10 -28,2 795,24 1590,48 10 - < 20 6 15 90 -18,2 331,24 1987,44 20 - < 30 16 25 400 -8,2 67,24 1075,84 30 - < 40 12 35 420 1,8 3,24 38,88 40 - < 50 7 45 315 11,8 139,24 974,68 50 - < 60 4 55 220 21,8 475,24 1900,96 60 - < 70 2 65 130 31,8 1011,24 2022,48 70 - < 80 1 75 75 41,8 1747,24 1747,24 Jumlah 50 1160 4569,92 11388,00 x = (Σf x )/n = 1600/50 = 33,2 S = {Σf (x - x)}/(n-1) = 11388/(50 – 1) = 11338/49 = 231,388 S = √231,388 = 15,21 i i 2 2 i i

PENGUKURAN DISPERSI RELATIF Coeficien Variasi (Coeficient of Variation) (V/CV)): The ratio of the standard deviation to thearithmatic mean, expressed as a percent. S V(CV) = x 100% x Coeficien Variasi Quartil (Vk): Adalah Deviasi Kwartil dibagi Median Q3 – Q1 Vk = Q3 + Q1

PENGUKURAN KEMENCENGAN SUATU DISTRIBUSI FREKUENSI

DISTRIBUSI SIMETRIS Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilai rata-rata.

KEMENCENGAN Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan nilai rata-rata. Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)

METODA PENGUKURAN KEMENCENGAN Koefisien Karl Pearson: Sk = Kemencengan x = Rata-rata Mo = Modus s = deviasi standar Sk = ( x – mo)/s Catatan: Jika Sk positif artinya distribusi frekwensi menceng ke kanan. Jika Sk negatif artinya distribusi frekwensi menceng ke kiri. Jika Sk = 0 artinya distribusi frekwensi simetris.

Hubungan Rata-rata Hitung, Median dan Modus X - Mo = 3(X - Md) Mo = X – 3 (X – Md) Sk = (X – Mo)/s X – {X – 3 (X – Md)} s Sk = 3 (X – Md)} s Sk =

X < Md < Mo X > Md > Mo Sk = ( x – mo)/s X = Md = Mo

Contoh: Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut: Upah/Jam Jumlah Karyawan 300 – 349 68 350 – 399 142 400 – 449 100 450 – 499 60 500 – 549 40 550 – 599 20 600 – 649 10 440 Jawab: 1. Menghitung Median: Letak Median = 440/2 =220

Upah/Jam Jml Kary x fx fk (x – x) f (x – x) 300 – 349 68 324,5 22.066 68 9158,5 622778 350 – 399 142 374,5 53.179 210 2088,5 296567 400 – 449 100 424,5 42.450 310 18,5 1850 450 – 499 60 474,5 28.470 370 2948,5 176910 500 – 549 40 524,5 20.980 410 10878,5 435139,6 550 – 599 20 574,5 11.490 430 2948,5 58969,8 600 – 649 10 624,5 6.245 440 10878,5 108785 440 184.880 1700999,4 2 Jawab: 1. Menghitung Median: Letak Median = 440/2 =220 100 Md = 399,5 + 440/2 - 210 50 Md = Lmd + x Ci N/2 - Fk Fmd Md = 404,5

2. Menghitung Rata-rata: 4. Menghitung Deviasi Standar Σ f (x – x ) n - 1 i 2 X = ∑(fi.xi) n X = (184.880)/440 S = √ (1700999,4)/(440 -1) = 62,25 X = 420,18 S 3. Menghitung Modus: d1 5. Koefisien Karl Pearson: Mo = Lmo + x Ci d1 + d2 Sk = ( x – mo)/s 74 50 Mo = 349,5 + Sk = (420,18 – 381,39)/62,25 Sk = 0,6231 Sk = 62,31% 74 + 42 Mo = 381,39

Atau: 3 (X – Md)} s Sk = Sk = 3(420,18 – 404,5)/62,31 Sk = 75,56% Hasil perhitungan berbeda, karena adanya perbedaan nilai antara Median dan Modus. Apabila kita berkeyakinan bahwa Modus bukan merupakan ukuran nilai sentral yang baik, sebaiknya kita menggunakan Median. Catatan: Semakin besar nilai koefisien Karl Pearson, semakin tinggi tingkat kemencengan sebuah distribusi frekwensi (kurva).

