Bab 4 Probabilitas

A. Pengertian Dasar Probabilitas 1. Peluang Probabilitas atau kemungkinan bersumber kepada peluang Selama ada peluang maka selama itu pula sesuatu dapat terjadi Sekalipun ada kemungkinan sesuatu terjadi, namun di dalam peluang kita tidak dapat memastikan kapan sesuatu itu terjadi

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 1 Pada lemparan dadu yang memiliki mata 1 sampai 6, ada peluang untuk keluar mata 5 Pada lemparan koin yang memiliki sisi muka dan belakang, ada peluang untuk keluar muka Pada hasil ujian mata pelajaran statistika, ada peluang untuk memperoleh nilai 8 Pada suatu hari di tempat kerja, ada peluang terdapat 4 orang yang bolos Pada tugas mengarang di kalangan siswa SMA tertentu, ada peluang tidak terdapat kata yang salah eja Pada satu halaman suatu buku, ada peluang terdapat 11 kata berawalan me-

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Ruang Probabilitas Himpunan dari semua, tanpa kecuali, peluang yang dapat terjadi pada suatu hal dikenal sebagai ruang probabilitas Perhatikan kata tanpa kecuali Contoh 2 Ruang probabilitas S(1, 2, 3, 4, 5, 6) Lemparan satu dadu                     

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 3 Lempar dua koin dengan M = muka dan B = belakang Ruang probabilitas S(MM, ___, ___, ___ ) Contoh 4 Nilai ujian berbentuk bilangan bulat dari 0 sampai 10 Ruang probabilitas S( ) M M M B B M B B

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Cobaan (trial) Cobaan adalah proses yang dilakukan untuk menemukan nilai probabilitas Contoh 5 Lempar satu dadu untuk menemukan nilai probabilitas bagi keluarnya mata 5 Lempar dua koin untuk menemukan nilai probabilitas bagi keluarnya dua sisi sama Ujian mata kuliah statisika untuk menemukan nilai probabilitas bagi 90% jawaban betul Menarik bilangan secara acak untuk menemukan nilai probabilitas bagi tertariknya bilangan 13 Menarik undian untuk menemukan nilai probabilitas bagi keluarnya hadiah pertama

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Peristiwa (event) Kejadian yang muncul atau diharapkan muncul pada cobaan dikenal sebagai peristiwa Contoh 6 Peristiwa keluar mata 3 pada lemparan satu dadu Peristiwa keluar mata genap pada lemparan satu dadu Peristiwa keluar sisi BB pada lemparan dua koin Peristiwa memperoleh nilai paling sedikit 6 pada ujian mata pelajaran statistika Peristiwa kena hadiah ketiga pada tarikan suatu undian

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Unsur Probabilitas Peristiwa paling sederhana (tidak dapat diuraikan lagi) pada hasil cobaan dikenal sebagai unsur probabilias Contoh 7 Pada Lemparan satu dadu Unsur probabilitas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5, mata 6 Bukan unsur probabilitas mata genap (2, 4, 6) mata ganjil (1, 3, 5) mata di atas 2 (3, 4, 5, 6)

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 8 Pada lemparan dua koin Unsur porbabilitas Sisi MM, MB, BB Bukan unsur probabilitas Sisi sama (MM, BB) Contoh 9 Pada hasil ujian mata pelajaran statistika Unsur probabilitas Nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Bukan unsur probabilitas Nilai lulus (6, 7, 8, 9, 10) Nilai gagal (0, 1, 2, 3, 4, 5)

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Bobot Unsur Probabilitas Bobot beda Ada kalanya unsur probabilitas tidak memiliki peluang yang sama besar Perbandingan peluang di antara unsur probabilitas dikenal sebagai bobot unsur probabilitas Contoh 10 Pada lemparan satu dadu, bobot mata 3 adalah dua kali bobot mata 4 Ini berarti bahwa peluang untuk keluar mata 3 adalah dua kali dari peluang keluar mata 4 Bobot sama Jika tidak disebut secara khusus, maka semua unsur probabilitas dianggap berbobot sama

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Probabilitas Peristiwa dan Notasi Peristiwa memiliki probabilitas yakni probabilitas peristiwa Probabilitas peristiwa diberi notasi dan terdapat banyak cara untuk memberikan notasi kepada suatu peristiwa Beberapa contoh notasi Tanpa keterangan Probabilitas peristiwa X P(X) umum P(X = 3) ketika X = 3 P(X  3) ketika X  3 P(2  X  5) ketika 2  X  5

