PEMBUKTIAN VALIDITAS KALIMAT LOGIKA ASUMSI SALAH Perlu pembuktian nilai True untuk semua interpretasi (2n) Membutuhkan langkah pembuktian yang panjang Akan lebih mudah membuktikan bahwa ada 1 interpretasi yang menyebabkan nilai kalimat salah  Tidak valid Asumsi salah tidak mungkin terjadi  Valid Contoh Soal 3.1 Buktikan validitas kalimat A : if ((not x) or (not y)) then (not(x and y)) Jawab : Bentuk kalimat implikasi A : A1  A2 (~ x  ~ y)  ~ (x  y) Misalkan A diasumsikan salah yang berarti : Antsenden/premis/hipotesis A1 benar (~ x  ~ y) = T konklusi/konsekuen A2 salah ~ (x  y) = F

Ada dua cara pembuktian valid/tidak valid A : (~ x  ~ y)  ~ (x  y) a.) Dimulai dari konklusi dulu (A2 = F)  periksa apakah hipotesisnya (A1 = T) ? b). Dimulai dari hipotesisnya dulu (A1 = T)  periksa apakah konklusinya (A2 = F) ? a). Konklusi A2 : ~ (x  y) = F  (x  y) = T  x = T dan y =T Periksa hipotesis A1 : (~ x  ~ y) = F  F = F seharusnya A1 = T Asumsi A = F tidak pernah terjadi  kalimat A valid b) Hipotesis A1 = (~ x  ~ y) = T, ada beberapa kemungkinan : Hipotesis A1 (~ x  ~ y) = T Akibatnya pada konklusi A2 ~ (x  y) Kondisi A2 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = F dan y = F T F Ya x = F dan y = T x = T dan y = F Asumsi A = F tidak pernah terjadi  kalimat A valid

Contoh Soal 3.2 Buktikan validitas kalimat B : (if x then y) if and only if ((not x) or y) Jawab : Bentuk kalimat B biimplikasi B1  B2 (x  y)  (~x  y) Misalkan B diasumsikan salah, maka ada 2 kemungkinan : a). hipotesis B1 benar (x  y) = T dan konklusi B2 salah (~x  y) = F b). hipotesis B1 salah (x  y) = F dan konklusi B2 benar (~x  y) = T a1). Dimulai dari hipotesis dulu (x  y) = T dan (~x  y) = F Hipotesis B1 (x  y) = T Akibatnya pada konklusi B2 (~x  y) = F Kondisi yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = T dan y = T T F Ya x = F dan y = T x = F dan y = F

Akibatnya pada hipotesis B1 a2). Dimulai dari konklusi dulu (x  y) = T dan (~x  y) = F Konklusi B2 (~x  y) = F Akibatnya pada hipotesis B1 (x  y) Kondisi yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = T dan y = F F T Ya b1). Dimulai dari hipotesis dulu (x  y) = F dan (~x  y) = T Hipotesis B1 (x  y) = F Akibatnya pada konklusi B2 (~x  y) = F Kondisi B2 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = T dan y = F F T Ya

Akibatnya pada hipotesis B1 b2). Dimulai dari konklusi dulu (x  y) = F dan (~x  y) = T Konklusi B2 (~x  y) = T Akibatnya pada hipotesis B1 (x  y) Kondisi B1 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = F dan y = T T F Ya x = T dan y = T Jadi asumsi B = F tidak pernah terjadi  kalimat B valid

Contoh Soal 3.3 Buktikan validitas kalimat C : if (if x then y) then (if (not x) then (not y)) Bentuk kalimat C implikasi C1  C2 (x  y)  (~x  ~ y) Misalkan C diasumsikan salah yang berarti : hipotesis C1 benar (x  y) = T konklusi C2 salah (~x  ~ y) = F Dimulai dari hipotesis dulu : (x  y) = T dan (~x  ~ y) = F Hipotesis C1 (x  y) = T Akibatnya pada konklusi C2 (~x  ~ y) Kondisi C2 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = T dan y = T T F Ya x = F dan y = T Tidak x = F dan y = F

Dimulai dari konklusi dulu : (x  y) = T dan (~x  ~ y) = F Konklusi C2 (~x  ~ y) = F Akibatnya pada hipotesis C1 (x  y) Kondisi C2 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = F dan y = T T F Ya Jadi asumsi C = F dapat terjadi  kalimat C tidak valid