Jika nilai Koefisien Bowley positif artinya Sk = (Bowley) (Q - Q ) (Q - Q ) – (Q - Q ) 3 2 1 Q = Kwartil ke 1 Q = Kwartil ke 2 Q = Kwartil ke 3 1 2 3 Jika nilai Koefisien Bowley positif artinya (Q - Q ) > (Q - Q ), maka distribusi frekwensi menceng ke kanan. Sedangkan apabila koefisien Bowley negatif artinya 3 2 1 y x (Q - Q ) < (Q - Q ) maka distribusi frekwensi menceng ke kiri. Bila koefisien Bowley = 0, artinya 3 2 1 Q Q Q 1 2 3 (Q - Q ) = (Q - Q ) maka distribusi frakwensi adalah simetris. 3 2 (Q - Q ) > (Q - Q ) 3 2 1 X > Y Menceng ke kanan 1

Q Q (Q - Q ) = (Q - Q ) (Q - Q ) < (Q - Q ) x y 1 2 3 x y 1 2 3 3 2 Simetris (Q - Q ) < (Q - Q ) 3 2 1 X < Y Menceng ke kiri

Contoh: Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut menggunakan rumus koefisien Bowley: Upah/Jam Jumlah Karyawan 300 – 349 68 350 – 399 142 400 – 449 100 450 – 499 60 500 – 549 40 550 – 599 20 600 – 649 10 440

Upah/Jam Jml Kary fk Jawab: Menghitung Quartile 1, 2 & 3 : Letak Q1 = 440/4 =110 Letak Q2 = 2 (440)/4 = 220 Letak Q3 = 3 (440)/3 = 330 300 – 349 68 68 350 – 399 142 210 400 – 449 100 310 450 – 499 60 370 500 – 549 40 410 550 – 599 20 430 600 – 649 10 440 440 Qi = LQi + [ ] x (in/4) - fk fQi Ci 3(440)/4 - 310 Q1 = 349,5 + 50 Q1 = 364,3 440/4 - 68 142 Q3 = 449,5 + 50 Q3 = 466,1 60 Q2 = 399,5 + 50 Q2 = 404,5 2(440)/4 - 210 100

Menghitung Koefisien Bowley: Sk = (Bowley) (Q - Q ) (Q - Q ) – (Q - Q ) 3 2 1 (466,1 – 404,5 ) – (404,5 - 364,3) Sk = (Bowley) (466,1 - 364,3) Sk = 21,02 % (Bowley) Catatan: Menurut Bowley, apabila > +30% atau < -30%, menunjukkan bahwa distribusi frekwensi memiliki tingkat kemencengan yang tinggi. Sk (Bowley)

ANGKA INDEKS

Dimana : V = Nilai tahun ke n V = Nilai tahun Dasar Angka Indeks: merupakan suatu metoda statistik untuk mengukur perubahan atau mengadakan perbandingan antara variable-variable ekonomi dan sosial dari waktu ke waktu. Dalam menyusun angka indeks, nilai pada suatu periode dibandingkan dengan nilai pada tahun dasar (base year). Angka indeks pada tahun dasar (base year) selalu 100. Tujuan penyusunan Angka Indeks adalah untuk memudahkan kita membandingkan nilai-nilai observasi dari waktu ke waktu. Rumus : x 100 V n Dimana : V = Nilai tahun ke n V = Nilai tahun Dasar n