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dengan keterangan Keterangan diletakkan di belakang ; n(X; X, X) B(X; n, p) b(X; n, p) n(X; 5, 2) B(X; 10, 0,15) b(X; 9, 0,95) Bilangan di belakang ; adalah keterangan tentang probabilitas, misalnya, n(X; 5, 2) Probabilitas X (pada distribusi probabilitas normal) ketika rerata adalah 5 dan simpangan baku adalah 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- B. Konsep dan Nilai Probabilitas 1. Konsep Probabilitas Laplace Probabilitas dihitung dari ciri unsur yang telah diketahui (a priori, matematik) Unsur X sebanyak n Seluruh unsur sebanyak N Probabilitas Laplace atau probabilitas a priori atau probabilitas matematik untuk X B C A X C X B Y X B A A Y A Y B X A A Y B C X A X C C Y B X X Y A B X X B C X C Y B Y X A A C A X A

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dikatakan a priori (sebelum) karena probabilitas sudah dapat dihitung sebelum dilakukan cobaan Dikatakan matematik karena probabilitas dapat dihitung secara matematika Probabilitas dapat dihitung melalui perhitungan n dan N Perhitungan n dan N hanya dapat dilakukan apabila ciri unsur probabilitas besaran telah diketahui Diketahui Dihitung Konsep Laplace Ciri Besaran Probabilitas

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 11 Lemparan satu dadu dengan 6 mata P(X = 2) = P(X = genap) = P(X ≠ 2) = n = 1 1 2 3 1 2 3 n = 3 1 4 5 6 4 5 6 6 N = 6 N = 6 3 n = 5 6 1 2 3 4 5 6 5 6 N = 6

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 12 Lempar 2 koin (M = muka B = belakang) MM MB X = 0 kali M MM BM BM BB P(X) = = 0,25 BM BB X = 2 kali M MM BM X = 1 kali M P(X) = = 0,25 BM BB P(X) = = 0,50 1 4 n = 1 1 4 2 4

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Diagram pohon Salah satu cara praktis untuk menghitung ruang probabilitas dilakukan melalui diagram pohon Ruang probabilitas lemparan 2 koin koin 1 koin 2 Ruang probabilitas adalah S (MM, MB, BB) Probabilitas 0 kali M P(0) = 1 / 4 = 0,25 Probabilitas 1 kali M P(1) = 2 / 4 = 0,50 Probabilitas 2 kali M P(2) = 2 / 4 = 0,25 M B MM M MB M B BM B BB

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ruang probabilitas lemparan 3 koin koin 1 koin 2 koin 3 Ruang probabilitas adalah N = 8 Probabilitas 0 kali muka P(0) = 0,125 Probabilitas 1 kali muka P(1) = 0,375 Probabilitas 2 kali muka P(2) = 0,375 Probabilitas 3 kali muka P(3) = 0,125 M B M B M B M B MMM MMB MBM MBB BMM BMB BBM BBB M B M MB B

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 13 Ada 10 putri dan 10 putra pergi ke pesta. Berapa probabilias putri I berpasangan dengan putra A Pasangan putri I dengan putra A n = 1 Ruang probabilitas pasangan N = Probabilitas pasangan I dan A P(X) = Contoh 14 Di dalam kantong terdapat 2 bola merah (M) dan 3 bola biru (B). Secara acak ditarik 2 bola Probabilitas P(MM) = Probabilitas P(MB atau BM) = Proabilias P(BB) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 15 Pada lemparan dua dadu, berapa probabilitas (a) keluar mata sama (b) keluar mata berjumlah 7 (c) keluar mata berjumlah 11 (d) keluar mata berjumlah 2 (e) keluar satu kali mata 6 (f) keluar pasangan mata 6 Catatan: Lempar dua dadu satu kali, dan lempar satu dadu dua kali, memberikan hasil yang sama

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Konsep Probabilitas von Mises Probabilias dihitung dari hasil cobaan (a posteriori, statistik) Cobaan sebanyak N kali menghasilkan X sebanyak n kali Probabilitas von Mises atau probabilitas a posteriori atau probabilitas statistik untuk X dengan N menunju ke tak hingga Kalau N cukup besar maka probabilitas mendekati probabilitas von Mises ini