POHON SEMANTIK Misalkan suatu kalimat logika A terdiri dari 3 proposisi p, q dan r Pohon semantik dimulai dengan cabang tertinggi untuk proposisi pertama (p) Cabang tertinggi ini terdiri cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) p = T p = F F 3 p = T p = F 2 3 1 p = T p = F 4 3 5 q = T q = F Perhatikan cabang kiri No. 2 : Bila dengan p = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 2 ini tidak bercabang, misalkan nilainya salah Bila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi kedua q

Perhatikan cabang kiri No. 4 : Bila dengan p = T dan q = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 4 ini tidak bercabang, misalkan nilainya benar Bila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi ketiga r p = T p = F p = F p = T 3 3 q = T q = F q = T q = F T 5 r = F 5 r = T 6 7 Langkah-langkah tersebut di atas diulangi lagi untuk cabang-cabang lain Kalimat logika dikatakan valid bila semua cabangnya bernilai benar, bila ada cabangnya yang bernilai salah, maka kalimat tsb dikatakan tidak valid

Bila semua cabang bercabang lagi, maka pohon semantiknya menjadi : p = T T r = T r = F F p = F q = T q = F Metoda pohon semantik dapat lebih efisien dari metoda tabel kebenaran

Contoh Soal 3.4 Tentukan validitas kalimat G : if (if x then y) then (if (not x) then not y) Jawab : p = T p = F 2 3 1 Bentuk kalimat G implikasi :G1  G2 G : (p  q)  (~ p  ~ q) Periksa cabang No. 2 : Bila p = T, maka ~ p = F G2 : (~ p  ~ q) = T apapun nilai q Bila (~ p  ~ q) = T, maka G = T apapun nilai G1 : (p  q) Nilai G sudah dapat ditentukan, yaitu bernilai T p = T p = F T 3 1

Bentuk kalimat G implikasi :G1  G2 G : (p  q)  (~ p  ~ q) Periksa cabang No. 3 : Bila p = F, maka G1: (p  q) = T apapun nilai q ~ p = T, nilai G2 : (~ p  ~ q) tergantung pada nilai q Bila ~ q = T, maka G2 = T dan bila ~ q = F, maka G2 = F Bila G2 = T, maka G = T dan bila G2 = F, maka G = F Jadi nilai G belum sudah dapat ditentukan, cabang No. 3 bercabang lagi p = T p = F T q = T q = F 4 5

Bentuk kalimat G implikasi :G1  G2 G : (p  q)  (~ p  ~ q) Periksa cabang No. 4 : Bila p = F dan q = T, maka G1: (p  q) = T dan G2 : (~ p  ~ q) = F Akibatnya G : G1  G2 bernilai salah (F) Periksa cabang No. 5 : Bila p = F dan q = F, maka G1: (p  q) = T dan G2 : (~ p  ~ q) = T Akibatnya G : G1  G2 bernilai benar (T) p = T p = F T F q = T q = F Karena ada cabang yang bernilai salah, maka kalimat G tidak valid

Contoh Soal 3.5 Tentukan validitas kalimat B : [p  (q  r)]  [(p  q)  r] p = T p = F 2 3 1 Jawab : Bentuk kalimat B biimplikasi : B1  B2 No p q r Nilai B1, B2 dan B Langkah berikut 2 T B1 tergantung pada nilai q, r B belum dapat ditentukan Bercabang 4 dan 5 3 F B1 = T dan B2 = T apapun nilai q, r B = T 4 Bila r = T, maka B1 = T dan B2 = T Bila r = F, maka B1 = F dan B2 = F 5 B1 = T dan B2 = T apapun nilai r p = T p = F T Karena semua cabang nilainya benar, maka kalimat B valid Lebih efisien dari tabel kebenaran

Latihan Soal 3.1 Buktikan validitas kalimat D : if(if(not x) then y) then if(not y) then x) and (x or y) D : (~ x  y) ( (~y  x)  (x  y)) Latihan Soal 3.2 Tentukan validitas kalimat (p  q)  (~p  r)  (q  r) dengan menggunakan asumsi salah

Latihan Soal 3.3 Tentukan validitas kalimat B : [p  (q  r)]  [(p  q)  r] p = T p = F 2 3 1 Jawab : Bentuk kalimat biimplikasi B1 B2 B1 : [p  (q  r)] B2 : [(p  q)  r] No p q r Nilai B1, B2 dan B Langkah berikut 2 T 3 F

Bentuk kalimat OR Eksklusif A = A1  A2 Latihan Soal 3.4 Periksalah validitas kalimat p  (p  q) dengan menggunakan pohon semantik Jawab : Bentuk kalimat OR Eksklusif A = A1  A2 p q p  q T F p = T p = F 2 3 1