Contoh: Apabila tahun 1980 ditentukan sebagai tahun dasar, hitung anka indeks tahun 1981,1982,1983, dan 1984. Tahun Harga Beras/Kg 1980 250 1981 300 1982 300 1983 400 1984 500 Jawab: I (1981) = (300)/(250) x 100 = 120 I (1982) = (300)/(250) x 100 = 120 I (1983) = (400)/(250) x 100 = 160 I (1984) = (500)/(250) x 100 = 200

Angka Indeks Sederhana. Adalah angka indeks yang menyatakan perbandingan satu macam komoditi Rumus : I = x 100 V n Dimana : V = Nilai tahun ke - n V = Nilai tahun Dasar I = Angka Indeks Tahun ke – n n

Contoh: Harga komoditi susu selama 3 tahun adalah sebagai berikut: Tahun Harga (Rp) 1989 500 1990 750 1991 1000 Hitung Indeks Harga (IH) tahun 1990 dan 1991 dengan tahun 1989 sebagai tahun dasar. Jawab: IH(1990) = (750)/(500) x 100 = 150 IH(1991) = (1000)/(500) x 100 = 200

2. Angka Indeks Agregatif Adalah Angka Indeks yang menyatakan perbandingan sekelompok komoditi. Rumus: Keterangan: IA = Angka Indeks Agregatif Σ Vn = Jumlah nilai komoditi th ke-n ∑ V0 = Jumlah nilai komoditi th dasar Σ Vn IA = x 100 ∑ V0 Contoh: Komoditi Harga Th 89 Harga Th 90 Harga Th 91 Susu 500 750 1000 Gula 200 400 600 Beras 300 150 450 Jumlah 1000 1300 2050

3. Angka Indeks Agregatif Tertimbang Jawab: IHA 90 = (1300)/(1000) x 100 = 130 IHA 91 = (2050)/(1000) x 100 = 205 3. Angka Indeks Agregatif Tertimbang Rumus: AIw = x 100 ∑Vn x W ∑V0 x W Dimana W adalah faktor timbangan. AIw = x 100 ∑Vn x W ∑V0 x W (Las Peyres) Rumus Angka Indeks Agregatif Las Peyres

Rumus Angka Indeks Agregatif Paasche AIw = x 100 ∑Vn x W ∑V0 x W (Paasche) n Rumus Angka Indeks Agregatif Paasche Note: Untuk menghitung Indeks Harga, Las Peyres menggunakan kuantitas tahun dasar (W0) sebagai penimbang, sedangkan Paasche menggunakan kuantitas tahun ke n (Wn) sebagai penimbang.

Contoh: 1989 1990 1991 Komoditi Harga(p) Jumlah(q) (p) (q) (p) (q) Susu 500 20 750 20 1000 40 Gula 200 10 400 50 600 60 Beras 300 10 150 15 450 30 Jumlah 1000 40 1300 85 2050 130 Jika tahun 1989 dijadikan tahun dasar, maka: a. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Laspayer. b. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Paasche.

a. Rumus Indeks Harga Agregatif Laspeyres & Paasche: Jawab: a. Rumus Indeks Harga Agregatif Laspeyres & Paasche: IH = x 100 ∑pn x q0 ∑p0 x q0 (Las Peyres) IH = x 100 ∑pn x qn ∑p0 x qn (Paasche) Untuk tahun 1990, Indeks Harga: IH(Laspeyres) = x 100 Σp1990 x q1989 Σp1989 x q1989 IH(Paasche) = x 100 Σp1990 x q1990 Σp1989 x q1990

p89 p90 q89 q90 p90xq89 p89xq89 p90xq90 p89x q90 500 750 20 20 15000 10000 15000 10000 200 400 10 50 4000 2000 20000 10000 300 150 10 15 1500 3000 2250 4500 20500 15000 37250 24500 IH90 = x 100 ∑p90 x q89 ∑p89 x q89 (Las Peyres) = {(20500)/(15000)} x100 = 136,67 IH90 (Las Peyres) IH90(Paasche) = x 100 Σp1990 x q1990 Σp1989 x q1990 = {(37250)/(24500)} x100 = 152,04 IH90(Paasche)