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dikatakan a posteriori (sesudah) karena probabilitas dihitung setelah dilakukan cobaan Dikatakan statistik karena probabilitas dihitung berdasarkan statistik hasil cobaan Secara teoretik memerlukan N sebanyak tak hingga namun tak dapat dilaksanakan di dalam praktek Dalam praktek biasanya dilakukan dengan N yang cukup besar Perhitungan dapat dilakukan sekalipun ciri unsur probabilitas besaran tidak diketahui Ciri Besaran Probabilitas Konsep von Mises Tidak diketahui Dicoba

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 16 Lemparan koin sebanyak N kali, keluar sisi muka sebanyak X kali, dan probabilitas keluar sisi muka sebesar P(X) N X |X - ½N| P(X) 10 4 1 0,400 100 45 5 0,450 1000 490 10 0,490 10000 4950 50 0,495 100000 49900 100 0,499 Menurut probabilitas matematik atau a priori probabilitas P(X) = 0,50 Tampak bahwa makin besar N, sekalipun selisih di antara X dan ½N makin besar, namun probabilitas makin mendekati probabilitas matematik 0,5

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 17 (a) Di antara 50 siswa, 18 siswa lulus ujian Probabilitas lulus ujian P(lulus) = (b) Di antara 75 kata, terdapat 14 kata berawalan me- Probabilitas kata berawalan me- P(me-) = (c) Ada 1500 orang melamar beasiswa dan 75 orang memperolehnya Probabilitas mendapat beasiswa P(beasiswa) = (d) Di antara 250 panahan, terdapat 50 kali kena sasaran Probabilitas kena sasaran P(sasaran) =

Probabilitas untuk diterima menjadi mahasiswa adalah P(X) Contoh 18 Ada 2500 calon mahasiswa mendaftarkan diri untuk masuk ke suatu perguruan tinggi. Calon yang diterima adalah 150 mahasiswa. Probabilitas untuk diterima menjadi mahasiswa adalah P(X) Calon mahasiswa N = 2500 Yang diterima n = 150 P(X) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 19 Suatu pemilihan diikuti oleh 500 calon yang terdiri atas 400 pria dan 100 wanita. Pemilihan tidak membedakan pria atau wanita. Terpilih 15 pria dan 5 wanita Probabilitas pria terpilih P(p) = Probabilitas wanita terpilih P(w) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Ciri Besaran Ciri Besaran dan Probabilitas Pada konsep Laplace, ciri besaran telah diketahui sehingga probabilitas dapat dihitung Pada konsep von Mises, ciri besaran tidak diketahui sehingga probabilitas dicari melalui cobaan Di dalam penelitian, ciri besaran belum diketahui dan ingin diketahui melalui percobaan Penelitian menggunakan konsep probabilitas von Mises untuk menemukan probabilitas Setelah menemukan probabilitas, melalui konsep Laplace untuk menemukan ciri besaran

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ciri Besaran dan Parameter Ciri besaran sering ditemukan melalui kelompok data yang diperoleh melalui percobaan Ciri besaran pada kelompok data adalah parameter (parameter populasi) Penelitian sering menggunakan sampel sehingga hanya menemukan statistik (statistik sampel) Dari statistik sampel peneliti menyimpulkan parameter populasi melalui probabilitas Terjadi lompatan penyimpulan dari statistik sampel (sebagian) ke parameter populasi (keseluruhan) Lompatan kesimpulan ini sering diikuti dengan probabilitas keliru (risiko penyimpulan)

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lompatan penyimpulan sampel statistik Penyimpulan dengan probabilitas keliru Menggunakan probabilitas populasi parameter

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Batas Nilai Probabilitas Nilai probabilitas bergantung kepada nilai n dan nilai N karena P(X) = n / N Nilai n terkecil adalah n = 0 sehingga P(X) = 0 Nilai n terbesar adalah n = N sehingga P(X) = 1 Batas nilai probabilitas 0  P(X)  1 P(p) = 0 / N = 0 P(w) = N / N = 1 w w w w w w w w w w w w w w w w p = pria w = wanita

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Probabilitas p dan q Cobaan dapat menghasilkan sukses atau gagal yang dinyatakan dengan p dan q, misalnya, probabilitas P(lulus) = p P(gagal) = q P(mata 6) = p P(bukan mata 6) = q P(X) = p P(bukan X) = q p = n / N q = (N – n) /N p + q = n / N + (N – n) / N = 1 p + q = 1 p = 1 – q q = 1 – p X Bukan X N (n) (N-n)

