Integer Programming

Pendahuluan Dalam penerapannya, teknik optimasi sering menggunakan variable yang bukan bertipe real, tetapi menggunakan tipe variable yang lain seperti integer atau biner (yang merupakan bagian tipe variable integer) Dalam kasus seperti ini, bentuk permasalahan optimasi adalah: Selain fungsi kendala tersebut, dalam proses penyelesaiannya beberapa atau seluruh variable harus bernilai integer non- negatif ( )

Metode Branch and Bound (1) Terdiri dari beberapa sub-permasalahan, penyelesaian dan analisis keadaan optimal dari setiap sub-permasalahan sampai pada penyelesaian optimal permasalahan utama. Prinsip metode ini adalah: Dalam penentuan titik optimal x(0), ada dua keadaan yang terjadi, Jika x(0) memenuhi semua kendala, maka titik tersebut merupakan penyelesaian sementara dan sub-permasalahan diabaikan. Jika x(0) tidak memenuhi semua kendala, maka pilih salah satu dari variable berikut ini, Dan tambahkan ke sub-permasalahan yang ada dan dianalisis pada titik “percabangan” tersebut yang diperoleh dengan menambahkan pada fungsi kendala xi ≤ k untuk cabang yang satu, dan xi ≥ k+1

Metode Branch and Bound (2) Setelah diperoleh titik penyelesaian sementara x*, sub- permsalahan yang telah diperoleh sebenarnya dianalisis dengan prosedur berikut ini: Jika cx*≤ cx(0), sub-permasalahan tersebut tidak digunakan lagi, karena tidak menghasilkan nilai penyelesaian yang lebih baik, pilih sub-permasalahan yang lain. Jika cx*> cx(0) dan memenuhi syarat-syarat fungsi kendala secara keseluruhan, x* merupakan penyelesaian sementara yang baru menggantikan x(0) dan sub-permasalahan lainnya dianalisis Jika cx*> cx(0) dan tidak memenuhi syarat-syarat fungsi kendala secara keseluruhan, buatlah percabangan baru sesuai prosedur percabangan.

Metode Branch and Bound (3)

Contoh I Soal: Minimize Z=3x2 + 2x3 Dengan fungsi kendala: 2x1 + 2x2 − 4x3 = 5 4x2 + 2x3 ≤ 3 xi ≥ 0, x1, x3 ∈ Z (integer)

Penyelesaian Contoh I (1) Persoalan dengan variable real adalah: Memiliki titik solusi optimum di (5/2,0,0) Karena x1 bukan merupakan integer, maka percabangan harus dibuat berdasarkan nilai x1 tersebut. Sampai pada tahap ini masih belum diperoleh titik solusi sementara

Penyelesaian Contoh I (2) Hasil percabangan adalah berupa dua sub-permasalahan berikut ini: Dan Memiliki titik solusi (2,1/2,0) dengan nilai Z = 3/2 Hasil ini memenuhi kendala dan digunakan sebagai titik solusi sementara Memiliki titik solusi (3,0,1/4) dengan nilai Z = ½ Titik solusi ini belum memenuhi kendala tetapi nilai Z lebih baik, jadi harus dilakukan percabangan

Penyelesaian Contoh I (3) Hasil percabangan berikutnya adalah: Dan Sub-permasalahan ini bersifat infeasible (tidak memiliki solusi) Hal ini disebabkan pada saat nilai x3 = 0 tidak memenuhi semua kendala. Dengan demikian sub-permasalahan ini dihilangkan Memiliki titik solusi (9/2,0,1) dengan nilai Z = 2 Hasil nilai Z ini memiliki nilai yang lebih besar dari titik solusi sementara (tidak lebih baik), jadi sub-permasalahan ini dihilangkan

Penyelesaian Contoh I (4) Dengan demikian, tidak ada lagi sub-permasalahan yang harus dianalisis dan hanya diperoleh satu titik solusi sementara, maka titik solusi sementara tersebut merupakan titik solusi yang optimum dari permasahan pokok. Jadi penyelesaiannya adalah: Titik optimum terjadi di titik (2,1/2,0) Dengan nilai Z sebesar 3/2