IH91(Laspeyres) = x 100 Σp1991 x q1989 Σp1989 x q1989 (1000x20) + (600x10) + (450x10) = x 100 = {(30500)/15000} x 100 = 203,33 15000 IH91(Laspeyres) Σp1991 x q1991 IH91(Paasche) = x 100 Σp1989 x q1991 {(1000x40) + (600x60) + (450x30)} = x 100 {(500x40) + (200x60) + (300x30) = (89500)/(41000) x 100 = 218,29 IH91(Paasche)

Tahun IH Laspeyers IH Paasche Hasil selengkapnya: Tahun IH Laspeyers IH Paasche 1989 100 100 1990 136,67 152,04 1991 203,33 218,29 Note: Angka Indeks Laspeyres lebih banyak digunakan karena lebih praktis. Angka Indeks Laspeyres menggunakan kuantitas tahun dasar sebagai penimbang (tetap) sehingga hanya perubahan harga yang memperngaruhi indeks. Angka Indeks Paasche menggunakan kuantitas tahun ke-n sebagai penimbang. Sehingga disamping dipengaruhi oleh perubahan harga, Angka Indeks Harga Paasche tidak murni karena dipengaruhi juga oleh perubahan kuantitas. Kelemahan Angka Indeks Harga Paasche adalah karena untuk dapat menghitung Angka Indek diperlukan waktu dan biaya untuk mengumpulkan data kuantitas yang terakhir.

Rumus Angka Indeks Kuantitas Las Peyres: Selain digunakan untuk menghitung Angka Indeks Harga, rumus Las Peyres dan Paasche dapat digunakan untuk menghitung Angka Indeks Kuantitas. Rumus Angka Indeks Kuantitas Las Peyres: IK = x 100 ∑qn x p0 ∑q0 x p0 (Las Peyres) Rumus Angka Indeks Kuantitas Paasche: IK = x 100 ∑qn x pn ∑q0 x pn (Paasche)

Komoditi Harga Kuantitas Harga Kuantitas Contoh: 1990 1991 Komoditi Harga Kuantitas Harga Kuantitas Daging 100 40 115 50 Roti 200 1 220 1 Cabai 20 100 27 90 ∑q91 x p90 IK 1991 = x 100 (Las Peyres) ∑q90 x p90 (50 x 100) + (1 x 200) + (90 x 20) = x 100 (40 x 100) + (1 x 200) + (100 x 20) = 112,9

∑q91 x p91 IK1991 = x 100 (Paasche) ∑q90 x p91 (50 x 115) + (1 x 220) + (90 x 27) = x 100 (40 x 115) + (1 x 220) + (100 x 27) = 117,7

Angka Indeks Fisher AIw (Fisher) = √ (Angka Indeks Las Peyres x Angka Indeks Paasche) ∑pn x q0 ∑p0 x q0 ∑pn x qn ∑p0 x qn x √ AIw (Fisher) =

Pengujian Matematis Angka Indeks. Untuk mengetahui baik tidaknya rumusan Angka Indeks, dapat digunakan 2 cara pengujian: Pengujia Pembalikan Waktu (Time Reversal Test) Pengujian Pembalikan Faktor (Factor Reversal Tes) Pengujian Pembalikan Waktu. Suatu Angka Indeks adalah baik jika memenuhi kondisi: (Angka Indeks 0,n) x (Angka Indeks n,0) = 1 Dimana: Angka Indeks 0,n = Angka Indeks dengan periode 0 sebagai tahun dasar. Angka Indeks n,0 = Angka Indeks dengan periode n sebagai tahun dasar.