Pada lemparan satu dadu dengan enam mata P(5) = 1 / 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 20 Pada lemparan satu dadu dengan enam mata P(5) = 1 / 6 P(bukan 5) = 1 – 1 /6 = 5 / 6 P(mata ganjil) = 3 / 6 P(mata genap) = 1 – 3 / 6 = 3 / 6 P(X > 2) = P(X  2) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sejumlah mahasiswa menempuh ujian statistika dengan probabilitas lulus sebesar p dan probabilitas tidak lulus sebesar q p = 0,50 q = p = 0,75 q = p = 0,99 q =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Probabilitas dan Frekuensi Pada probabilitas statistik (konsep von Mises) terjadi cobaan Pada cobaan, peristiwa terjadi berkali-kali atau dalam suatu frekuensi Pada N cobaan, frekuensi terjadinya peristiwa adalah f, sehingga probabilitas peristiwa adalah sehingga frekuensi f menjadi f = p N

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 21 Ada 50 siswa menempuh ujian dengan probabilitas lulus 0,80 p = 0,80 N = 50 Banyaknya siswa yang lulus ujian adalah f = pN = (0,80)(50) = 40 Ada 800 orang pelamar sedangkan probabilitas untuk dapat diterima adalah 0,15 p = N = Banyaknya pelamar yang diterima adalah f = Probabilitas sakit adalah 0,05 sehingga di antara 600 siswa, probabilitas sakit adalah f =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- C. Hubungan pada Dua atau Lebih Peristiwa 1. Independensi Peristiwa Hubungan dua atau lebih peristiwa dapat Independen dependen Dua peristiwa X dan Y adalah independen apabila probabilias P(Y) tidak ditentukan oleh probabilitas P(X), dan sebaliknya Dependen Dua peristiwa X dan Y adalah dependen apabila probabilitas P(Y) ditentukan oleh probabilitas P(X), dan sebaliknya

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 22 Lempar dadu keluar mata 3. Lemparan sebelumnya menghasilkan mata 1 Peristiwa independen Mendaftarkan diri menjadi mahasiswa, tetapi sebelumnhya harus lulus SMA Peristiwa dependen Naik kereta api ke Bandung dan naik mobil ke Bandung Memberi jawaban setuju dan menerima pertanyaan

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Keeksklusivian peristiwa Hubungan dua atau lebih peristiwa dapat Saling ekskluwif Tidak saling eksklusif Saling eksklusif Dua peristiwa X dan Y adalah saling eksklusif apabila unsur probabilitas pada X dan Y sama sekali terpisah Tidak ada unsur probalitas di X yang juga di Y dan sebaliknya X Y

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak saling eksklusif Dua peristiwa X dan Y tidak saling eksklusif apabila ada unsur probabilitas yang sekaligus ada di X dan Y Terdapat irisan di antara X dan Y sehingga pada irisan, unsur probabilitas sekaligus terletak di X dan Y Pada tiga peristiwa, terdapat banyak macam ketidakeksklusivan di antara mereka X Y

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Pada tiga peristiwa A, B, C A B C A B C A B C A C B A B C B A C A A C B B C

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 23 Lempar satu dadu 1 2 Mata ganjil 1 2 3 4 Mata genap 3 4 5 6 5 6 Saling eksklusif Mata 5 Mata bukan lima 1 2 Mata genap 3 4 Mata di atas 2 Saling eksklusif 5 6 Tidak eksklusif

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 24 Dua dosen pada waktu sama di kelas A dan di kelas B ________________________ Mahasiswa asal luar kota dan mahasiswa semester tiga _______________________ A B Mahasiswa asal luar kota Mahasiswa semester 3

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- D. Probabilitas pada Dua atau Lebih Persitiwa 1. Hubungan “DAN” Notasi Probabilitas hubungan DAN di antara X1 dan X2 dapat ditulis dalam beberapa macam notasi P(X1 DAN X2) P(X1  X2) atau P(X1X2) P(X1 ∩ X2) Ada sejumlah kaidah untuk probabilitas hubungan DAN namun di sini hanya dikemukan kaidah untuk hubungan independesni