Contoh: Angka Indeks Las Peyers: ∑p0 x qn ∑pn x q0 AI n,0 = AI 0,n = ∑pn x qn ∑p0 x q0 (AI 0,n) x (AI n,0) = =/= 1 ∑p0 x qn ∑pn x qn ∑pn x q0 ∑p0 x q0 X Angka Indeks Paasche: ∑pn x qn ∑p0 x q0 AI 0,n = AI n,0 = ∑p0 x qn ∑pn x q0 (AI 0,n) x (AI n,0) = =/= 1 ∑p0 x q0 ∑pn x q0 ∑pn x qn ∑p0 x qn X

√ √ √ Angka Indeks Fisher: ∑pn x q0 ∑p0 x q0 ∑pn x qn ∑p0 x qn x (AI 0,n) x (AI n,0) = ∑pn x q0 ∑p0 x q0 ∑pn x qn ∑p0 x qn x √ = 1 Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat.

b. Pengujian Pembalikan Faktor Suati rumusan Angka Indeksbaik jika memenuhi kondisi: Bila faktor p dan q pada suatu rumus Angka Indeks dipertukarkan sehingga diperoleh rumus baru, maka hsil perkalian rumus baru dengan rumus lama Σpn . qn harus sama dengan : Σp0 . q0. Indeks Las peyers ∑qn x p0 ∑q0 x p0 ∑pn x q0 AI setelah pembalikan faktor = AI = ; ∑p0 x q0 Σpn . qn Σp0 . q0. ∑pn x q0 ∑qn x p0 x =/= ∑p0 x q0 ∑q0 x p0

√ √ Indeks Paasche ∑qn x pn ∑pn x qn AI setelah pembalikan faktor = ∑q0 x pn ∑p0 x qn Σpn . qn Σp0 . q0. ∑pn x qn ∑qn x pn x =/= ∑p0 x qn ∑q0 x pn Indeks Fisher ∑pn x q0 ∑p0 x q0 ∑pn x qn ∑p0 x qn x √ AI = AI setelah pembalikan faktor: ∑qn x p0 ∑q0 x p0 ∑qn x pn ∑q0 x pn x √

√ ∑pn x q0 ∑p0 x q0 ∑pn x qn ∑p0 x qn x ∑qn x p0 ∑q0 x p0 ∑qn x pn ∑q0 x pn X = Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat. Karena melalui dua cara pengujian ini hanya Indeks Fisher yang memenuhi syarat,maka Angka Indeks Fisher disebut angka indeks yang ideal (Fisher Ideal Index)

Perubahan Tahun dasar Angka Indeks. Perubahan tahun dasar Angka Indeks dilakukan dengan 2 tujuan: Untuk memudahkan dalam membandingkan dua kelompok angka indeks yang tidak samatahun dasarnya. Untuk memperbaharui tahun dasar yang sudah terlalu jauh dari tahun sekarang. Contoh: Angka Indeks harga mobil dengan tahun dasar 1985. Angka Indeks harga rumah dengan tahun dasar 1990. Tahun Angka Indeks Tahun Angka Indeks 1985 100 1986 110 1987 120 1988 120 1989 130 1990 150 1991 160 1992 200 1985 40 1986 50 1987 60 1988 80 1989 90 1990 100 1991 120 1992 150

Agar kita dapat membandingkan perubahan harga mobi dan garga rumah, kita harus menyamakan tahun dasar kedua Angka Indekstersebut di atas. Dalam contoh ini kita harus merubah tahundasar Angka Indeks harga mobil dari tahun 1985 ke tahun 1990 dengan menggunakan rumus sbb.: A.In = x 100 AI tahun ke n AI tahun dasar yang baru Tahun AI Harga Mobil (Th Dasar 1990) 1985 (100/150)x100 = 66,67 1986 (110/150)x100 = 73,33 1987 (120/150)x100 = 80 1988 (120/150)x100 = 80 1989 (130/150)x100 = 86,67 1990 (150/150)x100 = 100 1991 (160/150)x100 = 106,67 1992 (200/150)x100 = 133,33

Dengan menyamakan tahun dasar, maka kita dapat membandingkan perubahan harga mobil dan harga rumah menggunakan Angka Indeks seperti dibawah ini: Tahun AI Harga Mobil AI Harga Rumah 1985 66,67 1986 73,33 1987 80,00 1988 80,00 1989 86,67 1990 100,00 1991 106,67 1992 133,33 40,00 50,00 60,00 80,00 90,00 100,00 120,00 150,00 Kesimpulan: Harga rumah lebih cepat berubah (naik) jika dibandingkan dengan harga mobil.

TIME SERIES (DERET BERKALA)

Time Series: Suatu rerangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu variabel yang dicatat dalam jangka waktu yang berurutan. Komponen Time Series. Trend (T) Variasi Musim (V) Variasi Sikli (S) Irregular atau Random (R) Time Series merupakan hasil perkalian dari T, V, S, dan R Time Series = T x V x S x R

1. Trend Trend merupakan gerakan jangka panjang yang mempunyai kecenderungan menuju pada satu arah, yaitu naik dan turun. Contoh: Tahun Triwulan 1 Triwulan 2 Triwulan 3 Triwulan 4 1983 187 243 209 291 1984 198 263 270 297 1985 274 363 295 335 1986 233 273 240 290 1987 207 295 239 316 1988 237 367 300 430 1989 282 425 383 478 1990 375 430 392 560 1991 373 423 387 433

Data dalam tabel di atas dapat disajikan dalam gambar sebagai berikut: Triwulan 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Pada gambargrafik dapat ditarik garis Trend seperti berikut: Long Term Trend 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Penjualan pakaian naik setiap menjelang lebaran 2. Variasi Musim. Adalah gerakan jangka pendek (kurang dari satu tahun) yang berulang secara teratur dari tahun ke tahun Contoh: Penjualan pakaian naik setiap menjelang lebaran Penjualan buku naik setiap tahun ajaran baru. 1985 1984 1983

Adalah suatu gerakan jangka panjangyang memiliki unsur siklus, yaitu 3. Sikli Adalah suatu gerakan jangka panjangyang memiliki unsur siklus, yaitu perluasan (expansion), puncak (peak), kemunduran (contraction) dan depresi (trough). Long term Trend Peak Expansion Contraction Trough

4. Random Random atau irregular adalah gerakan yang bersifat acak atau tidak beraturan sehingga tidak dapat diprediksi sebelumnya. Contoh, naiknya harga minyak karena perang teluk, naiknya harga gabah karena gagal panen, dsb.

Ŷ = a + bx TREND LINEAR DENGAN METODA LEAST SQUARE Trend jangka panjang dari berbagai data bisnis sering diperkirakan menggunakan persamaan garis lurus sebagai berikut: Ŷ = a + bx Dimana: Ŷ(baca Y prime) = nilai proyeksi variable Y untuk nilai x tertentu. a = konstanta, nilai Y apabila x = 0 b = slope, menunjukkan berapa satuan Y apabila x berubah satu unit.

Garis Trend

Proyeksi nilai penjualan yang digambarkan dengan Garis Trend, memiliki perbedaan (selisih) bila dibandingkan dengan nilai aktualnya.Besar perbedaan atau deviasi adalah (Y –Ŷ). Trend yang baik adalah yang memiliki deviasi yang terkecil. Semakin kecil deviasinya berarti trend tersebut semakin representatif. Metoda selisih kuadrat terkecil Least Square Method merupakan metoda menghitung persamaan trend linear yang menghasilkan selisih atau deviasi kuadrat (Y – Ŷ) terkecil. Dengan menggunakan Least Square Method, nilai a dan b pada persamaan trend linear dapat dihitung dengan rumus sbb.: 2 b = Σ XY Σ X 2 a = Σ Y n Dimana: ΣY = Jumlah penjualan aktual n = Jumlah tahun dalam data ΣXY = Jumlah perkalian variabel X dan Y ΣX = Jumlah kuadrat dari variabel X 2