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- D. Probabilitas pada Dua atau Lebih Persitiwa 1. Hubungan “DAN” Notasi Probabilitas hubungan DAN di antara X1 dan X2 dapat ditulis dalam beberapa macam notasi P(X1 DAN X2) P(X1  X2) atau P(X1X2) P(X1 ∩ X2) Ada sejumlah kaidah untuk probabilitas hubungan DAN namun di sini hanya dikemukan kaidah untuk hubungan independesni

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 25 Pada lemparan dadu, keluar mata 2 dan keluar mata 6 adalah independen dan saling eksklusif. Probabilitas keluar mata 2 dan mata 6 adalah P(mata 2) = 1 / 6 P(mata 6) = 1 / 6 P(mata 2 dan 6) = (1/6)(1/6) = 1 / 36 Contoh 26 Pada lemparan dadu, keluar mata genap dan keluar mata di atas 2 adalah independen tetapi tidak eksklusif. Probabilitas keluar mata genap dan mata di atas 2 adalah P(mata genap) = 3 / 6 = 1 / 2 P(mata di atas 2) = 4 / 6 = 2 / 3 P(mata genap dan di atas 2) = (1/2)(2/3) = 1 / 3

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 27 Probabilitas lulus mata pelajaran X adalah 0,8 dan probabilitas lulus mata pelajaran Y adalah 0,7. Kedua peristiwa ini adalah independen. P(X) = P(Y) = P(XY) = Contoh 28 Probabilitas jatuh (X1) adalah 0,4, probabilitas tertimpa tangga (X2) adalah 0,1, dan probabilitas patah kaki (X3) adalah 0,2. P(X1) = P(X2) = P(X1 ∩ X2 ∩ X3) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Hubungan “ATAU” Notasi Probabilitas hubungan “ATAU” di antara peristiwa X1 dan X2 dapat ditulis dalam beberapa macam notasi P(X1 ATAU X2) P(X1 + X2) P(X1 U X2) Di sini dikemukan kaidah probabilitas hubungan ATAU untuk hubungan yang eksklusif dan hubungan yang tidak eksklusif (tidak eksklusif hanya untuk dua peristiwa)

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Kaidah Probabilitas Hubungan ATAU Jika X1 dan X2 saling eksklusif, maka P(X1 U X2) = P(X1) + P(X2) Jika X1, X2, X3, . . . Saling eksklusif, maka P(X1 U X2 U X3 U . . . ) = P(X1) + P(X2) +P(X3) + . . . Jika X1 dan X2 tidak saling eksklusif, maka P(X1 U X2 = P(X1) + P(X2) – P(X1 ∩ X2) X1 ∩ X2 telah dihitung dua kali sehingga perlu dikurangi satu kali X1 X2 X1 ∩ X2

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Jika X1 dan X2 tidak saling eksklusif, maka P(X1 U X2 = P(X1) + P(X2) – P(X1 ∩ X2) X1 ∩ X2 telah dihitung dua kali sehingga perlu dikurangi satu kali X1 X2 X1 ∩ X2

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 29 Pada lemparan dadu, keluar mata 2 dan keluar mata 5 adalah saling eksklusif. Probabilitas keluar mata 2 atau mata 5 adalah P(mata 2) = 1 / 6 P(mata 5) = 1 / 6 P(mata 2 atau 5) = 1 / 6 + 1 / 6 = 1 / 3 Contoh 30 Pada lemparan dadu, keluar mata genap dan keluar mata di atas 2 adalah tidak saling eksklusif. Probabilitas keluar mata 2 atau mata 5 adalah P(mata genap) = 3 / 6 = 1 / 2 P(mata > 2) = 4 / 6 = 2 / 3 P(mata genap ∩ mata > 2) = 2 / 6 = 1 / 3 P(mata genap atau 2) = 1 / 2 + 2 / 3 – 1 / 3 = 5 / 6