Varabel X adalah waktu (misal tahun 1999,2000, 2001, dst. ) Varabel X adalah waktu (misal tahun 1999,2000, 2001, dst.). Untuk menyederhanakan perhitungan, variaable waktu tidak dinyatakan dalam tahun, akan tetapi dalam kode seperti 1, 2, 3, dst. Contoh: Untuk data genap Tahun Koding 1980 -5 1981 -3 1982 -1 1983 1 1984 3 1985 5 Note: Kode 0 diletakkan diantar 2 tahun yang ditengah (1982 dan 1983. Jarak antar tahun ± 2 Untuk data ganjil Tahun Koding 1980 -2 1981 -1 1982 0 1983 1 1984 2 Note: Tahun yang terletak ditengah (1982) diberi koding 0. Jarak antar tahun ± 1

Contoh: Volume penjualan PT. X selama 5 tahun adalah sebagai berikut: Tahun Penjualan (ribu Unit) 1985 7 1986 10 1987 9 1988 11 1989 13 Buatlah persamaan garis trend linear menggunakan metoda Least Square Hitung proyeksi penjualan selama 1985 – 1989 menggunakan persamaan garis trend linear Buatlah ramalan penjualan untuk tahun 1990 dan tahun 1991

Tahun Penjualan (Y) X XY X Jawab: Tahun Penjualan (Y) X XY X 1985 7 -2 -14 4 1986 10 -1 -10 1 1987 9 0 0 0 1988 11 1 11 1 1989 13 2 26 4 2 50 13 10 Menghitung a dan b: a = Σ Y n b = Σ XY Σ X 2 Ŷ = 10 + 1,3X a = (50)/5 = 10 b = (13)/10 = 1,3

a. Persamaan garis trendnya adalah : Ŷ = 10 + 1,3X b. Proyeksi penjualan Tahun X Proyeksi Penjualan 1985 -2 Ŷ = 10 + 1,3 (-2) = 7,4 1986 -1 Ŷ = 10 + 1,3 (-1) = 8,7 1987 0 Ŷ = 10 + 1,3 (0) = 10 1988 1 Ŷ = 10 + 1,3 (1) = 11,3 1989 2 Ŷ = 10 + 1,3 (2) = 12,6 c. Penjualan tahun 1990 (X =3) dan tahun 1991 (X = 4) Ŷ1990 = 10 + 1,3 (3) = 13,9 (ribu unit) Ŷ1991 = 10 + 1,3 (4) = 15,2 (ribu unit)

Data penjualan PT Y selama 6 tahun (dlm juta unit) 1985 2 1986 4 1987 3 1988 6 1989 5 1990 10 Tahun Penjualan (Y) Pertanyaan: Buatlah persamaan trend linear dengan menggunakan metoda least square. Hitung proyeksi penjualan menurut persamaan trend linear. Buat ramalan penjualan tengan tahun 1991 dan awal 1992.

Tahun Penjualan (Y) X XY X Jawab: Tahun Penjualan (Y) X XY X 1985 2 -5 -10 25 1986 4 -3 -12 9 1987 3 -1 -3 1 1988 6 1 6 1 1989 5 3 15 9 1990 10 5 50 25 2 30 46 70 a. Persamaan garis trend: a = Σ Y n b = Σ XY Σ X 2 Ŷ = 5 + 0,657X a = (30)/6 = 5 b = (46)/70 = 0,657

a. Persamaan garis trend : Ŷ = 5 + 0,657X b. Proyeksi berdasarkan trend: Tahun X Proyeksi Penjualan 1985 -5 Ŷ = 5 + 0,657 (-5) = 1,715 1986 -3 Ŷ = 5 + 0,657 (-3) = 3,029 1987 1 Ŷ = 5 + 0,657 (-1) = 4,343 1988 1 Ŷ = 5 + 0,657 (1) = 5,657 1989 3 Ŷ = 5 + 0,657 (2) = 6,971 1990 5 Ŷ = 5 + 0,657 (3) = 8,285 c. Ramala penjualan untuk pertengahan tahun 1991 (x = 7) Ŷ = 5 + 0,657(7) = 9,599 Ramalan penjualan awal tahun 1992 (x = 7 + 1 = 8) Ŷ = 5 + 0,657(8) = 10,256

Merubah tahun dasar Trend Tahun dasar trend yang sudah terlalu jauhdapat diubah. Perubahan tahun dasar tidak berpengaruh pada nilai slope (b), akan tetepi berpengaruh pada nilai konstanta (a). Contoh: Diketahui persamaan trend Ŷ = 15 + 1,7X dengan tahun dasar 1983 (tahun 1983 x = 0). Kita ingin mengubah tahun dasar menjadi tahun 1985, maka: a = nilai Ŷ pada tahun dasar baru Nilai (X) untuk tahun dasar yang baru (1985) = 2 a = Ŷ = 15 + 1,7 (2) a = 18,4 b tetap = 1,7 Jadi, persamaan trend yang baru (dengan tahun dasar 1985) menjadi: Ŷ = 18,4 + 1,7X

Nilai X untuk masing-masing tahun berubah menjadi sbb.: Tahun X lama (1983 = 0) Xbaru(1985=0) 78 -5 -7 79 -4 -6 80 -3 -5 81 -2 -4 82 -1 -3 83 0 -2 84 1 -1 85 2 0 86 3 1 87 4 2 Sehingga, kalau kota akan menghitung nilai trend tahun 1986: Dengan rumus lama: Ŷ = 15 + 1,7X Ŷ = 15 + 1,7(3) = 20,1 Dengan rumus baru: Ŷ = 18,4 + 1,7X Ŷ = 18,4 + 1,7(1) =20,1

Merubah periode. Periode tren dapat dirubah dati tahunan menjadi a) bulanan, b) kwartalan c) rata-rata bulanan dan d) rata-rata kwartalan a. Trend Rata-rata Bulanan Untuk mengubah trend rata-rata tahunan menjadi trand rata-rata bulanan: a dan b dibagi 12, atau: Ŷ = a/12 + b/12 U Contoh: Diketahui trend tahunan Ŷ = 120 + 24 X, dengan tahun dasar 1982 Trend rata-rata bulanan menjadi: Ŷ = (120)/12 + (24)/12 U Ŷ = 12 + 2 U

b. Trend rata-rata kwartalan. Untuk mengubah trend tahuna menjadi trend rata-rata kwartalan: a dan b dibagi 4, atau Ŷ = a/4 + b/4 U c. Trend Bulanan Trend bulana tidak sama dengan trend rata-rata bukanan. Pada trend rata-rata bulanan, nilai Y untuk setiap bulan dianggap sama, sedangkan pada trend bulanan nilainya berbeda. Untuk mengubah trend tahunan menjadi trend bulanan: a dibagi 12 dan b dibagi (12) Koding berubah menjadi U, dimana 1 X = 12 U 2 Ŷ = + U a b 12 2

Ŷ = 120 + 24 X , tahun dasar tengah tahun 1982 Contoh: Ŷ = 120 + 24 X , tahun dasar tengah tahun 1982 Jika dirubah menjadi trend bulanan, menjadi: Ŷ = (120)/12 + (24)/(12) U 2 Ŷ = 10 + 0,167 U Selanjutnya koding berubah menjadi: Untuk tahun 1982, koding tengah Juli adalah U = ½, tengah Agustus = 1½, sedangjan untuk tengah Juni = - ½, dan tengah Mei = - 1½, dan seterusnya. Trend bulan Desember 1982 (U = 5½) Ŷ = 10 + 0,167 (5½) = 10,91

d. Trend Kwartalan. Untuk merubah trend tahunan menjadi trend kwartalan: a dibagi 4 dan b dibagi (4), atau: 2 Ŷ = + U a b 4 2