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 31 Di perguruan tinggi, mahasiswa tingkat satu (X1), tingkat dua (X2), tingkat tiga (X3), dan tingkat empat (X4) adalah saling eksklusif. Jika P(X1) = 0,4 P(X2) = 0,3 P(X3) = 0,2 P(X4) = 0,1 Probabilitas seorang mahasiswa duduk di tingkat dua atau tingkar tiga adalah P(X3 + X$) = Contoh 32 Probabilias lulus mata pelajaran bahasa (X1) adalah 0,8 dan lulus mata pelajaran matematika (X2) adalah 0,7. Mereka independen tetapi tidak saling eksklusif. Probabilitas lulus bahasa atau matematika adalah P(X1 + X2) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ E. Dalil Bayes 1. Probabilitas Bersyarat Probabilitas B bersyarat A ditulis P(B|A) Kita mencari di syarat A untuk menemukan berapa probabilitas B di situ Kita lihat suatu contoh Mahasiswa (M) Siswa (S) Jumlah Pria (P) 460 40 500 Wanita (W) 140 260 400 Jumlah 600 300 900 Probabilitas wanita bersyarat mahasiswa P(W|M). Kita lihat ke syarat mahasiswa (prob 600 / 900) dan melihat berapa wanita di situ (prob 140 / 900) sehingga P(W|M) = (140 / 900) / (600 / 900) = 0,23

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Rumus umum probabilitas bersyarat

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 33 Diketahui probabilitas suami menonton TV adalah 0,4, probabilitas istri menonton TV adalah 0,5, serta probabilitas suami menontoh TV bersyarat istri menonton TV adalah 0,7 Dari data ini, jika suami adalah S dan istri adalah I maka P(S) = 0,4 P(I) = 0,5 P(S|I) = 0,7 Probabilitas istri bersama suami menonton TV adalah P(S∩I) = P(I).P(S|I) = (0,5)(0,7) = 0,35 Probabilitas istri menonton TV bersyarat suami menonton TV P(I|S) = P(S∩I) / P(S) = 0,35 / 0,4 = 0,875

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Contoh 34 Pemilihan gubernur diikuti oleh tiga calon B1, B2, dan B3. Setiap calon mungkin menaikkan pajak penjualan A. Probabilitas B1 terpilih adalah 0,60 dan probabilitas untuk menaikkan pajak penjualan A adalah 0,90 Probabilitas B2 terpilih adalah 0,20 dan probabilitas untuk menaikkan pajak penjualan adalah 0,50 Probabilitas B3 terpilih adalah 0,20 dan probabilitas untuk menaikkan pajak penjualan adalah 0,05 Probabilitas pajak penjualan dinaikkan adalah apabila B1 terpilih atau B2 terpilih atau B3 terpilih P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + P(A ∩ B3) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Dalil Bayes Dalil Bayes berkaitan dengan banyak komponen, misalnya, komponen B1, B2,, B3, . . . Komponen ini mengalami peristiwa A Dalil Bayes berkenaan dengan berapa besar probabilitas suatu komponen B (misalnya Bk) bersyarat A yakni berapa besar P(Bk|A) P(Bk|A) B1 B2 Bk Bi A

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dalil Bayes Contoh 35 Bola merah, putih, dan biru di dalam kotak 1, 2, dan 3 kotak 1 2 3 jumlah merah 2 4 3 9 putih 3 1 4 8 biru 5 3 3 11 jumlah 10 8 10 28 Berapa probabilitas bola merah dari kotak 3

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Di sini Bk = bola merah A = kotak 3 P(bola merah) = 9 / 28 P(kotak 3|bola merah) = 3 / 9 P(bola putih) = 8 / 28 P(kotak 3|bola putih) = 4 / 8 P(bola biru) = 11 / 28 P(kotak 3|bola biru) = 3 / 11 P(Bk) P(A|Bk) = P(bola merah) P(kotak 3|bola merah) = (9 / 28) (3 / 9) = 27 / (28)(9)  P(Bi) P(A|Bi) = (9 / 28)(3 / 9) + (8 / 28)(4 / 8) + (11 / 28)( 3 / 11) = 10 / 28 P(Bk|A) = P(bola merah|kotak 3) = (27 / (28)(9))/ (10 / 28) = 0,30

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 36 Produksi semacam barang berasal dari mesin I (B1) sebesar 50% dengan probabilitas cacat (A) 0,4% Berasal dari mesin II (B2) sebesar 30% dengan probabilitas cacat (A) 0,6% Berasal dari mesin III (B3) sebesar 20% dengan probabilitas cacat (A) 1,2% Probabilitas satu barang cacat berasal dari mesin I adalah P(B1|A) =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- F. Distribusi Probabilitas 1. Jumlah Probabilitas Semua probabilitas dari semua peristiwa dijumlahkan Ini berarti bahwa 1 itu dibagi-bagikan atau didistribusikan ke semua X sehingga terjadilah distribusi probabilitas

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 37 Lemparan 2 koin untuk probabilitas banyaknya sisi muka yang keluar Dari contoh 12 P(0 muka) = 0,25 P(1 muka) = 0,50 P(2 muka) = 0,25 Jumlah 1,00

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 38 Lemparan 3 koin pada contoh diagram pohon Probabilitas 0 kali muka P(0) = 0,125 Probabilitas 1 kali muka P(1) = 0,375 Probabilitas 2 kali muka P(2) = 0,375 Probabilitas 3 kali muka P(3) = 0,125 Jumlah 1,000

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 39 Hasil ujian menghasilkan nilai ujian (hasil cobaan) berbentuk distribusi probabilitas sebagai berikut Nilai ujian X Frek f Probabilitas 4 3 0,06 5 5 0,10 6 10 0,20 7 15 0,30 8 11 0,22 9 6 0,12 50 1,00

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Fungsi Densitas dan Fungsi Massa Probabilitas dari semua peristiwa membentuk fungsi dan dikenal sebagai fungsi densitas Fungsi densitas adalah densitas (kerapatan) yang diakibatkan pembagian (pendistribusian) probabilitas 1 ke semua peristiwa Fungsi densitas dapat disajikan dalam beberapa bentuk Bentuk tabel Bentuk grafik Bentuk rumus Bentuk tabel untuk membaca bilangan, bentuk grafik untuk visualisasi, bentuk rumus untuk proses matematik Pada distribusi probabilitas diskrit digunakan istilah fungsi massa

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 40 Fungsi densitas hasil ujian dalam bentuk tabel Nilai ujian X Frek f Probabilitas 4 3 0,06 5 5 0,10 6 10 0,20 7 15 0,30 8 11 0,22 9 6 0,12 50 1,00 Fungsi densitas dalam bentuk grafik histogram P(X) 0,30 0,20 0,10 4 5 6 7 8 9 X

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 41 Fungsi densitas distribusi probabilitas dalam bentuk tabel Peristiwa X Frek f Probabilitas 1 1 0,01 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6 100

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fungsi densitas distribusi probabilitas dalam bentuk grafik histogram

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Kumulasi Probabilitas Kumulasi probabilitas Jumlah probabilitas pada suatu bentangan peristiwa dikenal sebagai kumulasi probabilitas Contoh 42 Dari contoh 40, kumulasi probabilitas Dari X = 5 sampai 7  P(X) = 0,10 + 0,20 + 0,30 = 0,60 Dari X = 5 sampai 8  P(X) = 0,10 + 0,20 + 0,30 + 0,22 = 0,82

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Fungsi Distribusi Fungsi distribusi bawah Kumulasi probabilitas secara bertahap dari peristiwa terkecil sampai peristiwa terbesar dikenal sebagai fungsi distribusi bawah (FDB) Fungsi distribusi atas Kumulasi probabilitas secara bertahap dari peristiwa terbesar sampai peristiwa terkecil dikenal sebagai fungsi distribusi atas (FDA) Contoh Nilai ujian X Frek f Prob FDB FDA 4 3 0,06 0,06 1,00 5 5 0,10 0,16 0,94 6 10 0,20 0,36 0,84 7 15 0,30 0,66 0,64 8 11 0,22 0,88 0,34 9 6 0,12 1,00 0,12

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 43 Fungsi densitas dan fungsi distribusi pada distribusi probabilitas dalam bentuk tabel Peristiwa X Frek f Prob FDB FDA 1 1 0,01 0,01 1,00 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6 100

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 44 Fungsi densitas dan fungsi distribusi pada distribusi probabilitas Kelompok Nil kel X Frek Prob FDB FDA 31 – 40 35,5 2 41 – 50 45,5 3 51 – 60 55,5 5 61 – 70 65,5 14 71 – 80 75,5 25 81 – 90 85,5 18 91 – 100 95,5 13 Bentuk histogram

------------------------------------------------------------------------------------------------------ Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. Kumulasi Probabilitas Melalui Fungsi Distribusi Kumulasi probabilitas dapat dihitung dari fungsi distribusi Contoh 45 Nilai ujian X Frek f Prob FDB FDA 4 3 0,06 0,06 1,00 5 5 0,10 0,16 0,94 6 10 0,20 0,36 0,84 7 15 0,30 0,66 0,64 8 11 0,22 0,88 0,34 9 6 0,12 1,00 0,12 Dengan FDB P(6  X  8) = P(X  8) – P(X  5) = 0,88 – 0,16 = 0,72

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kumulasi distribusi ini dapat dilihat juga pada fungsi densitas berbentuk grafik histogram Kumulasi distribusi di antara X = 6 sampai X = 8 mencakup histogram dari 6 sampai 8 Kumulasi distribusi X = 6 sampai X = 8 ini merupakan pengurangan fungsi distribusi bawah dari bawah sampai X = 8 dikurangi dari bawah sampai X = 6 P(X) 0,30 0,20 0,10 X 4 5 6 7 8 9

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 46 Dari contoh 43, kumulasi probabilitas P(5  X  9) = P(5 < X  9) = P(5  X < 9) = P(5 < X < 9) = Dari contoh 44, kumulasi probabilitas Dari contoh 45 P(45,5  X  85,5) = P(5  X  8) = P(45,5 < X  85,5) = P(5  X < 8) = P(45,5  X < 85,5) = P(5 < X  8) = P(45,5 < X < 85,6) = P(5 < X < 8) =

sama dengan rumus rerata pada statistika deskriptif ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Harapan Matematik 1. Pengertian Harapan matematik adalah rerata dari suatu fungsi, misalnya, f(X) Harapan matematik pada suatu fungsi X adalah E [ f(X)] =  p f(X) 2. Rerata Rerata adalah harapan matematik dari suatu variabel, misalnya, X X = E (X) =  pX sama dengan rumus rerata pada statistika deskriptif

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Variansi Variansi adalah harapan matematik dari kuadrat simpangan 2X = E (X – X)2 = E (X2) – 2X = E (X2) – [ E (X) ]2 =  pX2 – ( pX)2 sama dengan rumus variansi pada statistika deskriptif Rerata dan variansi dapat dihitung melalui harapan matematik Harapan matematik adalah rerata dalam bentuk umum melalui fungsi, misalnya, E(X – 2) E(X2 + 5)

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 47 Data X Frek f Prob p X2 pX pX2 4 3 0,06 16 0,24 0,96 5 5 0,10 25 0,50 2,50 6 10 0,20 36 1,20 7,20 7 15 0,30 49 2,10 14,70 8 11 0,22 64 1,76 14,08 9 6 0,12 81 1,08 9,72 50 1,00 6,88 49,16 X =  pX = 6,88 2X =  pX2 – ( pX)2 = 49,16 – (6,88)2 = 49,16 – 47,33 = 1,83

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 48 Data X Frek f Prob p X2 pX pX2 1 1 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6 X = 2X =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Kovariansi Kovariansi adalah harapan matematik dari perkalian simpangan XY = E [ (X – X)(Y – Y) ] = E (XY) – [E (X) E (Y)] =  pXY – ( pX)(  pY) Sama dengan rumus kovariansi pada statistika deskriptif Contoh 49 X Y Frek f Prob p XY pX pY pXY 4 5 1 0,2 20 0,8 1,0 4,0 5 7 1 0,2 35 1,0 1,4 7,0 6 5 1 0,2 30 1,2 1,0 6,0 6 8 1 0,2 48 1,2 1,6 9,6 4 3 1 0,2 12 0,8 0,6 2,4 5,0 5,6 29,0 XY =  pXY – ( pX)( pY) = 29,0 – (5,0)(5,6) = 1

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 50 X Y f p XY pX pY pXY 63 87 50 74 55 76 65 90 55 85 70 87 64 92 70 98 58 82 68 91 XY =

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- H. Jenis Distribusi Probabilitas 1. Sumber Distribusi Dari sumber data, distribusi probabilitas mencakup Distribusi probabilitas empirik Distribusi probabilitas teoretik 2. Jenis Data Dari jenis data, distribusi probabilitas mencakup Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Banyaknya variabel Dari banyaknya variabel, distribusi probabilitas mencakup Distribusi probabilitas univariat Distribusi probabilitas bivariat Distribusi probabilitas multivariat 4. Pembahasan Tidak semua macam distribusi probabilitas dibahas di sini Pembahasan meliputi distribusi probabilitas yang banyak dipakai di dalam statistika terapan Pembahasan mencakup beberapa distribusi probabilitas teoretik, diskrit dan kontinu, terutama univariat